專題20行程問題（環(huán)形跑道問題）（原卷）

20222023學(xué)年小學(xué)六年級思維拓展舉一反三精編講義專題20行程問題（環(huán)形跑道問題）知識精講知識精講在行程問題中，與環(huán)行有關(guān)的行程問題的解決方法與一般的行程問題的方法類似，但有兩點值得注意：一是兩人同地背向運動，從第一次相遇到下次相遇共行一個全程；二是同地、同向運動時，甲追上乙時，甲比乙多行了一個全程。典例分析典例分析【典例分析01】甲、乙、丙三人沿著湖邊散步，同時從湖邊一固定點出發(fā)。甲按順時針方向行走，乙與丙按逆時針方向行走。甲第一次遇到乙后1EQ\F(1,4)分鐘于到丙，再過3EQ\F(3,4)分鐘第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的EQ\F(2,3)，湖的周長為600米，求丙的速度。甲第一次與乙相遇后到第二西與乙相遇，剛好共行了一圈。甲、乙的速度和為600÷（1EQ\F(1,4)+3EQ\F(3,4)）=120米/分。甲、乙的速度分別是：120÷（1+EQ\F(2,3)）=72（米/分），120—72=48（米/分）。甲、丙的速度和為600÷（1EQ\F(1,4)+3EQ\F(3,4)+1EQ\F(1,4)）=96（米/分），這樣，就可以求出丙的速度。列算式為甲、乙的速度和：600÷（1EQ\F(1,4)+3EQ\F(3,4)）=120（米/分）甲速：120÷（1+EQ\F(2,3)）=72（米/分）乙速：120—72=48（米/分）甲、丙的速度和：600÷（1EQ\F(1,4)+3EQ\F(3,4)+1EQ\F(1,4)）=96（米/分）丙的速度：96—72=24（千米/分）答：丙每分鐘行24米。【典例分析02】甲、乙兩人在同一條橢圓形跑道上做特殊訓(xùn)練。他們同時從同一地點出發(fā)，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到達出發(fā)點后，立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲的EQ\F(2,3)，甲跑第二圈時的速度比第一圈提高了EQ\F(1,3)，乙跑第二圈時速度提高了EQ\F(1,5)。已知甲、乙兩人第二次相遇點距第一次相遇點190米。這條橢圓形跑道長多少米？根據(jù)題意畫圖342：甲、乙從A點出發(fā)，沿相反方向跑，他們的速度比是1：EQ\F(2,3)=3：2。第一次相遇時，他們所行路程比是3：2，把全程平均分成5份，則他們第一次相遇點在B點。當甲A點時，乙又行了2÷3×2=1EQ\F(1,3)。這時甲反西骯而行，速度提高了EQ\F(1,3)。甲、乙速度比為[3×（1+EQ\F(1,3)）：2]=2：1，當乙到達A點時，甲反向行了（3—1EQ\F(1,3)）×2=3EQ\F(1,3)。這時乙反向而行，甲、乙的速度比變成了[3×（1+EQ\F(1,3)）]：[2×（1+EQ\F(1,5)）]=5：3。這樣，乙又行了（5—3EQ\F(1,3)）×EQ\F(3,5+3)=EQ\F(5,8)，與甲在C點相遇。B、C的路程為190米，對應(yīng)的份數(shù)為3—EQ\F(5,8)=2EQ\F(3,8)。列式為1：EQ\F(2,3)=3：22÷3×2=1EQ\F(1,3)[3×（1+EQ\F(1,3)）：2]=2：1（3—1EQ\F(1,3)）×2=3EQ\F(1,3)[3×（1+EQ\F(1,3)）]：[2×（1+EQ\F(1,5)）]=5：3（5—3EQ\F(1,3)）×EQ\F(3,5+3)=EQ\F(5,8)190÷（3EQ\F(5,8)）×5=400（米）答：這條橢圓形跑道長400米。【典例分析03】繞湖的一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行。小王以每小時4千米速度走1小時后休息5分鐘，小張以每小時6千米的速度每走50分鐘后休息10分鐘。兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？小張的速度是每小時6千米，50分鐘走5千米，我們可以把他們出發(fā)后的時間與行程列出下表：小王時間1小時5分2小時10分3小時15分行程4千米8千米12千米小張時間1小時2小時3小時行程5千米10千米15千米12+15=27，比24大，從上表可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間。出發(fā)后2小時10分，小張已走了10+5÷（50÷10）=11（千米），此時兩人相距24—（8+11）=5（千米）。由于從此時到相遇以不會再休息，因此共同走完這5千米所需的時間是5÷（4+6）=0.5（小時），而2小時10分+0.5小時=2小時40分。