自然視角下小學(xué)數(shù)學(xué)化課堂的策略研究

【摘要】針對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)忽視學(xué)生思維，將生活情境生硬且無邏輯地引入課堂等問題，文章基于“自然”視角，從水平數(shù)學(xué)化、垂直數(shù)學(xué)化兩個維度思考“數(shù)學(xué)化”教學(xué)策略，將“緊抓認(rèn)知起點、指向知識本質(zhì)特點”的生活情境進行水平數(shù)學(xué)化教學(xué)，實施“聚焦學(xué)生差異，自主建模”的垂直數(shù)學(xué)化教學(xué)，以促進學(xué)生主動學(xué)習(xí)，提升課堂趣味性?！娟P(guān)鍵詞】自然視角數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)一、課堂數(shù)學(xué)化演繹及思考（一）演繹歷程荷蘭著名數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾提出數(shù)學(xué)化概念，認(rèn)為數(shù)學(xué)化的含義是指人們在觀察及認(rèn)識和改變客觀世界時會遇到各種生活現(xiàn)象，對這些生活現(xiàn)象加以整理和組織的過程就是數(shù)學(xué)化。簡言之就是用數(shù)學(xué)思維分析和整理現(xiàn)實生活情境。隨著以數(shù)學(xué)生活化為特點的課堂教學(xué)弊端不斷出現(xiàn)，學(xué)者們逐步開始進行數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)的理論研究，也有些許小學(xué)一線教師結(jié)合自己課堂實例，對小學(xué)數(shù)學(xué)化課堂策略進行思索。如柳國棟教師從三個方面提出如何進行數(shù)學(xué)化教學(xué)：首先，抓住小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的生活情境，完成橫向數(shù)學(xué)化；其次，建立有序思考、幾何直觀模型完成縱向數(shù)學(xué)化；最后，建立反思模型，使數(shù)學(xué)化應(yīng)用于實際問題。錢張培、劉效麗、李娜教師列舉“三角形內(nèi)角和”這一課例的片段，展示了數(shù)學(xué)化的教學(xué)過程：實踐—概念—方法，并提出“創(chuàng)設(shè)情境抽象出數(shù)學(xué)問題”“數(shù)學(xué)問題與情境剝離”“回歸實踐應(yīng)用數(shù)學(xué)知識”的數(shù)學(xué)化教學(xué)策略?；谝陨衔墨I研究，數(shù)學(xué)化教學(xué)基本可以分成兩個步驟：一是對現(xiàn)實情境進行去情境、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)教學(xué)過程，建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；二是對已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型進行二次加工，辯證、運用、組織、再創(chuàng)新，形成新的數(shù)學(xué)模型。（二）搭建橋梁一線教師對數(shù)學(xué)課堂的研究也大體從橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化兩個教學(xué)流程著手，然而它也存在日常教學(xué)中情境的引入簡單直接，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷縱向數(shù)學(xué)化時沒有尊重學(xué)生主體地位，灌輸式帶領(lǐng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)模型的再加工等問題，使得數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)策略停留在表面，未與學(xué)生的思維接軌、未充分發(fā)掘數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯，沒有完成問題情境下數(shù)學(xué)知識理性的展現(xiàn)，使得課堂缺乏理性。因此，教師要搭建能夠連通數(shù)學(xué)化教學(xué)過程與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的橋梁。