第10講直線與圓的位置關(guān)系（十三大題型）（原卷版）

第10講直線與圓的位置關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：不含參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系題型二：含參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系題型三：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)題型四：求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)題型五：求過圓上一點(diǎn)的切線方程題型六：求過圓外一點(diǎn)的切線方程題型七：求切線長題型八：已知切線求參數(shù)題型九：求弦長問題題型十：已知弦長求參數(shù)題型十一：切點(diǎn)弦問題題型十二：最值問題題型十三：三角形面積問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系：（1）直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)．2、直線與圓的位置關(guān)系的判定：（1）代數(shù)法：判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線與圓C有公共點(diǎn)．有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相切；無實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相離．（2）幾何法：由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系判斷：當(dāng)時(shí)，直線與圓C相交；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相離．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得．（2）當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理．（3）當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來解決．知識(shí)點(diǎn)二：圓的切線方程的求法1、點(diǎn)在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．2、點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．知識(shí)點(diǎn)詮釋：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．常見圓的切線方程：（1）過圓上一點(diǎn)的切線方程是；（2）過圓上一點(diǎn)的切線方程是．知識(shí)點(diǎn)三：求直線被圓截得的弦長的方法1、應(yīng)用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．2、利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長．【典例例題】題型一：不含參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系【例1】（2023·新疆喀什·高二校考期末）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相切 B．相交但直線過圓心C．相交但直線不過圓心 D．相離【對點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學(xué)?？计谥校┲本€與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷題型二：含參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系【例2】（2023·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？茧A段練習(xí)）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【對點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)，則直線：與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交【對點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）直線l：與圓C：的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．與a的值有關(guān)題型三：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【例3】（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【對點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)?？计谥校﹫A上到直線距離為的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．無數(shù)個(gè)【對點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·高二單元測試）直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．或題型四：求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)【例4】（2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【對點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）給定四條曲線：①，②，③，④，其中與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)的曲線是（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④題型五：求過圓上一點(diǎn)的切線方程【例5】（2023·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)校考階段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為__________.【對點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）圓在點(diǎn)處的切線方程為____________.【對點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·重慶九龍坡·高二重慶市渝高中學(xué)校校考期末）圓的過點(diǎn)的切線方程為___________.題型六：求過圓外一點(diǎn)的切線方程【例6】（2023·北京·高二北京一七一中?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)的圓的切線方程為_________________．【對點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·高二單元測試）經(jīng)過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_______.【對點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·安徽蕪湖·高二安徽省無為襄安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)做圓的切線l，則l的方程為________．題型七：求切線長【例7】（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┯芍本€上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為______.【對點(diǎn)訓(xùn)練11】（2023·上海楊浦·高二?？计谥校┯芍本€上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為______．【對點(diǎn)訓(xùn)練12】（2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考期中）過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則___________.【對點(diǎn)訓(xùn)練13】（2023·四川綿陽·高二?？计谥校┮阎狿是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形面積的最小值為______________．題型八：已知切線求參數(shù)【例8】（2023·浙江杭州·高二浙江省杭州第七中學(xué)?？计谥校┤糁本€與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【對點(diǎn)訓(xùn)練14】（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校考期中）若A為射線上的動(dòng)點(diǎn)，B為x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．若直線AB與圓相切，則的最小值為________．【對點(diǎn)訓(xùn)練15】（2023·高二單元測試）已知圓與直線相切，則___________.【對點(diǎn)訓(xùn)練16】（2023·福建漳州·高二校聯(lián)考期中）已知過點(diǎn)的直線與圓C：相切，且與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為___________.題型九：求弦長問題【例9】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長為______．【對點(diǎn)訓(xùn)練17】（2023·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍為________.【對點(diǎn)訓(xùn)練18】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線：被圓截得的弦長是______．【對點(diǎn)訓(xùn)練19】（2023·湖南永州·高二統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則__________．【對點(diǎn)訓(xùn)練20】（2023·上海浦東新·高二上海師大附中校考階段練習(xí)）已知過點(diǎn)的直線l被圓所截得的弦長為8，則直線l的方程為______.題型十：已知弦長求參數(shù)【例10】（2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┰O(shè)直線與圓相交所得弦長為，則_____【對點(diǎn)訓(xùn)練21】（2023·高二單元測試）過圓內(nèi)一點(diǎn)的最短的弦所在的直線方程是________.【對點(diǎn)訓(xùn)練22】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線截圓所得弦長為2，則的最小值為______．題型十一：切點(diǎn)弦問題【例11】（2023·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，則直線的方程為_______．【對點(diǎn)訓(xùn)練23】（2023·江蘇揚(yáng)州·高二?？奸_學(xué)考試）已知圓，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為______．【對點(diǎn)訓(xùn)練24】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）過直線l：上任一點(diǎn)P向圓C：作兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為________________【對點(diǎn)訓(xùn)練25】（2023·高二單元測試）過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線方程是________．【對點(diǎn)訓(xùn)練26】（2023·高二?？紗卧獪y試）已知點(diǎn)P是直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B．若圓心O到直線的距離的最大值為，則實(shí)數(shù)m=________．題型十二：最值問題【例12】（2023·山東聊城·高二?？计谀┮阎獔A經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上，(1)求圓的方程.(2)點(diǎn)在圓上，求的最大值.(3)直線當(dāng)為何值時(shí)，圓上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于3.【對點(diǎn)訓(xùn)練27】（2023·浙江杭州·高二期末）已知圓C的方程為．(1)直線l過點(diǎn)，且與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程；(2)點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，求的最大值和最小值．【對點(diǎn)訓(xùn)練28】（2023·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過點(diǎn)和且圓心在直線上．(1)求圓C的方程；(2)若點(diǎn)P為圓C上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線距離的最大值和最小值．【對點(diǎn)訓(xùn)練29】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求：(1)的最大值；(2)的最值．【對點(diǎn)訓(xùn)練30】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)?？计谀┮阎獔A，點(diǎn).(1)求過點(diǎn)的圓的切線方程；(2)求的最小值.題型十三：三角形面積問題【例13】（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，且交直線于，兩點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的面積.【對點(diǎn)訓(xùn)練31】（2023·湖南岳陽·高二校聯(lián)考期中）已知直線交圓于兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求直線的斜率；(2)當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的斜率.【對點(diǎn)訓(xùn)練32】（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期中）已知圓C的半徑為3，圓心C在射線上，直線被圓C截得的弦長為(1)求圓C方程;(2)過點(diǎn)的直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，且的面積是為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程.【對點(diǎn)訓(xùn)練33】（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）已知圓，直線過點(diǎn).(1)若直線與圓相切，求直線的方程；(2)若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的斜率.【對點(diǎn)訓(xùn)練34】（2023·安徽亳州·高二校聯(lián)考期末）已知圓，直線l過原點(diǎn)．(1)若直線l與圓M相切，求直線l的方程；(2)若直線l與圓M交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）直線被圓截的的弦長為（