小張50分鐘走的路程：6÷60×50=5（千米）小張2小時10分后共行的路程：10+5÷（50÷10）=11（千米）兩人行2小時10分后相距的路程：24—（8+11）=5（千米）兩人共同行5千米所需時間：5÷（4+6）=0.5（小時）相遇時間：2小時10分+0.5小時=2小時40分【典例分析04】一個游泳池長90米。甲、乙二人分別從游泳池的兩端同時出發(fā)，游到另一端立即返回。找這樣往、返游，兩人游10分鐘。已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。在出發(fā)后的兩分鐘內(nèi)，二人相遇了幾次？設(shè)甲的速度為a，乙的速度為b，a：b的最簡比為m：n，那么甲、乙在半個周期內(nèi)共走m+n個全程。若m＞n，且m、n都是奇數(shù)，在一個周期內(nèi)甲、乙相遇了2m次；若m＞n，且m為奇數(shù)（或偶數(shù)），n為偶數(shù)（或奇數(shù)），在半個周期末甲、乙同時在乙（或甲）的出發(fā)位置，一個周期內(nèi)，甲、乙共相遇（2m—1）次。甲速：乙速=3：2，由于3＞2，且一奇數(shù)一偶數(shù)，一個周期內(nèi)共相遇（2×3—1=）5次，共跑了[（3+2）×2=]10個全程。10分鐘兩人合跑周期的個數(shù)為：60×10÷[90÷（2+3）×10]=3EQ\F(1,3)（個）3個周期相遇（5×3=）15（次）；EQ\F(1,3)個周期相遇2次。一共相遇：15+2=17（次）答：二人相遇了17次?！镜淅治?5】甲、乙兩地相距60千米。張明8點從甲地出發(fā)去乙地，前一半時間平均速度為每分鐘1千米，后一半時間平均速度為每分鐘0.8千米。張明經(jīng)過多少時間到達乙地？因為前一半時間與后一半時間相同，所以可假設(shè)為兩人同時相向而行的情形，這樣我們可以求出兩人合走60千米所需的時間為[60÷（1+0.8）=]33EQ\F(1,3)分鐘。因此，張明從甲地到乙地的時間列算式為60÷（1+0.8）×2=66EQ\F(2,3)（分鐘）答：張明經(jīng)過66EQ\F(2,3)分鐘到達乙地。真題演練真題演練一．選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）1．（2分）（2020秋?新田縣期中）軍軍和明明在學(xué)校操場的環(huán)形跑道上跑步，軍軍小時跑一圈，明明小時跑一圈，如果兩人同時同點相背而行，（）小時兩人相遇。A． B． C．2．（2分）（2018?開福區(qū)）如圖，在一圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發(fā)，反向而行，8分后兩人相遇，再過6分甲到B點，又過10分兩人再次相遇．甲環(huán)行一周需（）分．A．28 B．30 C．32 D．343．（2分）（2021秋?河西區(qū)期末）小紅和爺爺在圓形街心花園散步。小紅走一圈需要6分，爺爺需要8分。如果兩人同時同地出發(fā)，相背而行，12分時兩人的位置如下面（）圖。A． B． C． D．4．（2分）如圖，花園內(nèi)有一個圓形水庫，老鼠在圓心O處，貓在岸上點A處。老鼠從點O沿著半徑向點B逃跑，同時貓從點A沿著箭頭方向追。已知貓的速度是老鼠的3倍，則（）會先到達點B。A．老鼠 B．貓 C．同時5．（2分）（2022?江寧區(qū)）小紅和爺爺圍繞一個圓形的湖泊散步鍛煉身體，小紅走完一圈需要6分鐘。爺爺走完一圈需要8分鐘。如果兩人同時從同地出發(fā)，相背而行。走了12分鐘以后，兩人的位置是如圖的第（）幅圖。A． B． C．6．（2分）（2011?碑林區(qū)校級自主招生）一個圓的周長為1.26米，兩只螞蟻從一條直徑的兩端同時出發(fā)沿圓周相向爬行．這兩只螞蟻每秒分別爬行5.5厘米和3.5厘米，兩只螞蟻分別爬行1秒、3秒、5秒…（連續(xù)奇數(shù)），就掉頭爬行．那么，它們相遇時，已爬行的時間是（）秒．A．7 B．49 C．7或49 D．以上答案都不對二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）7．（2分）（2021秋?電白區(qū)期末）淘氣跑一圈跑道要6分鐘，媽媽跑一圈要4分鐘，爸爸跑一圈只需2分鐘。他們一同起跑后，分在起點第一次相遇，相遇時，媽媽跑了圈。8．（2分）（2014?西安）如圖，點P為長方形ABCD上的一個動點，它以每秒1cm的速度，從A點出發(fā)，沿著A→B→C→D的路線運動，到D點停止．當其運動2秒或6秒時，△PAD的面積均為4cm2，則長方形ABCD的周長為cm．9．（2分）（2021秋?肇源縣期末）一條環(huán)形跑道，爸爸跑一圈用4分，媽媽跑一圈用6分，淘氣跑一圈用8分，三人同時從起點出發(fā)，分后，可以在起點第一次相遇。10．（2分）（2021春?淮濱縣校級期末）一條環(huán)形跑道的長是400米，小東和小明在跑道上同一點沿相反方向同時出發(fā)，小東每秒跑6米，小明每秒跑4米，那么，除第一次出發(fā)以外，3分鐘內(nèi)兩人在途中相遇次。