高考數(shù)學(xué) 專項(xiàng)拔高 中檔大題練5

中檔大題練5(限時(shí)40分鐘)1.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知·-·=λ(1)若λ=1,判斷△ABC的形狀;【解析】(1)根據(jù)題意,·-·=λ,即||·||cosA-||·||cosB=λ||2,所以bcb2+c2-a2化簡(jiǎn)得b2-a2=λc2,當(dāng)λ=1時(shí),得b2=c2+a2,即△ABC為直角三角形.(2)若λ=12,求tan(B-A)的最大值【解析】(2)當(dāng)λ=12時(shí),由(1),得b2-a2=12c根據(jù)正弦定理,得sin2B-sin2A=12sin2C即(sinB-sinA)(sinB+sinA)=12sin2C根據(jù)和差化積公式,得2sinB+A2cosB-A2·2cosB+A2sinB即2sin(B-A)=sin(A+B),化簡(jiǎn)得3sinAcosB=cosAsinB,所以3tanA=tanB.設(shè)tanA=t,則tanB=3t,(t>0)所以tan(B-A)=3t-t1+3t2=2t當(dāng)且僅當(dāng)1t=3t=3,即t=33時(shí),即當(dāng)A=π6,B=π3時(shí),tan(B-A)取最大值為2.已知函數(shù)f(x)=x-alnx,a∈R.(1)當(dāng)a=2時(shí),曲線y=f(x)與曲線f1(x)=-x2+m恰有一條公切線y=-x+t,求實(shí)數(shù)m與t的值;【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x-2lnx,可得f'(x)=1-2x令f'(x)=1-2x=-1,可得x又因?yàn)閒(1)=1,所以切點(diǎn)(1,1)在直線y=-x+t上,則t=2.因?yàn)閒1(x)=-x2+m,所以f'1(x)=-2x,令f'1(x)=-1,則x=12在直線y=-x+2中,令x=12,可得y=3又因?yàn)辄c(diǎn)(12,32)在曲線f1(x)=-x2+m上,所以m=(2)若函數(shù)h(x)=x-alnx-1x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1<x2)且h(x2)-h(x1)≥-4e,求a【解析】(2)函數(shù)h(x)=x-alnx-1x可得h'(x)=1-ax+1x2=x因?yàn)楹瘮?shù)h(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以x2-ax+1=0有兩個(gè)不相等正根,則x1由h(x2)-h(x1)=x2-alnx2-1x2-x1+alnx1+1x1=(x2-x1)+a(lnx1-ln=2(1x1-x1)+2(x1+1x1)lnx可得(1x1-x1)+(x1+1x1)lnx令g(x)=1x-x+(x+1x)lnx(0<x<1),g'(x)=-1x2-1+(1-1x2)lnx+1+1x2=所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增.因?yàn)間(1e)=e-1e+(1e所以由(1x1-x1)+(x1+1x1)lnx可得1e≤x1令函數(shù)m(x)=x+1x,x∈[1e,1可得m'(x)=1-1x2=所以m(x)在[1e,1)上單調(diào)遞減可得m(x)>m(1)=2,m(x)max=m(1e)=1又因?yàn)閍=x1+1x所以a的取值范圍是(2,e+1e]3.如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥CD,AD∥BC,AD=CD=2,BC=3,A1C1與B1D1交于E,G為棱BB1上一點(diǎn),且BB1=3BG,點(diǎn)C1到平面A1BD的距離為1017(1)判斷AG是否在平面AED1內(nèi),并說(shuō)明理由;【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)A作與AD垂直的直線為x軸,AD,AA1所在的直線分別為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)直四棱錐的高為m,則D(0,2,0),B(2,-1,0),C1(2,2,m),A1(0,0,m),A(0,0,0),B1(2,-1,m),D1(0,2,m),G(2,-1,m3),=(2,-1,-m),=(2,2,0),=(0,2,-m),設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則,即2x1-y1-mz1=0所以點(diǎn)C1到平面A1BD的距離為d==|6m+4m令10|m|13m2+16設(shè)平面AB1D1的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),由=(2,-1,2),=(0,2,2),則,即2x取n2=(-3,-2,2),而=(2,-1,23),所以·n2=2×(-3)+(-1)×(-2)+23×2=-83又AB1與AE,AD1共面,故直線AG不在平面AED1內(nèi).(2)求平面AD1E與平面AA1D1D所成角的余弦值.【解析】(2)由(1)知平面AED1的一個(gè)法向量為n2=(-3,-2,2),易知平面AA1D1D的一個(gè)法向量為n3=(1,0,0),設(shè)二面角E-AD1-A1的平面角為α,則cosα=|n2·n3|n故二面角E-AD1-A1的余弦值為3174.在①a3+a5=14;②S4=28;③a8是a5與a13的等比中項(xiàng),三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并給出解答.問題:已知an為公差不為零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,bn為等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Tn=2n+λ,λ為常數(shù),a1=b(1)求數(shù)列an,bn(2)令cn=lgan,其中x表示不超過(guò)x的最大整數(shù),求c1+c2+c3+…+c注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】若選①:1由已知b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,q=b3b2=2,所以bn=b2qn-2=2×2n-2=2n-1,故a1=不妨設(shè)an的公差為d(d≠0),則1+2d+1+4d=14,解得d=2,所以an=2n-12由cn=lgan,則c1=c2=c3=c4=c5=0,c6=c7=…=c50=1,c51=c52=…=所以c1+c2+c3+…+c100=1×45+2×50=145.若選②:1由已知b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,q=b3b2=2,所以bn=b2qn-2=2×2n-2=2n-1,故a1=b1=1.不妨設(shè)an的公差為d(d≠0),則4×1+解得d=4,所以an=4n-3.2由cn=lgan,則c1=c2=c3=0,c4=c5=…=c25=1,c26=c27=…=所以c1+c2+c3+…+c100=1×22+2×75=172.若選③:1由已知b2=T2-T1=2,b3=T3-T2=4,q=b3b2=2,所以bn=b2qn-2=2×2n-2=2故a1=b1=1