第六單元比中的“不變量問題”專項(xiàng)練習(xí)-六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題北師大版

20232024學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列第六單元：比中的“不變量問題”專項(xiàng)練習(xí)1．“雙減”課后服務(wù)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)文化研究小組有42人，其中男、女生人數(shù)的比是6∶1。后來又加入一些女生，這時(shí)男、女生數(shù)的比為4∶3。這個(gè)小組增加了多少名女生？【答案】21人【分析】根據(jù)題意可知，男生人數(shù)不變，有42×＝36（名），女生有42－36＝6（名），后來女生人數(shù)占男生人數(shù)的，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用36×即可求出變化后的女生人數(shù)，再減去原來的女生人數(shù)即可?！驹斀狻?2×＝36（名）42－36＝6（名）36×－6＝27－6＝21（名）答：這個(gè)小組增加了21名女生。【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是明確男生人數(shù)不變，進(jìn)而根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義求出后來女生人數(shù)。2．周口海洋館的6大類表演節(jié)目精彩紛呈，吸引了許多觀眾。表演開始前，小明統(tǒng)計(jì)出海豚劇場(chǎng)與企鵝園的觀眾人數(shù)比為2∶3，后來有4名觀眾從海豚劇場(chǎng)去了企鵝園，此時(shí)海豚劇場(chǎng)與企鵝園的人數(shù)比變?yōu)?∶2，求兩個(gè)場(chǎng)館共有多少名觀眾？【答案】60名【分析】據(jù)題意,表演開始前，小明統(tǒng)計(jì)出海豚劇場(chǎng)與企鵝園的觀眾人數(shù)比為2∶3，此時(shí)海豚劇場(chǎng)觀眾人數(shù)是總?cè)藬?shù)的，企鵝園觀眾人數(shù)是總?cè)藬?shù)的，后來有4名觀眾從海豚劇場(chǎng)去了企鵝園即海豚劇場(chǎng)觀眾人數(shù)少了4人而企鵝園觀眾人數(shù)多了4人，設(shè)兩個(gè)場(chǎng)館共有名觀眾，則此時(shí)海豚劇場(chǎng)觀眾人數(shù)是（）,企鵝園觀眾人數(shù)是（），根據(jù)比例的基本性質(zhì)和此時(shí)海豚劇場(chǎng)與企鵝園的人數(shù)比變?yōu)?∶2，列式解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)兩個(gè)場(chǎng)館共有名觀眾。答：兩個(gè)場(chǎng)館共有60名觀眾?！军c(diǎn)睛】本題考查比例的實(shí)際應(yīng)用，找出題目中人數(shù)變化和比的變化的關(guān)系是解題的關(guān)鍵。3．一杯糖水，糖和水的質(zhì)量比是1∶10。若再放2克糖，糖和水的質(zhì)量比則是1∶8。杯中糖水里原有糖和水各多少克？【答案】糖：8克；水：80克【分析】根據(jù)題意，水的重量始終沒變，把水的質(zhì)量看作單位“1”，原來糖的質(zhì)量占水的分率：1÷10＝；放2克糖后，糖的質(zhì)量占水的分率：1÷8＝；將兩個(gè)分率相減得到2克糖對(duì)應(yīng)的分率，再根據(jù)：?jiǎn)挝弧?”＝對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)量的分率，求出原來水的重量，再乘即可求出原來糖的質(zhì)量。【詳解】1÷10＝1÷8＝2÷（－）＝2÷＝80（克）80×＝8（克）答：杯中糖水里原有糖8克和水80克?！军c(diǎn)睛】此題考查了比與分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵能夠?qū)⒈绒D(zhuǎn)化為分率再解答。4．六（2）班有45名學(xué)生，女生人數(shù)是男生人數(shù)的。轉(zhuǎn)走幾名女生后，這時(shí)女生人數(shù)占全班的。