高考數(shù)學(xué) 答題規(guī)則 滿分案例三　立體幾何_第1頁(yè)
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高考數(shù)學(xué) 答題規(guī)則 滿分案例三　立體幾何_第3頁(yè)
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滿分案例三立體幾何【真題示例】(2024·新高考Ⅰ卷)(15分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3.(1)若AD⊥PB,證明:AD∥平面PBC;(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值為427,求標(biāo)準(zhǔn)答案閱卷現(xiàn)場(chǎng)【解析】(1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥AD 1分①又因?yàn)锳D⊥PB,PA∩PB=P,所以AD⊥平面PAB 2分②故AD⊥AB 3分③因?yàn)锳C=2,BC=1,AB=3,所以BC⊥AB 4分④故AD∥BC 5分⑤因?yàn)锳D?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD∥平面PBC 6分⑥(2)因?yàn)锳D⊥DC,所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC所在直線為x,y軸,過(guò)點(diǎn)D作PA的平行線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖 7分⑦設(shè)AD=a>0,則DC=4-a2,D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,4-a2,0),P(設(shè)平面DCP的法向量n1=(x1,y1,z1),因?yàn)?(0,4-a2,0),=(a,0,2),所以由,即4-可取n1=(2,0,-a) 11分⑨又=(0,0,2),=(-a,4-a2設(shè)平面ACP的法向量n2=(x2,y2,z2),所以,所以2z2=0-ax2+4-a2y因?yàn)槎娼茿-CP-D的正弦值為427,所以余弦值的絕對(duì)值為1所以由|cos<n1,n2>|=17=|n1·n得a2=3,a=3,因此,AD=3 15分?(1)(6分)①由線面垂直得線線垂直得1分;②證出AD⊥平面PAB得1分;③寫出AD⊥AB得1分;④證出BC⊥AB得1分;⑤證出AD∥BC得1分;⑥證出結(jié)論得1分;【評(píng)分細(xì)則】1.未寫出PA與PB相交于點(diǎn)P扣1分;2.證出AD⊥平面PAB給2分,否則給PA⊥AD1分;3.沒(méi)有寫出AD?平面PBC,扣1分;4.結(jié)論不單獨(dú)給分;5.若用向量法證明,正確得全分;(2)(9分)⑦正確建立空間直角坐標(biāo)系得1分;⑧寫出所需要的點(diǎn)的坐標(biāo)正確得3分;⑨求出平面DCP的法向量正確得1分;⑩求出平面ACP的法向量正確得1分;?根據(jù)二面角的正弦值列出兩法向量的夾角公式得1分;?計(jì)算結(jié)果正確得2分;【評(píng)分細(xì)則】1.空間直角坐標(biāo)系無(wú)論左手系是右手系正確即可得1分;若無(wú)文字說(shuō)明,圖象有體現(xiàn)不扣分;2.采用左手系結(jié)果正

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