11．（2分）（2021秋?平昌縣期末）甲、乙二人在圓形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方同時出發(fā)，同向跑，則經(jīng)過3分20秒可以第一次相遇；若反向跑，則經(jīng)過40秒也可以第一次相遇，已知甲跑步的速度每秒跑6m，這個圓形跑道的直徑是m。（圓周率π取3）12．（2分）（2021?重慶）如圖，正方形邊長是100來，甲、乙兩人同時從A、B沿圖中所示的方向出發(fā)，甲每分鐘走75米，乙每分鐘走65米，且兩人每到達一個頂點都需要休息2分鐘。甲從出發(fā)到第一次看見乙用分鐘。13．（2分）（2020?安溪縣）如圖，A、B是圓直徑的兩端，樂樂在A點，歡歡在B點，同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C點離A點90米，他們以同樣的速度繼續(xù)前行，在D點第二次相遇，D點離B點70米，那么這個圓的周長是米。14．（2分）（2018秋?浦東新區(qū)期末）如圖，點P在圓O的圓周上順時針勻速運動，現(xiàn)將圓O八等分，如果點P從A點開始經(jīng)過1分鐘，其位置正好第一次在B點，那么點P從A點開始經(jīng)過45分鐘，其位置在點．（用圖中的字母表示）15．（2分）（2018?廣州）如圖，點P為長方形ABCD上一動點，它以每秒1cm的速度從A出發(fā)，沿著A﹣B﹣C﹣D的路線運動，到點D停止，從2秒開始一直至8秒，△PAD的面積均為6cm2，那么長方形ABCD的周長為cm．16．（2分）（2015?內(nèi)江模擬）在一個邊長為1米的正方形木框ABCD的兩個頂點A、B分別有兩只螞蟻甲、乙，沿著木框逆時針爬行，如圖．10秒鐘后甲、乙距離B點的距離相同．30秒鐘后甲、乙距B點的距離又一次相同．甲螞蟻沿木框爬行一圈需秒，乙螞蟻沿木框爬行一圈需秒．三．應(yīng)用題（共12小題，滿分68分）17．（5分）（2022秋?雨花區(qū)期末）小紅和小麗在800米的環(huán)形跑道上跑步。小紅跑一圈要4分鐘，小麗跑一圈要5分鐘，如果兩人同時同地出發(fā)，同方向而行，多少分鐘后小紅超出小麗一整圈？18．（5分）（2022春?銅山區(qū)期末）李強和王剛在環(huán)形跑道上跑步，兩人同時從同一地點出發(fā)，相背而行。李強每秒跑4米，王剛每秒跑6米，經(jīng)過40秒兩人第一次相遇。（1）這個環(huán)形跑道長多少米？（2）相遇時，李強比王剛少跑多少米？19．（5分）（2022秋?監(jiān)利市期末）甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去。相遇后甲比原來速度增加2米/秒，乙比原來速度減少2米/秒，結(jié)果都用24秒同時回到原地。求甲原來的速度。20．（5分）（2022春?黃石期末）周末，李凱與爸爸媽媽一起在體育館運動場跑步鍛煉。李凱跑一圈要6分鐘，爸爸跑一圈用3分鐘，媽媽跑一圈用4分鐘。如果他們同時同地同向起跑，多少分鐘后他們?nèi)嗽俅蜗嘤?？這時李凱跑了多少圈？21．（6分）（2022春?舞鋼市期末）王老師和張老師在學(xué)校操場的環(huán)形跑道上跑步，跑道的全長是360米。如果李老師的速度是330米/分，張老師的速度390米/分，而且他們從跑道的同一地點同時出發(fā)往相反的方向跑，經(jīng)過多少分鐘兩人第一次相遇？22．（6分）（2022春?沈河區(qū)期末）（如圖）環(huán)湖公路一周長度是2400米，淘氣和笑笑同時從起點出發(fā)，，淘氣每分鐘跑180米，笑笑每分鐘跑120米。幾分鐘后淘氣和笑笑相遇？（下面兩個問題任選其一列方程解答，都解答加2分。）（1）如果兩人相背而行幾分鐘相遇？（2）如果兩人同向而行幾分鐘相遇？23．（6分）（2021?寧波模擬）如圖是長400米的跑道，由A點到B點的跑道長是200米，直線距離是50米。父子倆同時從A點出發(fā)按逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到B點便沿直線跑。父親每100米用20秒，兒子每100米用19秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時，第一次與父親相遇？24．（6分）（2022?江北區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的周長為40米，甲、乙兩人分別從A、B同時出發(fā)，沿正方形的邊行走，甲按逆時針方向每分鐘行60米，乙按順時針方向每分鐘行30米，如果用記號（a.b）表示兩人行了a分鐘，并相遇過b次，那么當兩人出發(fā)后第一次處在正方形的兩個相對頂點位置時，對應(yīng)的記號應(yīng)是多少？25．（6