河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知點，，，則（

）A． B． C． D．2．下列結(jié)論正確的是（

）A．三個點確定一個平面B．若空間中兩條直線沒有公共點，則它們互相平行C．若一條直線上有無數(shù)個點在一個平面內(nèi)，則這條直線在這個平面內(nèi)D．若一條直線上有無數(shù)個點在一個平面外，則這條直線與這個平面平行3．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若，均是單位向量，且，則（

）A． B．3 C．6 D．95．如圖，這是用斜二測畫法畫出的水平放置的梯形的直觀圖，其中，梯形的面積為30，則梯形的高為（

）A． B．10 C． D．206．半正多面體，亦稱“阿基米德多面體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，這樣的半正多面體也稱為二十四等邊體.由棱長為2的正方體截得的二十四等邊體的表面積為（

）A． B． C． D．7．的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則外接圓的半徑為（

）A． B． C．3 D．68．已知復(fù)數(shù)，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，，則（

）A． B． C． D．10．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若滿足，的有兩解，則的值可能為（

）A．5 B．6 C．7 D．811．如圖，正方體的棱長為6，P是AB的中點，是正方體的表面及其內(nèi)部一動點，則下列說法正確的是（

）A．正方體內(nèi)切球的表面積為B．若，則動點的軌跡與該正方體圍成的較小部分的體積為C．若點是的外心，則D．若動點滿足，則的最小值為三、填空題12．復(fù)數(shù)的虛部為.13．攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，多見于亭閣式建筑、園林建筑.位于河北省邯鄲市的武靈叢臺的主體建筑——據(jù)勝亭（圖1）就是四角攢尖的代表，它的屋頂部分的輪廓可以近似看作如圖2所示的正四棱錐，其中底面邊長約為6米，頂點到底面的距離約為2米，則據(jù)勝亭屋頂部分的體積約為立方米.14．如圖，在中，AB⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，D是BC的中點，E是以B為圓心，BD為半徑的圓上任意一點，則的取值范圍為.四、解答題15．如圖，在平行四邊形中，是的中點，.(1)用，表示，；(2)若，證明：.16．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，，求的面積.17．如圖，在多面體中，四邊形和四邊形均為正方形，四邊形和四邊形均為梯形，其中，，且．

(1)證明：B，D，E，G四點共面.(2)證明：三條直線交于一點.18．如圖，長方體的長、寬、高分別為x，y，2，且，．(1)當?shù)酌鏋檎叫螘r，求長方體的表面積和體積；(2)求三棱錐體積的最大值；(3)記三棱錐外接球的表面積為，底面ABCD的面積為，求的取值范圍.19．如圖，在中，是上一點，是上一點，且.

