2024七年級數(shù)學(xué)上專題3 與數(shù)有關(guān)的排列規(guī)律重難點(diǎn)題型（舉一反三）（人教版）（解析版）

2024七上專題3與數(shù)有關(guān)的排列規(guī)律重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】

【人教版】

必沏分刑

【考點(diǎn)1周期規(guī)律】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵在于找到一列數(shù)的周期，而周期可通過列舉法來發(fā)現(xiàn)，根據(jù)題意從第一

項(xiàng)開始列舉直至找到重復(fù)第一項(xiàng)，即為一個周期，由此可解.

【例1］讓我們按以下步驟計算

第一步：取一個自然數(shù)勺=5,計算+1得4；

第二步：算出4的各位數(shù)字之和得%,計算足+1得4：

第三步：算出生的各位數(shù)字之和得〃J計算，片+1得??；

依此類推，則。刈5=()

A.26B.65C.122D.無法計算

【分析】根據(jù)題意可以分別求得4,%,陽,。4,從而可以發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，三個一循環(huán)，從而可以

求得生35的值.

【答案】解：由題意可得，

2

ax=5+1=26,

生=(2+6尸+1=65,

%=(6+5)2+1=122,

2

a4=(l+2+2)+l=26,

.?.2015+3=671…2,

^2015=65>

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律性：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是明確題意，求出前幾個數(shù)，觀察數(shù)的變化特點(diǎn)，

求出“2015的值.

【變式1-1】對于每個正整數(shù)〃，設(shè)/'(〃)表示〃(〃+1)的末位數(shù)字.例如：/(1)=2(1x2

末位數(shù)字)，f(2)=6(2x3的末位數(shù)字)，f(3)=2(3x4的末位數(shù)字)，...則/(1)+/(2)+f(3)

+...+/(2016)的值是()

A.4028B.4030C.4032D.4038

【分析】首先根據(jù)已知得出規(guī)律，/(1)=2(1x2的末位數(shù)字)，/(2)=6(2x3的末位數(shù)字)，f(3)=2(3x4

的末位數(shù)字)，f(4)=0,/(5)=0,f(6)=2,f(7)=6,f(8)=2,f(9)=0,…，

進(jìn)而求出即可.

【答案】解：-/f(1)=2(1x2的末位數(shù)字)，f(2)=6(2x3的末位數(shù)字)，f(3)=2(3x4的末位數(shù)字)，

f(4)=(),f(5)=0,f(6)=2,f(7)=6,f(8)=2,f(9)=0,

??■?

.?.每5個數(shù)一循環(huán)，分別為2,6,2,0,0...,

.?.2016+5=403…I,

:.J(1)+/(2)+f(3)+...+/(2016)

=2+6+2+0+0+2+6+2+...+2

=403x(2+64-2)+2

=4032.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出數(shù)字變化以及求出/(1)+/(2)+/(3)

+...+/(2016)=403x(2+6+2)+2是解題關(guān)鍵.

【變式1-2】在一列數(shù)：q,a2,中，4=3,%=7,從第三個數(shù)開始，

每一個數(shù)都等于它前兩個數(shù)之積的個位數(shù)字，則這一列數(shù)中的第2016個數(shù)是()

A.9B.3C.7D.1

【分析】本題可分別求出〃=3、4、5…時的情況，觀察它是否具有周期性，再把2016代入求解即可.

【答案】解：依題意得：4=3,a,=7?%=1，4=7,%=7,a6=9,%=3,4=7；

周期為6

2016+6=336，

所以%M6=4=9.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分

發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.而具有周期性的題目，找出周期是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3】有一列數(shù)4,a,,…滿足q=3,=—!—=>之后每一個數(shù)是1與

~1-%1-32

前一個數(shù)的差的倒數(shù)，即〃用=’，則劭.-。加8=()

A.--B.-C.--D.-

2362

【分析】根據(jù)差倒數(shù)的定義分別求出前幾個數(shù)，便不難發(fā)現(xiàn)，每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，再根據(jù)規(guī)

律求出4020與%，然后將它們相減即可得解.

【答案】解：4=3,

111

a,=----=----=—>

'1一％1-32

12

11

所以這列數(shù)的周期為3,

又2020+3=673-1,2018-3=672...2,

.—_1

??02020-J'g)18=--'

。2020—%018=3-(-3)=—?故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，理解差倒數(shù)的定義并求出每3個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的

關(guān)鍵.

