高考數(shù)學(xué) 選填滿分篇 熱點(diǎn)17　雙曲線

熱點(diǎn)17雙曲線年份202220232024角度題號(hào)角度題號(hào)角度題號(hào)新高考Ⅰ卷——求雙曲線的離心率16求雙曲線的離心率12新高考Ⅱ卷——————【考向一】雙曲線的定義及方程【典例1】(2024·天津高考)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.P是雙曲線右支上一點(diǎn),且直線PF2的斜率為2,△PF1F2是面積為8A.x22-y28=1 B.C.y24-x28=1 D.【審題思維】設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n→由雙曲線的定義得m-n=2a→由△PF1F2是面積為8的直角三角形→m2+n2=(2c)2,12mn=8→由直線PF2的斜率為2→tan∠F1F2P=mn=2,即m=2n→求出m,n的值→進(jìn)而求出a,b的值→得到雙曲線的方程【題后反思】雙曲線定義應(yīng)用的三種類型及解題策略求方程通過對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化,明確動(dòng)點(diǎn)滿足雙曲線的定義,便可直接求解其軌跡方程焦點(diǎn)三角形問題解決焦點(diǎn)三角形問題常利用雙曲線的定義、正弦定理或余弦定理,結(jié)合||PF1|-|PF2||=2a,運(yùn)用平方建立與|PF1|·|PF2|的關(guān)系求最值利用||PF1|-|PF2||=2a轉(zhuǎn)化或變形,借助三角形的性質(zhì)或構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”求最值【提醒】1.不能漏掉“絕對(duì)值”,否則軌跡是雙曲線的一支;2.“常數(shù)”小于|F1F2|,否則軌跡是兩條射線或不存在;3.確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸位置,否則容易漏解或錯(cuò)解.【典例2】(2023·天津高考)雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.過F2作其中一條漸近線的垂線,垂足為P②.已知|PF2|=2①,直線PF1的斜率為A.x28-y24=1 B.C.x24-y22=1 D.【審題思維】①利用點(diǎn)到直線的距離求出|PF2|,進(jìn)而求得b的值②聯(lián)立方程組求出垂足P的坐標(biāo)③通過斜率公式建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式【題后反思】巧設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的六種方法與技巧(1)焦點(diǎn)在x軸上:設(shè)為x2a2-y2b2=1((2)焦點(diǎn)在y軸上:設(shè)為y2a2-x2b2=1((3)與雙曲線x2a2-y2b2=1共焦點(diǎn):設(shè)為x2a2-λ-y2(4)與雙曲線x2a2-y2b2=1具有相同漸近線:設(shè)為x2a(5)漸近線為y=kx:設(shè)為k2x2-y2=λ(λ≠0).(6)漸近線為ax±by=0:設(shè)為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).【考向二】雙曲線的幾何性質(zhì)【典例1】(2024·北京高考)已知雙曲線x24-y2=1,則過(3,0)且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為±1【審題思維】根據(jù)已知條件,設(shè)出直線方程,再與雙曲線方程聯(lián)立,再分類討論,并結(jié)合判別式,即可求解.【題后反思】1.直線與雙曲線的相交弦設(shè)直線y=kx+m交雙曲線x2a2-y2b2=1(P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn),則|P1P2|=(x1-x2)2+(y1同理可得|P1P2|=1+1k2|y1-y2這里|x1-x2|,|y1-y2|的求法通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,需作以下變形:|x1-x2|=(x|y1-y2|=(y2.雙曲線的中點(diǎn)弦問題遇到中點(diǎn)弦問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解.在雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=b2x0a2【典例2】(2024·新高考Ⅰ卷)設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作平行于y軸的直線交C于A,B兩點(diǎn),若|F1A|=13,|AB|=10,則【審題思維】由題意求出|F1A|,|F2A|→利用雙曲線的定義求出a→利用|F2A|=b2a=5求得b2→根據(jù)c2=a2+b2求得c→代入離心率公式求得結(jié)論【題后反思】求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a,b,c的值,由c2a2=a2(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2=c2-a2消去b,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.【提醒】1.雙曲線中a,b,c三個(gè)量之間滿足c2=a2+b2,注意不要與橢圓中a,b,c之間的關(guān)系混淆;2.雙曲線的離心率大于1,橢圓的離心率e∈(0,1).求它們的離心率,不要忽視這一前提條件,否則會(huì)產(chǎn)生增解或擴(kuò)大取值范圍的情況.【真題再現(xiàn)】1.★☆☆☆☆(2024·全國甲卷)已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0,4),F2(0,-4),點(diǎn)(-6,4)在該雙曲線上,則該雙曲線的離心率為(C)A.4 B.3 C.2 D.22.★★☆☆☆(2023·全國甲卷)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,其中一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B兩點(diǎn),A.15 B.55 C.253.★★★☆☆(2023·全國乙卷)設(shè)A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點(diǎn),下列四個(gè)點(diǎn)中,可為線段AB中點(diǎn)的是(A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)4.★★★☆☆(2023·新高考Ⅰ卷)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B在y軸上,⊥,=-23,則C的離心率為

5.★★☆☆☆(2022·全國甲卷)記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值2(答案不唯一,滿足1<e【模擬精選】1.★☆☆☆☆(2024·蘭州三模)已知雙曲線C:y23m+2-x2m=1(m>0)的實(shí)軸長等于虛軸長的2倍,A.y=±12x B.y=±22x C.y=±2x D.y=±2.★★☆☆☆(2024·葫蘆島模擬)已知點(diǎn)F是雙曲線x2-y29=1的左焦點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),點(diǎn)Q是雙曲線漸近線上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PQ|的最小值為(A.8 B.5 C.3 D.23.★★☆☆☆(2024·東城二模)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(3,2),A.x23-y2=1 B.x2-C.x26-y22=1 D.x24.★★★☆☆(2024·南昌三模)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.過F2作直線l與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB的周長為10b,A.[52,5] B.[32,3] C.[125.★★★☆☆(2024·杭州模擬)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,直線l過點(diǎn)F2且平行于C的一條漸近線,l交C于點(diǎn)P,若·=0,則CA.3 B.2 C.5 D.36.★★★☆☆(多選題)(2024·重慶三模)已知雙曲線C:x2a2-y216=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線C上一點(diǎn),且△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為IA.a=3 B.直線PF1的斜率為1C.△PF1F2的周長為643 D.△PF1F2的外接圓半徑為7.★★★☆☆(2024·銅川模擬)已知雙曲線C:y2a2-x2=1(a>0),過雙曲線上一點(diǎn)M(x0,y0)作直線l,分別與雙曲線的兩條漸近線交于點(diǎn)P,Q,且M為PQ的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若雙曲線的離心率為52,則△OPQ的面積為【創(chuàng)新演練】1.★★★☆☆(2024·武漢模擬)已知a,b∈R,ab<0,函數(shù)f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)依次成等比數(shù)列,則平面Oxy上的點(diǎn)(s,t)的軌跡是(D)A.直線和焦點(diǎn)在x軸的橢圓B.直線和焦點(diǎn)在y軸的橢圓C.直線和焦點(diǎn)在x軸的雙曲線D.直線和焦點(diǎn)在y軸的雙曲線2.★★★★☆(多選題)(2024·常州二模)雙曲線具有光學(xué)性質(zhì):從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射,其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖,雙曲線E:x24-y26=1的左、右