二、自然視角下優(yōu)化數(shù)學(xué)化課堂的內(nèi)涵（一）自然視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)盧梭認(rèn)為，自然就是順其天性而為。學(xué)生作為課堂學(xué)習(xí)的主體、教育的客體，課堂教學(xué)必然基于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。因此，自然視角要求教師尊重學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律、個體發(fā)展差異。張盛良教師在文章《小學(xué)數(shù)學(xué)自然課堂探究》中指出，自然課堂指的是基于教師、學(xué)生以及教材的聯(lián)動，從而實現(xiàn)更生動、更富趣味性的動態(tài)課堂模式的構(gòu)建。這樣的思考啟發(fā)筆者，自然視角下的數(shù)學(xué)化課堂同時也會指引教師在帶領(lǐng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)化教學(xué)時更加關(guān)注師生互動與生生互動，從而更好地明晰學(xué)生的思考狀況，同時一起經(jīng)歷解決生活情境問題或者進一步加工初步的數(shù)學(xué)模型的過程。（二）自然視角架起橋梁，優(yōu)化數(shù)學(xué)化課堂1.把準(zhǔn)學(xué)生認(rèn)知、思維起點日常數(shù)學(xué)化課堂在初步引入情境時可能會盲目追求生活趣味，出現(xiàn)情境脫離學(xué)生思維或者超越學(xué)生生活常識的問題，忽視了學(xué)生認(rèn)知起點、思維起點。如筆者在執(zhí)教“認(rèn)識體積和容積”這一課時，引入了“公交車滿員”的視頻情境：一群人在擠公交，最后三個人很難擠上去，后來一位體格相當(dāng)于兩人的女士選擇走后門，以為剛好擠上去了，實則前面有兩個人被擠了下來。筆者在引入該情境時更多的是考慮該視頻的趣味性與生活性。然而，在實際操作時，雖然學(xué)生觀看視頻時笑聲如預(yù)料一般，但是當(dāng)筆者提出“為什么一個人進去了，兩個人出來了”這個問題時，學(xué)生的回答也僅停留在“因為那個人太胖了”上。當(dāng)筆者再次問“為什么一個胖子能夠把兩個瘦子擠下來”時，學(xué)生沒有進一步回答。而筆者引入這個情境是想引導(dǎo)學(xué)生說出“空間”的概念，結(jié)果只獲得了生活化的回答。“空間”這個概念先前并沒有存在于學(xué)生的概念體系中，筆者忽視了學(xué)生的認(rèn)知起點，故而學(xué)生只能聯(lián)想到生活化的回答。因此，從自然角度去思索，可以避免單純追求生活性、趣味性的教學(xué)內(nèi)容，自如地與學(xué)生已有知識鏈接，自然打開學(xué)生數(shù)學(xué)化的思維。2.實現(xiàn)數(shù)學(xué)化課堂理性提升數(shù)學(xué)課堂過度引入生活情境，使得數(shù)學(xué)化課堂缺乏應(yīng)有的理性。除此之外，如果課堂實施灌輸式教學(xué)，忽視學(xué)生學(xué)習(xí)主體地位，會使數(shù)學(xué)的理性更加匱乏。因此，自然視角下的數(shù)學(xué)化教學(xué)會特別關(guān)注課堂的師生互動、生生互動，尊重學(xué)生個性化表達，尊重學(xué)生差異，多維呈現(xiàn)學(xué)生的思考結(jié)晶，充分展現(xiàn)知識間的內(nèi)部邏輯，進行再次建模過程，課堂理性自然產(chǎn)生。失去“自然視角”，意味著學(xué)生學(xué)習(xí)主體地位的喪失，意味著數(shù)學(xué)化教學(xué)無法完成，甚至無法開啟，意味著數(shù)學(xué)理性的缺乏。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)化課堂無法脫離自然視角的要求和審視。相反，從“自然”出發(fā)，數(shù)學(xué)化課堂會以貼近學(xué)生的方式完成數(shù)學(xué)的理性學(xué)習(xí)，提升其思維邏輯水平。