【變式2-2】如圖所示，下列各三角形的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律最后一個三角形中)，的

【分析】根據(jù)已知圖形得出左邊三角形中的數(shù)字即為序數(shù)，而右邊三角形數(shù)是序數(shù)與1的和，下方三角形

數(shù)是上面兩個三角形中數(shù)字乘積與2的和，據(jù)此可得.

【答案】解：?.觀察可知：左邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：1,2,3,4…，，

右邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：2,3,4,5,…，〃+1,

下邊三角形的數(shù)字規(guī)律為：1x2+2,2x3+2,3x4+2,4x5+2,…，〃(〃+1)+2,

.?.)=20x21+2=422,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握左邊三角形中的數(shù)字即為序數(shù)，而右邊三角形

數(shù)是序數(shù)與1的和，下方三角形數(shù)是上面兩個三角形中數(shù)字乘積與2的和.

A.252B.209C.170D.135

【分析】首先根據(jù)圖示，可得第〃個表格的左上角的數(shù)等于〃，左下角的數(shù)等于〃+1；右上角的數(shù)分別為4,

6,8,10,...2/2+2,由此求出〃；最后根據(jù)每個表格中右下角的數(shù)等于左下角的數(shù)與右上角的數(shù)的積

加上左上角的數(shù)，求出X的值是多少即可.

【答案】解：由分析可知，2。+2=20,解得〃=9,

?/=10,

「=20/?+。=209，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了探尋數(shù)字規(guī)律問題，注意觀察總結(jié)出規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律.

【考點(diǎn)3數(shù)式的排列規(guī)律】

【方法點(diǎn)撥】解決此類問題在于通過數(shù)式的排列規(guī)律找到數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系.

【例3］觀察下列三行數(shù)：

0,3,8,15,24,…①

2,5,10,17,26,…②

0,6,16,30,48,…③

（1）第①行數(shù)按什么規(guī)律排的，請寫出來？

（2）第②、③行數(shù)與第①行數(shù)分別對比有什么關(guān)系？

（3）取每行的第〃個數(shù)，求這三個數(shù)的和.

【分析】（1）通過計算得到0=12一1,3=22—1,8=32—1,15=4-1,24=52—1,即每個數(shù)為它的序號

數(shù)的平方減1：

（2）觀察易得第①行的數(shù)加2得到第②行的數(shù)；第①行的數(shù)乘2得到第③行的數(shù)；

（3）先表示出第①行的第〃個數(shù)，『-1,再表示出第②、③行的第〃個數(shù)，然后求它們的和.

【答案】解：（1）0=12-1,3=22-1,8=32-1,15=42-1,24=52-1,...；

（2）第②行的數(shù)是第①行相應(yīng)的數(shù)加2所得；第③行的數(shù)是第①行相應(yīng)的數(shù)乘2所得；

（3）n2-l+n2-l+2+2（n2-l）

=4/"2.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型-數(shù)字的變化類：充分利用表中數(shù)據(jù)，分析它們之間的聯(lián)系，然后歸納出一般的

變化規(guī)律.

【變式3-1］仔細(xì)觀察下列三組數(shù)

第一組：1,4,9,16,25...

第二組：1,8,27,64,125...

第三組：一2,-8,-18,-32,-50……

（1）寫出每組的第6個數(shù)各是多少？

（2）第二組的第100個數(shù)是第一組的第100個數(shù)的多少倍？

（3）取每組的第20個數(shù)，計算這三個數(shù)的和.

【分析】（1）第一組按F,22,32,42,排列，第二組按L2\33,排列第三組，通過觀察可以發(fā)

現(xiàn)，此題實(shí)際上就是第一組中H勺數(shù)乘-2得來的：

（2）利川（1）中規(guī)律得出第二組的第100個數(shù)是第一組的第100個數(shù)即可得出答案;

(3)進(jìn)而得出每組數(shù)的第20個數(shù)，即可得出答案.

【答案】解：(1)第一組按F，22,32,42,排列,

第二組按r，2\3\43，排列

第三組按『x(—2),22X(-2),32、(一2)排列：

.?.每組的第6個數(shù)是：6?=36,6,=216,62x(-2)=-72；

(2)第二組的第100個數(shù)是第一組的第100個數(shù)的10(/+100?=100(倍)；

(3)每組數(shù)的第20個數(shù)分別為：202,20\2(yx(-2)

2O2+20'+202x(-2)=203-202=7600.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解

決問題是應(yīng)該具備的基本能力.第三組的規(guī)律最難找，要細(xì)心觀察.