轉(zhuǎn)走了幾名女生？【答案】3名【分析】因?yàn)檗D(zhuǎn)走的是女生，所以男生人數(shù)不變。此題可采用抓不變量的方法解決。女生人數(shù)是男生人數(shù)的，說明女生人數(shù)與男生人數(shù)的比是2∶3，把45名按2∶3分配求出男生人數(shù)。幾名女生轉(zhuǎn)走后，男生占現(xiàn)在全班的（1－）。已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的問題的解法：已知量÷已知量占單位“1”的幾分之幾＝單位“1”的量。據(jù)此用男生人數(shù)÷（1－）即可求出現(xiàn)在全班的人數(shù)。最后用原來全班的人數(shù)－現(xiàn)在全班的人數(shù)，即可求出轉(zhuǎn)走的女生人數(shù)?！驹斀狻?5×＝45×＝27（名）27÷（1－）＝27÷＝27×＝42（名）45－42＝3（名）答：轉(zhuǎn)走了3名女生?！军c(diǎn)睛】在解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)問題時(shí)，可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化法把關(guān)于分?jǐn)?shù)的問題轉(zhuǎn)化為比的問題來解決。5．有甲、乙兩個(gè)糧倉(cāng)，甲糧倉(cāng)存糧的質(zhì)量是乙糧倉(cāng)存糧質(zhì)量的。若把甲糧倉(cāng)中的1200千克糧食運(yùn)進(jìn)乙糧倉(cāng)，這時(shí)甲、乙兩個(gè)糧倉(cāng)存糧的質(zhì)量比是2∶5。甲、乙兩個(gè)糧倉(cāng)原來各有存糧多少千克？【答案】甲糧倉(cāng)5600千克；乙糧倉(cāng)9800千克【分析】把甲、乙兩糧倉(cāng)的總存糧看作單位“1”，原來甲糧倉(cāng)存糧占總存糧的，原來乙糧倉(cāng)存糧占總存糧的，把甲糧倉(cāng)中的1200千克糧食運(yùn)進(jìn)乙糧倉(cāng)，甲、乙兩糧倉(cāng)的總存糧不變，此時(shí)乙糧倉(cāng)存糧占總存糧的，1200千克糧食占總存糧的（－），根據(jù)量÷對(duì)應(yīng)的分率＝單位“1”求出兩個(gè)糧倉(cāng)的總存糧，最后用分?jǐn)?shù)乘法求出甲、乙兩個(gè)糧倉(cāng)的存糧噸數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】甲、乙兩糧倉(cāng)存糧：1200÷（－）＝1200÷（－）＝1200÷＝15400（千克）甲糧倉(cāng)：15400×＝15400×＝5600（千克）乙糧倉(cāng)：15400×＝15400×＝9800（千克）答：甲糧倉(cāng)原來有存糧5600千克，乙糧倉(cāng)原來有存糧9800千克?！军c(diǎn)睛】找出題目中的單位“1”，抓住不變量“兩個(gè)糧倉(cāng)的存糧總噸數(shù)”，并利用分?jǐn)?shù)除法求出存糧總噸數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。6．甲、乙兩箱粉筆的盒數(shù)之比是5∶2，如果從甲箱里取出18盒放入乙箱后，甲、乙兩箱粉筆的盒數(shù)之比是8∶5。那么甲、乙兩箱粉筆各有多少盒？【答案】甲箱：130盒；乙箱：52盒【分析】根據(jù)比的意義可知，甲箱的盒數(shù)是5份，乙箱的盒數(shù)是2份，即甲盒占了總份數(shù)的，當(dāng)甲箱取出18盒后，由于兩箱總盒數(shù)不變，此時(shí)甲箱的盒數(shù)占總份數(shù)的：，由此即可知道取出的18盒占的分率是：－，根據(jù)公式：對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)分率＝單位“1”，把數(shù)代入公式即可求出一共多少盒，之后再乘甲占總共的分率即可求出甲箱的盒數(shù)，之后用總盒數(shù)減去甲箱的盒數(shù)即可求出乙箱的盒數(shù)?！驹斀狻?8÷（－）＝18÷＝182（盒）182×＝182×＝130（盒）182－130＝52（盒）答：甲箱粉筆有130盒，乙箱粉筆有52盒?！