三、自然視角下的數(shù)學(xué)化課堂策略探究按照數(shù)學(xué)化分類說法，數(shù)學(xué)教學(xué)需要必要的現(xiàn)實情境或者創(chuàng)設(shè)相關(guān)的現(xiàn)實情境，用以觀察、分析、理解抽象、概括的素材，也需要依據(jù)知識結(jié)構(gòu)體系對已生成的初代數(shù)學(xué)模型進行再創(chuàng)造，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)模型或者思想，使其思維進階、知識結(jié)構(gòu)化。新課標(biāo)要求課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實際，有利于學(xué)生體驗、思考、探究，這便是自然視角的體現(xiàn)。自然視角下對于數(shù)學(xué)化教學(xué)提出更關(guān)注兒童的要求，即順應(yīng)兒童的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律、尊重兒童個體差異及學(xué)習(xí)主體地位。水平數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化教學(xué)過程不僅是抽象推理、歸納運用的過程，還應(yīng)是立足學(xué)生的特點、立足小學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系，完成更貼近學(xué)生生活的數(shù)學(xué)化教學(xué)過程，使學(xué)生自然地經(jīng)歷數(shù)學(xué)化，提高自身觀察、抽象、思辨等學(xué)習(xí)能力。（一）現(xiàn)實情境擇優(yōu)剝離新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。從中可以看出，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象的。小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展需要經(jīng)歷從具體到抽象的過渡，故而小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開直觀的具體情境。然而，并不是所有來自生活或者教材的具體情境都恰好適用于日常課堂教學(xué)，其可能有違“自然”，可能為了追求趣味性而生搬硬套。因此，自然視角下選擇或者創(chuàng)設(shè)合適的現(xiàn)實問題情境是實現(xiàn)教學(xué)數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。1.緊抓認(rèn)知起點自然視角下教學(xué)要求教師準(zhǔn)確把握學(xué)生已有的生活經(jīng)驗、認(rèn)知起點，這樣才能合理引入或者創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實問題情境。從學(xué)情出發(fā)、從生活經(jīng)驗出發(fā)的問題情境可以真正給予學(xué)生一個合適的學(xué)習(xí)臺階。筆者曾在執(zhí)教“認(rèn)識負(fù)數(shù)”一課時，經(jīng)歷一次失敗的情境剝離。在教學(xué)中，筆者引用了“城市氣溫”“海拔高度”兩個現(xiàn)實情境，使學(xué)生認(rèn)識負(fù)數(shù)與正數(shù)，明白“0”是正負(fù)數(shù)的分界線，理解正負(fù)數(shù)代表相反意義的量。然而，在第一個情境中就遇到了很大的阻力。大部分學(xué)生對于溫度計存在認(rèn)知盲區(qū)，使得在認(rèn)識溫度計時耗費了寶貴的教學(xué)時間，而學(xué)生對溫度計缺乏認(rèn)識，誤認(rèn)為負(fù)數(shù)是個難以理解的概念。第二個情境是關(guān)于海拔，學(xué)生也是了解甚少。用兩個學(xué)生不能輕易接觸到的情境進行新概念的教學(xué)，難度陡然增加。因此，在第二次教授這節(jié)課時，筆者使用了“電梯情境”“樓層情境”進行新授，讓學(xué)生輕松習(xí)得負(fù)數(shù)的概念。2.指向知識本質(zhì)特點引入現(xiàn)實情境是為了更好地剝離情境，引出數(shù)學(xué)問題進行數(shù)學(xué)化。因此，一個好的現(xiàn)實情境也必然直接指向數(shù)學(xué)本質(zhì)和知識的內(nèi)在邏輯。情境越是貼近內(nèi)在邏輯，數(shù)學(xué)化過程越是可以順利地進行，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題出現(xiàn)、問題分析與問題解決的過程。