【變式3-2】觀察下列三行數(shù)，并完成后面的問題：

①—2,4?—8，16,—32?…；

②1,-2,4,-8,16,...；

刨，-3,3,-9,15...；

(1)根據(jù)排列規(guī)律，分別寫出上面三行數(shù)的第6個數(shù)：

(2)設(shè)x、)，、z分別表示第①、②、③行數(shù)的第2019個數(shù)字,計算丫的值.

【分析】(1)利用數(shù)字的排列規(guī)律得到第①行數(shù)的第〃個數(shù)字為(-2)”，第②行數(shù)的第〃個數(shù)字為(-2)1,

第③行數(shù)的第〃個數(shù)字為(-2廣|-1(〃為正整數(shù))，然后〃取6即可；

(2)當(dāng)〃取2019得到小y、z的值，然后計算它們的和.

【答案】解：(1)第①行數(shù)的第6個數(shù)為64；第②行數(shù)的第6人數(shù)為-32；第③行數(shù)的第6個數(shù)為-33；

(2)第①行數(shù)的第2019個數(shù)字為(-2產(chǎn)-即％-第2嚴(yán)力

第②行數(shù)的第2019個數(shù)字為(-2嚴(yán)，即y=(一2嚴(yán)8,

第③行數(shù)的第2019個數(shù)字為(-2嚴(yán)-1,即z=(-2嚴(yán)-1,

2082082092019

所以x+y+z=(—2嚴(yán)?+(_2產(chǎn)8+(_2產(chǎn)區(qū)_1=一2刈9+2,+2'-1=-2'+2-1=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類

問題的方法.

【變式3-3】觀察下面三行數(shù)

—2、4、—8、16、—32、64、...①

0、6、-6、18、-30、66、…②

5、—1、II、—13、35、—61、....③

(1)第①行數(shù)的第7個數(shù)是—；

(2)設(shè)第②行數(shù)中有一個數(shù)為G,第③行數(shù)中對應(yīng)位置的數(shù)為〃，則。和〃之間等量關(guān)系為—；

設(shè)第①行數(shù)的第〃個數(shù)為X,取每行的第〃個數(shù)，這三個數(shù)的和是—；

(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，若取每行的第9個數(shù)，計算這三個數(shù)的和.

【分析】(1)利用第①行數(shù)字的規(guī)律得到第①行數(shù)的第〃個數(shù)為(-2)”，然后〃取7即可得到第7個數(shù);

(2)第②行和第③行的對應(yīng)位置上的數(shù)的和為5,從而得到。與〃的關(guān)系；第①行數(shù)的第〃個數(shù)為X,則

第②行數(shù)的第〃個數(shù)為X+2,第③行數(shù)的第〃個數(shù)為3T,然后把它們相加即可；

(3)由于第①行數(shù)的第9個數(shù)為(-2)9,即工=(-2)9=-512,然后利用(2)的結(jié)論計算這三個數(shù)的和.

【答案】解：(1)第①行數(shù)的第1個數(shù)為(-2)1第2個數(shù)為(-2)2,第3個數(shù)為(-2)3,第4個數(shù)

為(-2)4,第5個數(shù)為(一2)5,第6個數(shù)為(一2)6,…

所以第7個數(shù)為(-2)7=-128；

(2)〃=々+2；

第①行數(shù)的第〃個數(shù)為工,

第②行數(shù)的第〃個數(shù)為x+2,

第③行數(shù)的第〃個數(shù)為3-1，

所以這三個數(shù)的和=x+x+2+3-x=x+5:

故答案為—128；Z?=a+2；x+5.

(3)第①行數(shù)的第9個數(shù)為(-2))即1=(-2)9=-512,

所以這三個數(shù)的和二-512+5=-507.

【點(diǎn)睛】本題考杳了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，利用數(shù)字與序號數(shù)的關(guān)系解決這

類問題.

【考點(diǎn)4三角形數(shù)陣中的排列規(guī)律】

【例4】觀察下面一組數(shù)：-1,2,-3,4,-5,6,-7,…，將這組數(shù)排成如圖的形式，按照如圖規(guī)律

排下去，

(1)第10行中從左邊數(shù)第4個數(shù)是—；

(2)前7行的數(shù)字總和是—.

第一行-1

第二行2-34

第三行-56-78-9

第四行10-1112-1314-1516

【分析】(1)奇數(shù)為負(fù)，偶數(shù)為正，每行的最后一個數(shù)的絕對值是這個行的行數(shù)〃的平方，所以第9行最后

一個數(shù)字的絕對值是81,第10行從左邊第4個數(shù)是-(81+4)=-85.