）A． B． C．2．（2023·河北石家莊·高二石家莊一中校考階段練習(xí)）如圖，從外一點(diǎn)引圓的切線和割線，已知，，的半徑為4，則圓心到的距離為（

）

A． B． C． D．3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過三點(diǎn)的圓交于軸于兩點(diǎn)，則＝（

）A． B．8 C． D．104．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與圓相交，則（

）A． B． C． D．5．（2023·高二校考課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．6．（2023·上海黃浦·高二上海市向明中學(xué)校考期中）圓上到直線距離為的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．無數(shù)個(gè)7．（2023·高二單元測試）直線與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．不確定8．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．曲線的方程為 B．直線與曲線的位置關(guān)系無法確定C．若直線與曲線相交，其弦長為4，則 D．的最大值為310．（2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓的方程為，則關(guān)于圓的說法正確的是（

）A．圓心的坐標(biāo)為B．點(diǎn)在圓內(nèi)C．直線被圓截得的弦長為D．圓在點(diǎn)處的切線方程為11．（2023·山東日照·高二校考階段練習(xí)）實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值可能為（）A． B．C． D．12．（2023·云南臨滄·高二云南省鳳慶縣第一中學(xué)校考期中）已知圓，直線為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．四邊形面積的最小值為4B．四邊形面積的最大值為8C．當(dāng)最大時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為三、填空題13．（2023·上海靜安·高二統(tǒng)考期末）過點(diǎn)的直線與圓相切，則直線的斜率為______.14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓關(guān)于直線成軸對稱，則的取值范圍是____．15．（2023·陜西西安·高二長安一中?？计谀┮阎本€與圓，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為__________.16．（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）以原點(diǎn)O為圓心作單位圓O，直線l與直線平行，且過點(diǎn)，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線與圓O相切于點(diǎn)B，則面積的最小值為____________．四、解答題17．（2023·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓經(jīng)過點(diǎn)，和直線相切，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)求圓在軸截得的弦長．18．（2023·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓過三個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)引圓的切線，求：(1)圓的一般方程；(2)圓過點(diǎn)的切線方程.19．（2023·高二單元測試）已知點(diǎn)在圓上．(1)求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長；(2)過