军c(diǎn)睛】本題主要考查按比例分配解應(yīng)用題，要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)量和對(duì)應(yīng)分率是解題的關(guān)鍵。7．甲乙兩包糖的塊數(shù)比是4∶1，如果從甲包取出13塊放入乙包，甲乙兩包糖的塊數(shù)比為7∶5，那么原來兩包糖各有多少塊？【答案】甲：48塊；乙：12塊【分析】把甲、乙兩包糖的塊數(shù)看作單位“1”，則乙包糖的塊數(shù)占總塊數(shù)的，從甲包中取出13塊糖放入乙包中，乙包糖的塊數(shù)占總塊數(shù)的，乙包糖的塊數(shù)增加了（－），又因增加的分率對(duì)應(yīng)的量是13塊，用對(duì)應(yīng)量除以對(duì)應(yīng)分率就是兩包糖的總塊數(shù)；再分別乘原來甲、乙兩包糖占總量的分率，即可求出原來兩包糖各有多少塊?！驹斀狻?3÷（－）＝13÷（－）＝13÷（－）＝13÷＝60（塊）60×＝60×＝48（塊）60×＝60×＝12（塊）答：原來甲包糖有48塊，乙包糖有12塊?！军c(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩包糖的總塊數(shù)不變，求出取出13塊糖所對(duì)應(yīng)的分率是解題的關(guān)鍵。8．一批水果，剩下的質(zhì)量是賣出的質(zhì)量的，又賣出50千克后，剩下的質(zhì)量與賣出的質(zhì)量的比是2∶8。這批水果共有多少千克？（列方程解答）【答案】1000千克【分析】開始剩下的質(zhì)量是賣出的質(zhì)量的，說明總質(zhì)量有1＋3份，賣出質(zhì)量有3份，賣出質(zhì)量是總質(zhì)量的，又賣出50千克后，剩下的質(zhì)量與賣出的質(zhì)量的比是2∶8，說明此時(shí)賣出質(zhì)量占總質(zhì)量的，設(shè)這批水果共有x千克，根據(jù)總質(zhì)量×開始賣出質(zhì)量對(duì)應(yīng)分率＋又賣出的質(zhì)量＝總質(zhì)量×最終賣出質(zhì)量的對(duì)應(yīng)分率，列出方程解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這批水果共有x千克。x＋50＝xx＋50＝xx－x＝50x×20＝50×20x＝1000答：這批水果共有1000千克。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解分?jǐn)?shù)乘法和比的意義，用方程解決問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系。9．甲、乙兩個(gè)車間原有人數(shù)比4∶3，從甲車間調(diào)48人到乙車間，甲、乙兩個(gè)車間現(xiàn)有人數(shù)比2∶3，甲、乙兩個(gè)車間原有人數(shù)各多少人？【答案】甲車間160人；乙車間120人【分析】從甲車間調(diào)48人到乙車間，甲乙兩車間的總?cè)藬?shù)不變，原來甲占兩車間總?cè)藬?shù)的，現(xiàn)在甲占兩車間總?cè)藬?shù)的，兩個(gè)分率之差對(duì)應(yīng)從甲車間調(diào)去乙車間的人數(shù)，根據(jù)“量÷對(duì)應(yīng)的分率”求出兩個(gè)車間的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)比的應(yīng)用求出甲、乙兩車間原有的人數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?8÷（－）＝48÷（－）＝48÷＝280（人）甲：280×＝160（人）乙：280×＝120（人）答：甲車間原有160人，乙車間原有120人?！军c(diǎn)睛】抓住題中的不變量，并利用分?jǐn)?shù)除法求出兩個(gè)車間的總?cè)藬?shù)是解答題目的關(guān)鍵。10．甲乙兩桶汽油，汽油重量之比為3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5千克，則甲乙汽油重量之比變?yōu)?∶7，則原來兩桶汽油一共有多少千克？