(2)找到前7行的數(shù)字個數(shù)，再兩個一組計算即可求解.

【答案】解：(1)92=81,

-(81+4)=-85.

故第10行中從左邊數(shù)第4個數(shù)是-85.

故答案為：-85；

(2)(1+3+5+7+9+11+12)+2x1-72=-25.

故前7行的數(shù)字總和是-25.

故答案為：-25.

【點(diǎn)睛】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出每一行的最后一個數(shù)的絕對值等于行數(shù)的平方是解題的關(guān)

健.

【變式4-1］如圖，將正整數(shù)按如圖所示規(guī)律排列下去，若用有序數(shù)對(〃，⑼表示〃排從左到右第加個

數(shù).如(4,3)表示9,則(20,8)表示.

1..........第一排

23........第二排

456.......第三排

78910...第四排

【分析】根據(jù)(3,2)表示整數(shù)5,對圖中給出的有序數(shù)對進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)：對所有數(shù)對。幾〃)［幾，相］

有：(相，〃)=(1+2+3+…+加一1)+〃=嗎—曰此方法解決問題即可.

【答案】解：若用有序數(shù)對(〃7,〃)表示從上到下第加排，從左到右第〃個數(shù)，

對如圖中給出的有序數(shù)對和(3,2)表示正整數(shù)5、(4,3)表示整數(shù)9可得，

(3,2)=3X(；T)+2=5

(4,3)=±^+3=9；

2

???,

由此可以發(fā)現(xiàn)，對所有數(shù)對(〃?,〃)[％,〃2】有：

,、八-,.、

(〃?，〃)=(1+2+3+…+〃？-1)+〃=-------------1-n,

2

20x19

(20,8)=^—+8=198.

故答案為：198.

【點(diǎn)睛】此題考查對數(shù)字變化類知識點(diǎn)的理解和掌握，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)題目中給出的圖形、數(shù)

值、數(shù)列等已知條件，認(rèn)真分析，找出規(guī)律，解決問題.

【變式4-2】將整數(shù)按如圖方式進(jìn)行有規(guī)律的排列，第2行最后一個數(shù)是Y,第3行最后一個數(shù)是9,第4

行最后一個數(shù)是-16,…，依此類推，第21行的第21個數(shù)是—.

1

-23-4

b-67-8y

-1011-1213-1415-16

【分析】根據(jù)圖形得出第〃行最后一個數(shù)為(-1)向哂2,據(jù)此知第20行最后一個數(shù)為700,繼而由奇數(shù)行的

序數(shù)為奇數(shù)的數(shù)為正數(shù)可得答案.

【答案】解：根據(jù)題意知第〃行最后一個數(shù)為(-I)"%/,

當(dāng)〃=20時，即第20行最后一個數(shù)為TOO,

又奇數(shù)行的序數(shù)為奇數(shù)的數(shù)為正數(shù)，

.?.第21行的第21個數(shù)是421,

故答案為：421.

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知數(shù)列得出第〃行最后一個數(shù)為(-1)川?〃2.

【變式4-3】觀察如圖中的數(shù)列排放順序，根據(jù)其規(guī)律猜想：第10行第8個數(shù)應(yīng)該是

1

-23

-45-6

7-89-10

11-1213-1415

【分析】由〃行有〃個數(shù)，可得出第10行第8個數(shù)為第53個數(shù)，結(jié)合奇數(shù)為正偶數(shù)為負(fù)，即可求出結(jié)論.

【答案】解：第1行1個數(shù)，第2行2個數(shù)，第3行3個數(shù)，…，

??.第9行9個數(shù)，

??.第10行第8個數(shù)為第1+2+3+...+9+8=53個數(shù).

又第2〃-1個數(shù)為2〃-1,第2〃個數(shù)為-2〃，

.?.第10行第8個數(shù)應(yīng)該是53.

故答案為：53.

【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)5長方形數(shù)陣中的排列規(guī)律】

［例5］如圖I,在五列若干行的表格中，將2、4、6、8、10、12、.....若干個偶數(shù)有規(guī)律的放

——四五

—2468

16141210□□□

—18202224□□□

四32302826□□□

入.圖1圖2

（1）第7行第二列的數(shù)是—.

（2）若用〃表示第三列的某一個數(shù)，則該數(shù)左上角的與右下角的兩個數(shù)的和為—；

（3）若小穎用圖2所示的3x3的方框框住的9個數(shù)之和等于612,求這個方框內(nèi)右下角的那個數(shù).