以蘇教版數(shù)學(xué)一年級的“認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)”“認(rèn)識11～20以內(nèi)的數(shù)”、二年級的“認(rèn)識100以內(nèi)的數(shù)”為例。從教材設(shè)置可以發(fā)現(xiàn)，一年級認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)采用的是“學(xué)生為慶祝教師節(jié)的表演舞臺”的情境，對于這個情境的處理是通過引領(lǐng)學(xué)生“數(shù)一數(shù)”的數(shù)學(xué)活動，從具體事物剝離出“數(shù)”的概念，每一個或者一組的具體事物對應(yīng)一個數(shù)，直接指向“數(shù)”的本質(zhì)：一個數(shù)字對應(yīng)著相應(yīng)數(shù)量的具體物體，數(shù)也是在“數(shù)數(shù)”的過程中產(chǎn)生的。在學(xué)習(xí)11～20、百以內(nèi)的數(shù)時，顯然沒有沿用具體的生活情境，而是采用“數(shù)小棒”的操作活動?！皵?shù)小棒”同樣擁有具象特征，但與之前的生活情境相比，更加明顯指向“10個1就是1個十”“10個十是1個百”“滿十進一”的計數(shù)本質(zhì)。如果繼續(xù)使用之前類似的生活情境，便會使課堂教學(xué)節(jié)奏變慢，不利于突出教學(xué)重點。及至后續(xù)學(xué)習(xí)的萬以內(nèi)數(shù)、多位數(shù)的認(rèn)識更加注重位值制的學(xué)習(xí)，所以對于現(xiàn)實情境進行橫向數(shù)學(xué)化，直接簡化到計數(shù)器的操作。故而，為了服務(wù)知識本質(zhì)、知識之間的邏輯，現(xiàn)實情境可做簡化甚至可以不再使用。以上分析是依據(jù)教材文本，對于現(xiàn)實問題情境的選擇在教師的日常教學(xué)中也是頻繁出現(xiàn)的，尤其在同課異構(gòu)型教研時便會明顯感受到選擇指向數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)的生活情境的優(yōu)勢。以下是筆者曾記錄的“用字母表示數(shù)”這一節(jié)課的課堂實錄節(jié)選，節(jié)選內(nèi)容教學(xué)重點是使學(xué)生理解可以用字母表示一個未知數(shù)以及字母式表示的意義?！緦嶄?】教師出示肯德基店鋪。師：大家去過嗎？你在圖片里看到什么與數(shù)學(xué)有關(guān)的內(nèi)容？生：有字母KFC。師：你還在哪里見過字母？生：英語書上、撲克牌上、商場服裝上……師：同學(xué)們真是火眼金睛，今天我們就來學(xué)習(xí)與字母有關(guān)的內(nèi)容。教師出示三角形圖片和問題。師：仔細觀察，并填空。三角形的個數(shù)和小棒的根數(shù)有什么關(guān)系呢？你能用一個式子表示嗎？師：如果用a來表示三角形的個數(shù)，小棒的根數(shù)是（）×（）。師：回顧一下用字母表示的過程，想一想字母在數(shù)學(xué)里可以用來表示什么？用字母來表示有什么優(yōu)點？同桌可以互相討論一下。生：字母可以用來表示很多數(shù)，用字母來表示數(shù)就很簡潔。師（小結(jié)）：像a×3這樣含有字母的式子，我們稱為字母式。剛剛我們用a×3來表示小棒的總根數(shù)，所以我們可以用整個字母式來表示一個具體的量。師：你能從a×3中看出小棒總根數(shù)與三角形個數(shù)之間的關(guān)系嗎？生：乘法關(guān)系，倍數(shù)關(guān)系，3倍，小棒總數(shù)是三角形個數(shù)的3倍。師：所以我們還可以用字母式來表示兩個量之間的關(guān)系?！緦嶄?】教師出示5根小棒。師：這是幾根小棒？生：5根。師：老師這里還有個筆筒，猜一猜，筆筒里有幾根小棒？生：x根、y根。師：為什么想起用字母表示？生：因為字母可以代表很多數(shù)，很多不知道的數(shù)。師（小結(jié)）：字母可以表示未知數(shù)。用字母表示有什么優(yōu)點呢？生：表示不確定的數(shù)，表示無數(shù)個數(shù)，比較概括、全面、簡潔。師：如果將這5根小棒放進筆筒里，現(xiàn)在筆筒里有幾根小棒？生：a+5根。師：思考一下a+5的結(jié)果是多少？大膽想象一下。（出示結(jié)果a+5）師：看懂了嗎？看懂了什么？“a+5=a+5”等式左右兩邊樣子相同，有不同嗎？生：左邊表示計算過程，右邊是結(jié)果。