模擬測試卷06（新高考全國Ⅰ卷）

2023年新高考全國Ⅰ卷模擬測試卷06一、單選題1．設(shè)集合，，則集合中元素的個數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】用列舉法寫出集合的元素即可.【解析】因為集合，，所以集合中元素為，共4個.故選：C2．已知，i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再由實部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【解析】解：復(fù)數(shù)，對應(yīng)點在第四象限，則，解得：．實數(shù)的取值范圍是．故選：．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．3．設(shè)向量，，且，則實數(shù)（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【解析】因為向量，，所以，因為，所以，所以，解得，故選:B.4．24小時內(nèi)降落在某面積上的雨水深度（無滲漏、蒸發(fā)、流失等，單位：mm）叫做日降雨量，等級如下劃分：降水量（mm）0.19.91024.92549.95099.9等級小雨、陣雨中雨大雨暴雨某同學(xué)用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖所示，則那天降雨屬于哪個等級（

）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】C【分析】利用圓錐內(nèi)積水的高度，求出圓錐內(nèi)積水部分的半徑，求出積水的體積，再求出平面上積水的深度，由此確定降雨等級.【解析】作截面圖如下，由已知，，，，設(shè)圓錐內(nèi)積水部分的底面半徑為，則，故，由錐體體積公式可得積水的體積，因為收集雨水的平地面積為圓錐的底面，故其面積所以對應(yīng)的平地上的積水深度為所以該天降雨的等級為大雨.故選：C.5．足球是一項大眾喜愛的運動,為了解喜愛足球是否與性別有關(guān),隨機抽取了若干人進行調(diào)查,抽取女性人數(shù)是男性的2倍,男性喜愛足球的人數(shù)占男性人數(shù)的,女性喜愛足球的人數(shù)占女性人數(shù)的,若本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論,則被調(diào)查的男性至少有（

）人a0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)題意,設(shè)出男生人數(shù),從而計算出列聯(lián)表,再算出7.879比較即可.【解析】設(shè)被調(diào)查的男性為人,則女性為人,依據(jù)題意可得列聯(lián)表如下表:男性女性合計喜愛足球不喜愛足球合計,因為本次調(diào)查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關(guān)”的結(jié)論,所以有,即,解得,又因為上述列聯(lián)表中的所有數(shù)字均為整數(shù),故的最小值為12.故選:C.6．設(shè)、分別為雙曲線的左右焦點，O為坐標(biāo)原點，過左焦點作直線與圓切于點E，與雙曲線右支交于點P，且為等腰三角形，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，確定，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及雙曲線定義列式計算作答.【解析】因為直線與圓切于點E，則，而為等腰三角形，必有，E為的中點，而O為中點，于是，有，且，令雙曲線焦距為2c，由，得，即，有，所以雙曲線的離心率.故選：A7．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上只取得一次最大值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式變形函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間和取得最值的情況，利用整體法即可求得參數(shù)的范圍.【解析】依題意，函數(shù)，，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，則，于是且，解得且，即，當(dāng)時，，因為在區(qū)間上只取得一次最大值，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：B8．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由時，可得在上單調(diào)遞增，由，可得.A選項，比較與大小即可判斷選項正誤；B選項，比較與大小即可判斷選項正誤；C選項，比較1與大小即可判斷選項正誤；D選項，比較與大小即可判斷選項正誤；【解析】因，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；因，則.A選項，，故A錯誤；B選項，注意到，則，故B錯誤；C選項，，故C錯誤；D選項，，故D正確.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵為通過題目條件構(gòu)造出函數(shù)，并得到其單調(diào)性與對稱性，若難以想到，可以通過選項形式得到提示.二、多選題9．a(chǎn)，b為兩條直線，，為兩個平面，則以下命題不正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，，則 D．若，，則【答案】ABC【分析】對A，注意判斷的情況；對B，注意可能相交或異面；對C，討論a，b的相交情況，即可判斷；對D，根據(jù)平面平行的性質(zhì)判斷即可.【解析】對A，由，，可得或，A錯誤；對B，由，，可得直線可能相交，異面或平行，B錯誤；對C，，則當(dāng)相交時，；當(dāng)平行時，則或相交，C錯誤；對D，由，，根據(jù)平行平面的性質(zhì)可得，D正確，故選：ABC.10．有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（