【分析】（1）本題的規(guī)律是第3列的數(shù)字每下一格是上一格多8,奇數(shù)行是從小到大，偶數(shù)行是從大到小;

（2）第3列數(shù)的左上角與右上角的和都是中間數(shù)的2倍，依此即可求解；

（3）框中間的數(shù)字是第3列的數(shù)字.

【答案】解：（1）由題意得中間數(shù)字的規(guī)律為4+8（〃-1）=8〃-4

當(dāng)〃=7時，8〃-4=52,

因此第七行第3列為52,

所以第七行第2列為50.

故答案為：50：

（2）由題意得第3列數(shù)的左上角與右上角的和都是中間數(shù)的2倍，即為2a.

故答案為：2。；

（3）設(shè)中間數(shù)為x,

則這9個數(shù)的和為9x=612,

解得工=68,

8/7-4=68,

解得〃=9.

所以68在第9行第3列上一個數(shù)為60,上一行為第8行，偶數(shù)行是從大到小，

所以這個方框的右上角為58.

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于數(shù)字的變化規(guī)律：先要觀察各行各列的數(shù)字的特點(diǎn)，得出數(shù)字排列的規(guī)律，然后

確定所給數(shù)字的位置.

【變式5-1】把2016個正整數(shù)1、2、3、4.......2016按如圖方式排列成一個表,用一方框按如圖所示的

方式任意框住9個數(shù).（方框只能平移）

（1）若框住的9個數(shù)中，正中間的一個數(shù)為39,則：這九個數(shù)的和為—.

（2）方框能否框住這樣的9個數(shù)，它們的和等于2016?若能，請寫出這9個數(shù)；若不能，請說明理由.

（3）若任意框住9個數(shù)的和記為S,則：S的最大值與最小值之差等于.

1234567

S91011121314

15161718192021

22232425262728

29??????????????????

【分析】（1）找出所框數(shù)字上下兩行間的數(shù)量關(guān)系，左右數(shù)字間的數(shù)量關(guān)系，即可寫出另外的八個數(shù)，進(jìn)

而求出它們的和；

（2）由（1）可知方框框住這樣的9個數(shù)的和是正中間的一個數(shù)的9倍，代入2016求出口間的數(shù)，由

224+7=32，可得出224為32行的第7個數(shù)，即224后面不存在數(shù)，從而得出方框框住這樣的9個數(shù).它

們的和不能等于2016：

（3）分別求出S的最大值與最小值，再相減即可.

【答案】解：（1）31十32十33十38十39十40十45十46十47=351.

故答案為:351；

(2)設(shè)正中間的數(shù)為“，則

(a-8)+(。-7)+(〃-6)+(〃-1)+a+(a+1)+(。+6)+(a+7)+(a+8)=9。，

由題意得9a=2016,

解得a=224.

,.?224=7x32,

.?.224是表中第32行的最后一個數(shù)，

不能框住這樣的9個數(shù)，它們的和等于2016：

(3)若任意框住9個數(shù)的和記為S,則5的最小值為9x9=81.

2016+7=288,

.?.2016在第288行的最后一個數(shù)，

.?.S的最大值為9x(201617)=18072,

.-.18072-81=17991.

即S的最大值與最小值之差為17991.

故答案為：17991.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型中圖形的變化類，觀察表格，得出方框中框住的9個

數(shù)與正中間數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2】如圖

(1)2018在第一行，第一列；

(2)由五個數(shù)組成的中：

①這五個數(shù)的和可能是2019嗎，為什么？

②如果這五個數(shù)的和是60,直接寫出這五個數(shù)；

(3)如果這五個數(shù)的和能否是2Q25,若能請求出這5個數(shù)；若不能請說明理由.

123456789

101112131415161718

192021222324252627

282930313233343536

【分析】（I）觀察圖表，發(fā)現(xiàn)每9個數(shù)排成一行，用2018除以9,根據(jù)商與余數(shù)即可確定行數(shù)與列數(shù)；

（2）①根據(jù)五個數(shù)的和是中間數(shù)的5倍，可知這五個數(shù)的和不可能是2019；

②先根據(jù)五個數(shù)的和是中間數(shù)的5倍，求出中間數(shù)，再根據(jù)中間數(shù)與其它數(shù)的關(guān)系，求出其余4個數(shù)；

（3）假設(shè)這五個數(shù)的和是2025,根據(jù)五個數(shù)的和是中間數(shù)的5倍，求出中間數(shù)是405,發(fā)現(xiàn)405在第9歹U，

所以不存在.