師：既然表達的含義不同，那么讀法上也得有所區(qū)別。先聽老師讀。師：現(xiàn)在這里面有a根小棒，老師將它標(biāo)為1號筆筒，老師這里還有2號筆筒，里面小棒的根數(shù)是a+2根。這兩個筆筒里的小棒根數(shù)有什么關(guān)系？你們是怎么看出來的？生：2號比1號多2根，因為1號是a，2號是a+2，比a多2。師：那如果3號筆筒是a×2呢？生：3號是1號的兩倍。師：所以我們可以通過字母式看出什么？生：關(guān)系。對比以上兩個教學(xué)過程，顯然實錄2的問題情境對于“字母表示數(shù)”指向性更加直接。開始通過對比確定的5根和筆筒里不確定的數(shù)量，自然引出學(xué)生對用什么表示未知數(shù)的需求。學(xué)生通過交流辨析，自發(fā)地得出用字母來表示未知數(shù)。相比之下，實錄1對于字母表示數(shù)的引出運用了兩個現(xiàn)實情境才實現(xiàn)剝離的。實錄1通過生活情境圖和交流互動引出字母，單純?yōu)橐鲎帜缚梢灾复挛锸褂昧饲榫?，使得第一個情境沒有數(shù)學(xué)化的價值。所以再一次引入“小棒擺三角形”的操作情境才是學(xué)生經(jīng)歷用字母表示數(shù)的過程。而后續(xù)對于字母式意義的教學(xué)，顯然實錄2呈現(xiàn)了很好的對比現(xiàn)象，學(xué)生進行觀察思索，深刻體會到了字母式既可以表示運算過程，也可以表示具體的量。因為實錄2中將5根小棒放進未知小棒根數(shù)的筆筒里，讓學(xué)生思考現(xiàn)在筆筒共有多少根小棒。這樣的問題情境本身就存在“和”的邏輯，存在運算過程與運算結(jié)果的邏輯。故而，一個好的問題情境是可以直接指向知識本質(zhì)、貫穿知識內(nèi)在邏輯的，此類現(xiàn)實情境不僅可以加快教學(xué)節(jié)奏，而且可以讓學(xué)生圍繞一個情境探究思考，從而經(jīng)歷完整的知識形成的過程，進行自主建構(gòu)知識體系，順應(yīng)自然地學(xué)習(xí)。（二）聚焦學(xué)生差異，自主建模，深入對話從現(xiàn)實問題情境剝離出數(shù)學(xué)問題，隨之分析問題，這樣的過程被稱為水平數(shù)學(xué)化，水平數(shù)學(xué)化通常在引入新授前半部分進行。而后半部分一般進行垂直數(shù)學(xué)化教學(xué)，即利用已有的數(shù)學(xué)模型再次進行分析、推理、歸納概括或者演繹，形成新的數(shù)學(xué)模型，進而完成一整節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。而垂直數(shù)學(xué)化的過程，除了依從知識內(nèi)在邏輯規(guī)律開展，還為關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)能力差異、因材施教、發(fā)揮學(xué)生主體地位提供極為寶貴的時空。垂直數(shù)學(xué)化教學(xué)過程也必須以此為核心任務(wù)展開，鼓勵學(xué)生大膽說出自己的想法，讓不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生進行思維的碰撞，實現(xiàn)課堂的深度對話。在學(xué)習(xí)“列方程解決實際問題”這節(jié)課時，對于如何求兩步計算的方程的解，學(xué)生各有方法。以下是實錄節(jié)選：師：你會求2x-22=64的解嗎？先自主思考，將思考的結(jié)果寫下來。隨后小組內(nèi)進行想法交換，思考對方的方法是否可行。師：哪組同學(xué)代表上臺分享組內(nèi)的想法。生1：我們小組共有兩種方法：第一種解法是根據(jù)等式的基本性質(zhì)，因為昨天我們學(xué)習(xí)的方程沒有“-22”這個步驟，所以先將兩邊加上22，這樣就變成和昨天一樣的形式，再用等式性質(zhì)，左右兩邊同時除以2，就可以得到方程的解了。第二種也是因為多了“-22”，如果我們把2x當(dāng)作被減數(shù)，根據(jù)被減數(shù)=差+減數(shù)，可以用64加上22，得到被減數(shù)。這是我們小組的想法。生2：我感覺你們組兩種方法是一樣的。我還有不一樣的方法。師：一樣嗎？你先說說一樣在哪里？生2：這兩個解法都是先求出2x等于多少。師：說得很好！今天我們遇到的是兩步計算的方程，按照同學(xué)們的思考，怎樣處理可以將其轉(zhuǎn)變成昨天的一步計算？生3：可以用等式的性質(zhì)，或者用等量關(guān)系先去掉一步，先求出幾個x的大小。師：生2還有什么不一樣的解法嗎？生2（展示解