(1)已知，在的垂直平分線上，且，.①求；②若為外接圓的圓心，為外接圓的圓心，求.(2)若是的角平分線，，求的最大值.題號12345678910答案ACDBCBADABCBC題號11答案ACD1．A根據(jù)已知點的坐標，得出向量的坐標，求和即可得出答案.【詳解】因為，所以，則．故選：A.2．C根據(jù)空間點、線、面基本定理進行判斷.【詳解】三個不共線的點確定一個平面，A錯誤；若空間中兩條直線沒有公共點，則它們互相平行或為異面直線，B錯誤；若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則這條直線在這個平面內(nèi)，C正確；若一條直線上有無數(shù)個點在一個平面外，則這條直線與這個平面平行或與平面相交與一點，D錯誤.故選：C3．D根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法（乘方）運算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限．故選：D4．B根據(jù)數(shù)量積的運算律得出的值，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.所以，.故選：B.5．C先求出梯形的高，再利用平面圖與直觀圖面積的數(shù)量關(guān)系計算即得.【詳解】因為，梯形的面積為30，設(shè)梯形的高為，則，解得，則梯形的高為．故選：C.6．B先求出二十四等邊體邊長為，其中有個面為正方形，個面為正三角形，再求其表面積.【詳解】根據(jù)題意，正方體截得的二十四等邊體邊長為，其中有個面為正方形，個面為正三角形，其表面積為.故選：B7．A根據(jù)三角恒等變形得，再借助正弦定理角化邊可得，最后由正弦定理求解.【詳解】根據(jù)題意，，，即，根據(jù)正弦定理，得，可得，則，所以，則外接圓的半徑為.故選：A8．D根據(jù)易知結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件化簡可得.進而換元，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的最值.【詳解】因為，所以，則，所以，．令，所以，.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，有最小值；當時，有最小值.所以，．故選：D.9．ABCA利用復(fù)數(shù)的模的定義計算；B利用復(fù)數(shù)的加法運算；C先計算，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義；D利用復(fù)數(shù)的乘法運算.【詳解】由題意可得，，則，故A正確；，故B正確；，則，故C正確；，故D錯誤.故選：ABC10．BC由求出的范圍，即可判斷,【詳解】由滿足的有兩解，可得，即，即，則符合題意的有BC.故選：BC11．ACD由球的體積以及表面積公式即可判斷AB，由，結(jié)合數(shù)量積的運算律代入計算，即可判斷C，由題意可得三點共線，然后將正方體展開，結(jié)合勾股定理代入計算，即可判斷D【詳解】對于A，因為正方體的棱長為，則其內(nèi)切球的半徑，內(nèi)切球的表面積為，故A正確；對于B，由條件可知，點的軌跡是以為球心，為半徑的球的，則的軌跡與該正方體圍成的較小部分的體積為，故B錯誤；對于C，因為是以為邊長的等邊三角形，若點是的外心，即是的重心，由重心定理可得，則，故C正確；對于D，若動點滿足，由三點共線定理可知，三點共線，即點在線段上，將平展在一個平面中，如圖所示：則，故，故的最小值為，故D正確.故選：ACD12．5先化簡，再根據(jù)虛部的概念可得結(jié)果.【詳解】，虛部為5．故答案為：5.13．24根據(jù)椎體體積公式即可得到答案.【詳解】由題可知，據(jù)勝亭屋頂部分的體積約為立方米．故答案為：24.14．先求出相關(guān)線段長，結(jié)合圖形將線性表示，利用向量數(shù)量積的運算化簡成，由，根據(jù)圖形即可判斷的最大、最小值即可.【詳解】因，，則，又D是BC的中點，則，且，因，則，由圖知，當與方向相同時，取得最大值1；當與方向相反時，取得最小值，故的取值范圍為.故答案為：.15．(1)，(2)證明見解析（1）根據(jù)已知結(jié)合圖形性質(zhì)以及向量加法的幾何意義，即可得出答案；（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律，結(jié)合已知求出，即可得出證明.【詳解】（1）由已知可得，，則，.（2）由（1）知，，，所以，.因為，所以，所以，，所以，，.16．(1)(2)（1）利用正弦定理將邊化角，即可得到，再由平方關(guān)系解得即可；（2）由余弦定理求出，再由面積公式計算可得.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，由，得，所以，即又，解得或，又，所以，所以．（2）由余弦定理，得，解得或（負根舍去）．故的面積為．17．(1)證明見解析(2)證明見解析（1）由已知可得平面，平面，則得平面平面，則由面面平行的性質(zhì)可得，所以B，D，E，G四點共面；（2）延長，設(shè)它們交于一點，由已知可得，則，同理可得，則S和Q是同一個點，所以三條直線交于一點.【詳解】（1）

如圖，連接，因為，，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，所以B，D，E，G四點共面.（2）

延長，設(shè)它們交于一點S，因為，且，所以，則，同理，延長，設(shè)它們交于一點Q，因為四邊形和四邊形均為正方形，，則，又，所以，則，因此S和Q是同一個點，所以三條直線交于一點.18．(1)表面積為10，體積為2(2)(3)（1）由已知，利用長方體的表面積和體積計算方法計算即可；（2）由圖和已知可知三棱錐的體積為長方體的體積減去四個全等的三棱錐的體積，由表示出后，利用基本不等式即可求出最大值；（3）由題可知，三棱錐的外接球即長方體的外接球，則由表示出后代入并化簡，利用基本不等式即可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為底面為正方形，所以，則長方體的表面積為，體積為.（2）由圖和已知，，當且僅當時，等號成立，故三棱錐體積的最大值為.（3）由題可知，三棱錐的外接球即長方體的外接球，設(shè)該外接球的半徑為則，所以，則，令，則，，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的取值范圍為.19．(1)①；②1(2)1【詳解】（1）①因為，在的垂直平分線上，所以，，，