【答案】解：（1）2018+9=224...2,

故2018在第224+1=225行，第2列.

故答案為:225,2；

（2）①不可能，因?yàn)檫@五個數(shù)的和是中間數(shù)的5倍，而2019不是5的整數(shù)倍，所以這五個數(shù)的和不可能

是2019.

②60+5=12

12-9=3,

12-1=11,

12+1=13,

12+9=21.

故這五個數(shù)分別是3,II,12,13,21；

（3）因?yàn)?025=5x405,

而405=9x45,

所以405在第45行,第9列,

所以不存在.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是：（1）找出5個數(shù)的

和與中間數(shù)的關(guān)系；（2）用含x的代數(shù)式表示出其它4個數(shù)；（3）通過解一元一次方程來判定5個數(shù)的

和能否為給定的各數(shù).

【變式5-3】把正整數(shù)I,2,3,4……，排列成如圖I所示的一個表，從上到下分別稱為第I行、第2行、

....從左到右分別稱為第I歹k第2列......用圖2所示的方框在圖1中框住16個數(shù)，把其中沒有被陰

影覆蓋的四個數(shù)分別記為A、8、C、￡）.設(shè)4=》.

12345678

910111213141516

1718192021222324

2526272829303132

??■

圖1圖2

（1）在圖1中，2018排在第一行第一列：排在第6行第〃列的數(shù)為其中啜b8,且都是

正整數(shù)；（直接寫出答案）

（2）若4+23+30=357,求出C所表示的數(shù)；

（3）在圖（2）中，被陰影覆蓋的這些數(shù)的和能否為4212?如果能，請求出這些數(shù)中最大的數(shù)，如果不能,

請說明理由.

【分析】（1）每行8個數(shù)，2018=8x252+2,2018排在第253行第2列；第m行第8列數(shù)為8根，第〃?行

第n列為8〃?+〃-8;

（2）設(shè)人=工，可以依據(jù)4、B、C、。四個數(shù)排列的規(guī)律依次用含x的代數(shù)式表達(dá)，再根據(jù)題意列方程

求解即可；

（3）根據(jù)題意列方程求出x,如果x為正整數(shù)，并且不在第6、7、8歹IJ,才能符合題目要求.

【答案】解：（I）2018=8x252+2,2018排在第253行第2列；根據(jù)數(shù)字排列規(guī)律：第小行最后一列數(shù)

字為8m，二排在第m行第n列的數(shù)為8m+〃-8：

故答案為：253,2：8m+M—8；

（2）由題意得：A=x,B=x+24,C=x+27,D=x+3,

,.4+24+30=357,

/.x4-2(x+24)+3(x+3)=357,

解得：x=50.

,-.C=x+27=50+27=77.

（3）這些數(shù)的和不能為4212；

被陰影覆蓋的這些數(shù)的和

=x+l+x+2+x+8+x+9+x+10+x+ll+x+I6+X+I7+X+I8+JV+19+X+25+X+26=12x+162

若12r+162=4212,則x=337.5不是正整數(shù)，不符合題意.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵要理解題意，弄清楚數(shù)字的排列規(guī)律.

【考點(diǎn)6數(shù)式求和一裂項(xiàng)法】

【例6】請觀察下列算式,找出規(guī)律并填空:

I111111_1

—,____則:

1x22^3=2-33^4-3-4，4^5~45

(1)第10個算式是

(2)第〃個算式為

1I1

(3)根據(jù)以上規(guī)律解答下題:——+----+----+H----------

1x22x33x42017x2018

【分析】（1）由已知等式得出：連續(xù)整數(shù)乘積的倒數(shù)等于較小整數(shù)倒數(shù)與較大整數(shù)的倒數(shù)的差，據(jù)此可得;

（2）利用所得規(guī)律求解可得;

（3）利用所得規(guī)律展開，兩兩相消求解可得.

【答案】解：（1）根據(jù)題意知，第10個算式是」11

10x111011

故答案為：-----=------;

10x111011

(2)第〃個算式為一!—=[—」-

n(n+1)n724-1

故答案為：-------=-------；

〃(〃+1)nn+\

11

(3)JM^.=l--+---+---+...+

2233420172018

1—L

2018

2017

2018,

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類題解決此類題H的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察題目提供的算式，然后從中整理

出規(guī)律，并利用此規(guī)律解題.

