北京信息科技大學(xué)2018-2019學(xué)年第二學(xué)期《線性代數(shù)》課程期末考試試卷

-PAGE6-北京信息科技大學(xué)2018~2019學(xué)年第二學(xué)期《線性代數(shù)》課程期末考試試卷（A）課程所在學(xué)院：理學(xué)院適用專(zhuān)業(yè)班級(jí)：工科48學(xué)時(shí)考試形式：閉卷 一、簡(jiǎn)答題（本題滿分20分，共含4道小題，每小題5分）1、求排列538741296逆序數(shù)，并說(shuō)明奇偶性．解：逆序數(shù)為18.（5分）2、用施密特法把下列向量組正交化：，，．解：令；（1分）=；（2分）（2分）3、判定二次型是否正定．解：該二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣為，（1分）其一階主子式；（1分）二階主子式；（1分）三階主子式（1分）因此該二次型為正定二次型。（1分）4、設(shè)矩陣，其中，線性無(wú)關(guān)，，向量，求方程的通解．解：由、線性無(wú)關(guān)，知，則導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系中只含一個(gè)向量。（1分）由，可得為導(dǎo)出組的一個(gè)解。（1分）由，可知為方程組的一個(gè)特解。（2分）由上所述，方程組的通解為+，其中為任意常數(shù)。（1分）二、完成下列各題（本題滿分24分，共含4道小題，每小題6分）1、設(shè)，D的元的代數(shù)余子式記作，求．解：（3分）=11。（3分）2、已知齊次線性方程組有非零解，求k的值．解：由于齊次方程組有非零解，則系數(shù)行列式，（1分）即（2分）。（2分）因此。（1分）3、設(shè)是3階方陣，它的特征值為，，，求，并判斷是否可逆．解：=，；令，則其特征值為；（1分）將，，代入，、、。（3分）因此，=，（1分）且不可逆。（1分）4、設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，，，，證明向量組線性無(wú)關(guān)．證明：已知（2分）而（2分）為非奇異矩陣，因此因此向量組線性無(wú)關(guān)。（2分）三、計(jì)算題（本題滿分32分，共含4道小題，每小題8分）1、計(jì)算四階行列式．解：（4分）（4分）2、已知，求．解：（4分），因此。（4分）3、設(shè)矩陣，，(1)求；(2)矩陣X滿足關(guān)系式，求矩陣X．解：(1)（2分）(2)，，因此；（2分），，（2分）（2分）4、已知，求此非齊次線性方程組的通解．解：增廣矩陣（4分）令，（2分）方程組的通解為，.（2分）四、綜合題（本題滿分24分，共含2道小題，每小題12分）1、已知向量組，，，求這個(gè)向量組的秩及一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示．解：令（4分），向量組的秩為3。（2分）一個(gè)最大無(wú)關(guān)組是，（3分）。（3分）2、求正交變換X=PY，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形（注：寫(xiě)出所用變換及對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形）．解：該二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)矩陣為，（1分） 三個(gè)特征值為；（2分）對(duì)特征值，求解方程組，其特征向量為為任意非零常數(shù)。（2分）對(duì)特征值，求解方程組，其特征向量為為任意非零常數(shù)。（2分）對(duì)特征值，求解方程組，其特征向量為為任意非零常數(shù)。