【答案】75千克【分析】設(shè)原來兩桶汽油一共有x千克，汽油從甲桶倒向乙桶，總質(zhì)量沒變，汽油總質(zhì)量÷原來總份數(shù)×原來甲桶對(duì)應(yīng)份數(shù)－汽油總質(zhì)量÷現(xiàn)在總份數(shù)×現(xiàn)在甲桶對(duì)應(yīng)份數(shù)＝5千克，據(jù)此列出方程解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)原來兩桶汽油一共有x千克。x÷（3＋2）×3－x÷（8＋7）×8＝5x÷5×3－x÷15×8＝5x－x＝5x×15＝5×15x＝75答：原來兩桶汽油一共有75千克?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵理解比的意義，明白總質(zhì)量不變，找到等量關(guān)系列出方程解答即可。11．未未和萊拉原有圖書數(shù)量的比是2∶3，未未又買來24本書后，未未和萊拉現(xiàn)在圖書數(shù)量的比是6∶7，則原來未未有多少本書？萊拉有多少本書？【答案】84本；126本【分析】設(shè)原來共有x本書，未未又買來24本書后，現(xiàn)在共有（x＋24）本，萊拉的圖書數(shù)量沒變，根據(jù)原來總本數(shù)÷原來總份數(shù)×原來萊拉對(duì)應(yīng)份數(shù)＝現(xiàn)在總本數(shù)÷現(xiàn)在總份數(shù)×現(xiàn)在萊拉對(duì)應(yīng)份數(shù)，列出方程，求出x的值是原來總本數(shù)，原來總本數(shù)÷原來總份數(shù)，求出一份數(shù)，一份數(shù)分別乘原來未未和萊拉的對(duì)應(yīng)份數(shù)即可求出他們?cè)瓉淼谋緮?shù)?！驹斀狻?＋3＝5（份）6＋7＝13（份）解：設(shè)原來共有x本書。x÷5×3＝（x＋24）÷13×7x＝（x＋24）x＝x＋x－x＝x＋－xx×＝×x＝210210÷（2＋3）＝210÷5＝42（本）42×2＝84（本）42×3＝126（本）答：原來未未有84本書，萊拉有126本書?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解比的意義，用方程解決問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系。12．六年級(jí)學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)興趣小組，參加的同學(xué)是六年級(jí)總?cè)藬?shù)的，后來又有20人參加，這時(shí)參加的同學(xué)與未參加同學(xué)的人數(shù)比是3∶4。六年級(jí)一共有多少人？【答案】210人【分析】把六年級(jí)的學(xué)生總數(shù)看作單位“1”，原來參加興趣小組的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，現(xiàn)在參加興趣小組的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，后來又參加的20人對(duì)應(yīng)的分率為兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分率之差，利用“量÷對(duì)應(yīng)的分率”即可求得六年級(jí)的總?cè)藬?shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?0÷（－）＝20÷（－）＝20÷＝210（人）答：六年級(jí)一共有210人?！军c(diǎn)睛】題中六年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)不變，找出后來又參加人數(shù)對(duì)應(yīng)的分率是解答題目的關(guān)鍵。13．甲、乙兩瓶藥液質(zhì)量的比是4∶1，如果從甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙兩瓶藥液質(zhì)量的比變成了7∶5，甲、乙兩瓶藥液原來各有多少克？【答案】甲液原來有48克、乙藥液原來有12克?！痉治觥考滓覂善克幰旱馁|(zhì)量之和沒有發(fā)生變化，則原先甲乙兩瓶藥液的質(zhì)量之和看做5份，現(xiàn)在甲乙兩瓶藥液的質(zhì)量之和看做12份，統(tǒng)一成60份后，甲藥液由原來的48份，變成現(xiàn)在的35份，少了13份，每一份是1克，據(jù)此求出甲、乙兩瓶藥液原來各有多少克即可?！