高三數(shù)學大題規(guī)范訓練(18)(解析版)

高三數(shù)學大題規(guī)范訓練（18）15.已知等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）設公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出、，即可求出通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求和即可；【小問1詳解】解：因為為等比數(shù)列，且，，設公比為，所以，所以，，所以；【小問2詳解】解：因為，所以16.如圖，平行六面體的底面是菱形，且．試用盡可能多的方法解決以下兩問：（1）若，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；（2）當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？【答案】（1）（2）1【解答】【分析】（1）根據(jù)二面角的定義作圖分析確定二面角的平面角，計算二面角的平面角可結合直角三角形中的邊角關系、余弦定理、勾股定理得方法求解即可得二面角的平面角的余弦值；（2）可先猜測的值，然后證明平面，根據(jù)平行六面體法人幾何性質結合線面垂直的判定定理證明、或者補形證明、或者利用空間向量的線性運算證明．【小問1詳解】連接、設和交于，連接，作，垂足為，作，垂足為，連接．四邊形是菱形，，又，．又，，△△，，，，又，，平面平面，又平面，．是二面角的平面角．方法一：∵，可得，，又．因為平面，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，∴．又，∴，∴．方法二：在中，．由余弦定理知，又，∴，∴，即．∴是中點，．方法三：∵，，∴，即．∴，∴，，．∴，故．小問2詳解】當時，能使平面．方法一：由前知平面，∴．當時，平行六面體的六個面是全等的菱形．同的證法可得，而平面，故平面．方法二：∵，∴．由題設可知三棱錐是正三棱錐，設與相交于．∵，且，∴．又是正三角形的邊上的高和中線，∴點是正三角形的中心．∴平面，即平面．方法三：如圖，沿面補一個全等的平行六面體．∴．若平面，則平面．∴．令．由余弦定理可知，．又，則，即．∴，解得或（舍）．由此可知當時，平面．方法四：如圖，若平面，則與成的角．過作交的延長線于，則．四邊形為平行四邊形．設，，則．∵，∴．∴，．在Rt中，，即，∴，解得或（舍去）．由此可知當時，平面．方法五：記，菱形邊長為．∵是菱形，∴．又，∴平面，得，要使平面，還需．由，則，得，即時成立．17.金華軌道交通金義東線金義段已于今年1月開通試運行，全長58.4公里，從金華站到義烏秦塘站一路經(jīng)過17座車站．萬達廣場站是目前客流量最大的站點，某小組在萬達廣場站作乘客流量來源地相關調查，從上車人群中隨機選取了200名乘客，記錄了他們從來源地到萬達廣場站所花費時間t．得到下表：時間t（min）人數(shù)（人）106070302010（1）從在萬達廣場站上車的乘客中任選一人，估計該乘客花費時間t大于或等于18min的概率；（2）估計所有在萬達廣場站上車乘客花費時間t的中位數(shù)；（3）已知的10人，其平均數(shù)和方差分別為2，1；的60人，其平均數(shù)和方差分別為9，2，計算樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)和方差．注：已知的平均數(shù)為a，方差為b，的平均數(shù)為c，方差為d，的平均數(shù)為e，則的方差為．【答案】（1）0.3；（2）；（3）平均數(shù)為8，方差為.【解答】【分析】（1）根據(jù)給定r數(shù)表，利用古典概率公式計算即得.（2）利用頻率分布表估算中位數(shù)的方法，求出中位數(shù).（3）利用分層抽樣的平均數(shù)、方差的求法計算得解..【小問1詳解】花費時間t大于或等于18min的乘客人數(shù)為60，所以該乘客花費時間t大于或等于18min的概率.【小問2詳解】由表格數(shù)據(jù)知：花費時間小于分鐘的頻率為，花費時間小于分鐘的頻率為，因此花費時間t的中位數(shù)，，解得：，所以估計所有在萬達廣場站上車的乘客花費時間t的中位數(shù)為.【小問3詳解】樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)；方差.18.已知函數(shù).（1）化簡函數(shù)的表達式，并求函數(shù)的最小正周期；（2）若點是圖象對稱中心，且，求點的坐標.【答案】（1），最小正周期為；（2）或.【解答】【分析】（1）利用降冪公式、二倍角公式、輔助角公式化簡，代入周期公式計算周期；（2）由對稱中心的性質可知，結合求出，即可得到點的坐標．【詳解】（1），所以，函數(shù)的最小正周期為；（2）由，點是函數(shù)圖象的對稱中心，則，得，，由，解得，得或，當時，，此時，點的坐標為；當時，，此時，點的坐標為.綜上所述，點的坐標為或.【小結】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題．19.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且圖象上相鄰最高點的距離為．（1）求的解答式；（2）將的圖象向右平移個單位，得到的圖象，若關于的方程在上有唯一解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解答】【分析】（1）利用題意首先求得的值，然后求解的值即可求得的解答式；（2）首先求得函數(shù)的解答式，然后結合函數(shù)在區(qū)間上的性質即可求解實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為的圖象上相鄰最高點的距離為，所以的最小正周期，從而．又的圖象關于直線對稱，所以，因為，所以，