【變式6-1】觀察下列等式：—=1-111I111

1x222x3233x434

將以上三個等式兩邊分別相加得:

111,11111,13

----F---=1---1------k----=1---=一

1x22x33x42233444

1

(1)猜想并寫出:

(2)直接寫出下列各式的計算結(jié)果:

①-L+W..+

1x22x33x42011x2012

1111

②-----+------+------+…+------------

1x22x33x4〃x(〃+])

⑶探究并計算:長+白+短+???+

2018x2020

【分析】（1）先根據(jù)題中所給出的列子進(jìn)行猜想，寫出猜想結(jié)果即可;

（2）根據(jù)①中的猜想計算出結(jié)果;

（3）根據(jù)乘法分配律提取:‘先拆項(xiàng)’再抵消即可求解,

111

【答案】解：（1）rti—=1--,」_="!■_」，」_=』-2猜想出:--------=---------

1x222x3233x434〃(〃+1)n/7+1

故答案為：----；

n〃+1

（2）直接寫出下列各式的計算結(jié)果:

公11112011

1x22x33x42011x20122012

111In

1x22x33x4〃x(〃+l)〃+1

2011

故答案為:

2012〃+1

1

(3)—+—+—+...4------------------

2x44x66x82018x2020

11

)

4223341(X)91010

11009

-4X1O1O

1009

4040

【點(diǎn)睛】此題考查/有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式6-2】觀察下列等式：

第一個等式：a=—=

'1x323'

第二個等式：%=—!—=—x（――1）

“3x5235

第三個等式：—!—=—x（―——）----

5x7257

按以上規(guī)律解答卜.列問題：

（1）列出第五個等式：6=

（2）計算4+%+。3++%的結(jié)果.

（3）計算q+勺+/+...+a”」+an的結(jié)果.

【分析】（1）連續(xù)奇數(shù)乘積的倒數(shù)等于各自倒數(shù)差的一半，據(jù)此可得;

（2）利用所得規(guī)律將原式裂項(xiàng)求和即可得:

（3）利用所得規(guī)律將原式裂項(xiàng)求和即可得.

【答案】解：（1）根據(jù)題意知，第5個等式為」一=4xd-‘），

9x112911

故答案為：—=-x(l—L).

9x112911

(2)4+4+%+%

1-I、?J1、1/1、1/L1JI、

=Tx(l--)+-x(7-7)+Tx(7--)+-xt--)+zrx(--77)

232352572792911

1111111111

=—X(1------1----------1----------1----------F--------)

23355779911

=-x(I-—)

211

110

—x—

2II

2

n

(3)q++6+....+an-\+an

1111L1J11z11

=-x(l--)+-x(---)+-x(---)+……+-x(.)

2/2-12H+1

人」」+」+...+11

)

2335572n-12〃+1

=—x(l-)

z八、2/2+1

2nn

=—x-----=------

22/z+l2〃+1

1

【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出規(guī)律:).

n(n+2)2itn+2

【變式6-3】閱讀并驗(yàn)證下列計算：—=1--11I111

1x2122x3233x434

計算：1111

T^2+2^3+3^4+

2017x2018

11111111

---------1------------1------------!"???+

12233420172018

12017

=1---------=---------

20182018

理解上述解題力法，思考其中的規(guī)律，完成下列任務(wù):

⑴吉+為+￡+…（直接填得數(shù)）

1111

（2）計算:--------1--------+-------+…+---------

10x1111x1212x13--------99x100

①-L+

（3）填空:+.??H---------------

1x33x55x72017x2019

②-------1----------1F.??H

1x44x77x10---------31x34

【分析】（I）先根據(jù)得出的規(guī)律展開，再合并，最后求出即可;

（2）先根據(jù)得出的規(guī)律展開,再合并，最后求出即可;

（3）先根據(jù)得出的規(guī)律展開，再合并，最后求出即可.

【答案】解：（1）—!—=i-ll-l+1111,1n

+---+...+_—--------=1-=---------------;

1x22x33x4nx(n+\)22334n/?+1/Z+1n+\

/0111111111111119

x(2z)4f-4r-4「?-?4?飛-—-4r-十4--一+…+---

10x1111x1212x1399x10()10111112121399i()o-10100~10

1

111(X)9.

(3)①1+1+】++x(\++1)

、J/Ktz111???1-十十十???—All)

1x33x55x72017x201823355720172019220192019’

②一!一十—!—+—!—+...+11

+一

1x44x77x1031x34344731

故答案為：后100911

2019,34

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，能根據(jù)已知算式得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)7數(shù)式求和一等差類】

【例7】問題探究:觀察下面由“※”組成的圖案和算式,解答問題:

22

1+3=4=（—）=2

2

1+3+5=9=（-!^）2=32

1+3+5+7=16=（一）2=4?