驹斀狻?∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶127∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶2513÷（48－35）＝13÷13＝1（克）甲：1×48＝48（克）乙：1×12＝12（克）答：甲液原來有48克、乙藥液原來有12克。【點(diǎn)睛】本題考查按比分配，解答本題的關(guān)鍵是掌握按比分配解決問題的方法。14．一個(gè)書架上層和下層的本數(shù)比4∶5，如果把上層拿120本到下層，這樣下層剛好是上層的2倍，這個(gè)書架原來上層有多少本？【答案】480本【分析】根據(jù)“這樣下層剛好是上層的2倍”可知，后來上層與下層的本數(shù)比為1∶2；原來上層本數(shù)是總本數(shù)的，后來上層本數(shù)是總本數(shù)的，據(jù)此可知，上層拿出的120本占總本數(shù)的－，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義求出總本數(shù)，再乘原來上層本數(shù)占總本數(shù)的分率即可。【詳解】后來上層與下層的本數(shù)比為1∶2；120÷（－）×＝120÷×＝480（本）；答：這個(gè)書架原來上層有480本?！军c(diǎn)睛】先求出后來上層與下層的本數(shù)比是解答本題的關(guān)鍵，進(jìn)而求出上層拿出的120本占總本數(shù)的分率，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘除法的意義解答。15．某學(xué)校六年級(jí)加入公益活動(dòng)和沒加入公益活動(dòng)的人數(shù)之比是8∶5，后來又有20名學(xué)生參與進(jìn)來，這時(shí)參與公益活動(dòng)與沒參與的人數(shù)之比是10∶3，這個(gè)年級(jí)有多少名學(xué)生？【答案】130名【分析】總?cè)藬?shù)沒變，即單位“1”沒變，用20名學(xué)生÷對(duì)應(yīng)分率＝總?cè)藬?shù)，據(jù)此列式解答?！驹斀狻?0÷（－）＝20÷（－）＝20÷＝130（名）答：這個(gè)年級(jí)有130名學(xué)生?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是確定單位“1”，理解分?jǐn)?shù)除法和比的意義。16．學(xué)校閱覽室里有36名學(xué)生在看書，其中男生和女生的比是5∶4，后來又有幾名女生來看書，這時(shí)女生人數(shù)占所有看書人數(shù)的，問后來又有幾名女生來看書？【答案】4名【分析】根據(jù)題意，閱覽室有36人，男生和女生比是5∶4，男生占總?cè)藬?shù)的，女生占總?cè)藬?shù)的，求出男生和女生人數(shù)；后來又來了幾名女生，這時(shí)女生人數(shù)占所有看書人數(shù)的，就是說男生和女生人數(shù)一樣多，用男生人數(shù)減去原來女生人數(shù)，就是后來幾名女生，即可解答?！驹斀狻磕猩团还灿?＋4＝9（份）男生占，女生占男生人數(shù)有：36×＝20（人）女生人數(shù)有：36×＝16（人）20－16＝4（人）答：后來又來了4名女生?！军c(diǎn)睛】本題考查按比例分配問題，以及求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法。17．甲筐有蘋果80千克，乙筐有蘋果60千克，從乙筐取出多少千克給甲筐后，可以使甲、乙兩筐蘋果的質(zhì)量比是5∶2？【答案】20千克【分析】乙筐取出一部分給甲筐后，總量不變，還是140千克，把140千克按比分配，求出最后的重量，然后求給了多少千克?！驹斀狻浚ㄇЭ耍ㄇЭ耍ㄇЭ耍┐穑阂铱鹑〕?0千克給甲筐?！军c(diǎn)睛】見比設(shè)份是求解按比分配問題最常用的方法，先求出一份量是多少，再求出多份量。18．甲、乙兩袋糖果的質(zhì)量之比是3∶2，如果從甲袋糖果中拿出5千克放入乙袋，這時(shí)甲、乙兩袋糖果的質(zhì)量之比是1∶1。兩袋糖果一共重多少千克？【答案】50千克【分析】甲、乙兩袋糖果的質(zhì)量之比是3∶2，甲袋比乙袋多3－2份，甲袋拿出