2025年香港特別行政區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷（含海外留學(xué)數(shù)學(xué)競賽題）

2025年香港特別行政區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷（含海外留學(xué)數(shù)學(xué)競賽題）一、選擇題要求：從下列各題中，選擇一個(gè)正確的答案。1.若a、b是實(shí)數(shù)，且a+b=0，則下列各式中，一定成立的是：（A）a2=b2（B）a2+b2=0（C）a2-b2=0（D）a2+b2=2ab2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2,3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是：（A）(-2,-3)（B）(2,-3)（C）(-2,3)（D）(2,3)3.已知函數(shù)f(x)=2x+1，若f(a)=5，則a的值為：（A）2（B）3（C）4（D）54.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=5，b=7，c=8，則角A的度數(shù)是：（A）30°（B）45°（C）60°（D）75°5.已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+1，且a1=1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是：（A）an=2n-1（B）an=2n（C）an=2n+1（D）an=2n-2二、填空題要求：將正確答案填入空格中。6.若一個(gè)正方形的邊長為x，則它的周長是______。7.已知平行四邊形ABCD的邊長分別為5cm和7cm，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)E，若AE=4cm，則BE的長度是______cm。8.若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a≠0）的圖象開口向上，且f(1)=3，f(-1)=1，則a的值為______。9.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=75°，則∠C的度數(shù)是______。10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S1=1，S2=3，S3=7，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是______。四、解答題要求：解答下列各題。11.解方程組：$$\begin{cases}2x+3y=11\\x-y=1\end{cases}$$12.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，求：（1）函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸；（2）函數(shù)f(x)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）函數(shù)f(x)的零點(diǎn)。13.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=8，b=10，∠A=60°，求△ABC的面積。五、證明題要求：證明下列各題。14.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有(a+b)2=a2+2ab+b2。15.在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=45°，AB=2，求AC的長度。六、應(yīng)用題要求：解答下列各題。16.一輛汽車以60km/h的速度行駛，從A地出發(fā)前往B地，行駛了2小時(shí)后，因故障停車維修。維修完畢后，汽車以80km/h的速度繼續(xù)行駛，到達(dá)B地后，又以60km/h的速度返回A地。若整個(gè)行程中，汽車的平均速度為72km/h，求A、B兩地之間的距離。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（C）a2-b2=0解析：由于a+b=0，所以a=-b，將a代入a2-b2中，得到(-b)2-b2=0，即b2-b2=0，所以a2-b2=0。2.答案：（A）(-2,-3)解析：點(diǎn)P(2,3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是將原點(diǎn)坐標(biāo)分別取相反數(shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)是(-2,-3)。3.答案：（B）3解析：f(a)=2a+1=5，解得a=2，所以a的值為3。4.答案：（B）45°解析：在直角三角形中，勾股定理告訴我們a2+b2=c2，所以82+72=c2，解得c=√113，由余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入數(shù)值計(jì)算得到cosA=1/2，所以∠A=45°。5.答案：（A）an=2n-1解析：由遞推關(guān)系an=2an-1+1，且a1=1，我們可以計(jì)算出前幾項(xiàng)an的值，然后觀察規(guī)律。a1=1，a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，觀察得到an=2n-1。二、填空題6.答案：4x解析：正方形的周長是其四條邊的和，所以周長是4x。7.答案：3解析：由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分，所以BE=AE=4cm。8.答案：1解析：f(1)=a(1)2+b(1)+c=3，f(-1)=a(-1)2+b(-1)+c=1，聯(lián)立方程組解得a=1。9.答案：75°解析：由于∠A=30°，∠B=75°，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-75°=75°。10.答案：an=2n-1解析：由前n項(xiàng)和公式Sn=n(a1+an)/2，代入S1=1，S2=3，S3=7，解得a1=1，an=2n-1。四、解答題11.答案：$$x=2,y=1$$解析：通過消元法或代入法解方程組，這里我們選擇代入法，將x=2代入第二個(gè)方程得到y(tǒng)=1。12.答案：（1）對(duì)稱軸：x=2（2）頂點(diǎn)坐標(biāo)：(2,-1)（3）零點(diǎn)：x=1和x=3解析：對(duì)稱軸的x坐標(biāo)是頂點(diǎn)的x坐標(biāo)，即x=2。頂點(diǎn)的y坐標(biāo)是函數(shù)的最小值，由f(x)=x2-4x+3，求導(dǎo)得f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2，代入原函數(shù)得f(2)=-1，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,-1)。令f(x)=0解得x=1和x=3。13.答案：16√3解析：由余弦定理cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)，代入數(shù)值計(jì)算得到cosA=1/2，所以sinA=√3/2。面積S=1/2*a*b*sinA=1/2*8*10*√3/2=16√3。五、證明題14.答案：證明過程如下：$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$解析：直接展開左邊的平方，得到a2+2ab+b2，與右邊相等，證明成立。15.答案：AC=√2解析：由于∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形，AC=AB=2。六、應(yīng)用題16.答案：AB=40km解析：設(shè)A、