問題解決：

（1）試猜想1+3+5+7+9...+49的結(jié)果為；

（2）若n表示正整數(shù)，詁■用含n的代數(shù)式表示1+3+5+7+9+…+⑵?—1）+（2〃+I）的結(jié)果.

問題拓展:

(3)請用上述規(guī)律計算：1017+1019+...+2017+2019.

9娶※※去巧

7張張※司※

5系※※伊生

3獲※閡※米

【分析】(1)根據(jù)」知得出連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)字個數(shù)的平方；

(2)根據(jù)已知得出連續(xù)奇數(shù)的和等于數(shù)字個數(shù)的平方，得出答案即可；

(3)利用以上已知條件得出

1017+1019+...+2013+2015=(1+3+5+...+20134-2015)-(14-34-5+...+1013+1015),求出即可.

【答案】解：(1)1+3+5+7+9…+29=(^^)2=252=625,

2

故答案為:625；

(2)1+3+5+7+9+...+(2〃-1)+(2〃+1)=(1+2"+1)2=(〃+])2：

2

(3)1017+1019+...+2013+2019

=(1+3+5+…+2013+2019)-(1+3+5+…+1013+1015)

2019+11+2015.

=(---)2--(-------)-

22

=10102-5082

=762036.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力.通過分

析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式了?表示出變化規(guī)律是此類題目的難點(diǎn).

【變式7-1】從2開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們和的情況如下表：

加數(shù)的個數(shù)〃連續(xù)偶數(shù)的和S

12=1x2

224-4=6=2x3

32+4+6=12=3x4

42+4+6+8=20=4x5

52+4+6+84-10=30=5x6

(1)如果〃=8時，那么S的值為；

(2)根據(jù)表中的規(guī)律猜想：用〃的代數(shù)式表示5的公式為：S=2+4+6+8+…+2〃=

（3）根據(jù)上題的規(guī)律計算300+302+304+…+2010+2012的值（要有計算過程）.

【分析】⑴當(dāng)〃=8時，表示出S,計算得到S的值;

（2）根據(jù)表格得到從2開始的偶數(shù)之和為偶數(shù)個數(shù)乘以個數(shù)加1,用〃表示出即可;

(3)將所求式子表示為(2+4+6+...+298+300+302+304+...+2010+2012)-(2+4+6+...—298),用上

述規(guī)律計算，即可得到結(jié)果.

【答案】解：(1)當(dāng)〃=8時，那么5=2+4+6+8+10+12+14+16=8x9=72；

(2)根據(jù)表格中的等式得：S=2+4+6+8+…+〃(〃+1)：

(3)300+302+304+…+2010+2012

=(2+4+6+...+298+3(X)+302+304+...+2010+2012)—(2+4+6+...+298)

=1006x1(X)7-149x150=1013042-22350=990692.

故答案為：(1)72；(2)+

【點(diǎn)睛】此題考杳了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，本題的規(guī)律為：從2開始的連續(xù)偶數(shù)之和為偶數(shù)個數(shù)乘以偶

數(shù)個數(shù)加1.

【變式7-2】探索規(guī)律，觀察下面由※組成的圖案和算式，解答問題：

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=4?

1+3+5+7+9=25=52

(1)請猜想1+3+5+7+9+...+19=：

(2)請猜想1+3+5+7+9+…+(2〃—1)+(2〃+1)+(2〃+3)=；

(3)請計算：101+103+...+197+199.

【分析】(1)(2)觀察數(shù)據(jù)可知，從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和等于首尾兩個奇數(shù)的和的一半的平方，然后計

算即可得解;

(3)用從1開始到199的和減去從1開始到99的和，列式計算即可得解.

1110

【答案】解：(1)1+3+5+7+9+...+19=(——-)2=1()0；

2

⑵I+3+5+7+9+…+(*1)+(2…+(2"+3)=(號八("+2)2,

(3)101+103+.+197+199=(^^)2-(^^)2=10000-2500=7500.

22

故答案為：100；5+2)2.

【點(diǎn)睛】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出結(jié)果的底數(shù)與算式中首尾兩個數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3］從2開始，連續(xù)的偶數(shù)相加，它們的和的情況如下表：

加數(shù)，〃的個數(shù)和