）A．乙發(fā)生的概率為 B．丙發(fā)生的概率為C．甲與丁相互獨立 D．丙與丁互為對立事件【答案】ACD【分析】先計算出甲乙丙丁的概率，故可判斷AC的正誤，再根據(jù)獨立事件的乘法公式可判斷C的正誤，根據(jù)對立事件的意義可判斷D的正誤.【解析】設(shè)為事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，為事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則，，故A正確.，，故B錯誤.而，故C正確.兩次取出的數(shù)字之和要么為奇數(shù)，要么為偶數(shù)，故丙與丁互為對立事件，故D正確.故選：ACD.11．設(shè)和分別為數(shù)列和的前n項和.已知，，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】由已知結(jié)合的關(guān)系及等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列即可確定A、C正誤，應(yīng)用作差法比較的大小關(guān)系判斷B正誤，利用錯位相減法求，再由作差法判斷的大小判斷D.【解析】由，當(dāng)時，，即，又，∴，即，∴是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，A正確；由，則，即是遞減數(shù)列，B錯誤；又，則，C正確；①，②，①②得：，∴，則，∴，D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用及等比數(shù)列的定義求的通項公式，綜合運用作差法、錯位相減法比較大小判斷數(shù)列單調(diào)性、求前n項和，進而判斷各選項的正誤.12．已知函數(shù)（且），且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為R上的增函數(shù) B．無極值C． D．【答案】ABC【分析】先求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性和極值，再利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較a，b，c的大小，利用函數(shù)的單調(diào)性比較對應(yīng)函數(shù)值的大小.【解析】解：已知函數(shù)（且），則，則，所以，故在R上單調(diào)遞增，A選項正確；因為為R上的增函數(shù)，所以無極值，B選項正確；因為是增函數(shù)，所以，因為是減函數(shù)，所以，因為是減函數(shù)，所以，綜上可知，，又為增函數(shù)，則，C選項正確，D選項錯誤；故選：ABC.三、填空題13．若函數(shù)為奇函數(shù)，則___________.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得到，求得，結(jié)合奇偶性的定義，即可求解.【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，即，解得，當(dāng)時，，此時函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；當(dāng)時，，則，即，此時函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意，綜上可得，實數(shù)的值為.故答案為：.14．已知表示一個三位數(shù)，如果滿足且，那么我們稱該三位數(shù)為“凹數(shù)”，則沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”共______個（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】利用組合的意義可求沒有重復(fù)數(shù)字的三位“凹數(shù)”的個數(shù).【解析】為取自中的不同的三個數(shù)字，最小的數(shù)字放置在中間，余下兩數(shù)可排百位或個位，故共有“凹數(shù)”的個數(shù)為，故答案為：.15．已知向量，，若非零向量與，的夾角均相等，則的坐標(biāo)為___（寫出一個符合要求的答案即可）【答案】（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標(biāo)相等即可.【分析】利用兩個向量夾角的余弦公式，通過兩個余弦相等，化簡即可求出結(jié)果.【解析】設(shè)，因為，，所以，，因為與，的夾角均相等，所以，所以，化簡得，所以，因為為非零向量，可取，此時.故答案為：（1，1），答案不唯一，只需滿足橫縱坐標(biāo)相等即可.16．如圖，在矩形中，，，分別為邊，的中點，分別為線段（不含端點）和上的動點，滿足，直線，的交點為，已知點的軌跡為雙曲線的一部分，則該雙曲線的離心率為______.【答案】【分析】以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，求出直線，的方程，聯(lián)立兩方程解出點的坐標(biāo)，進而可得點所在雙曲線方程，由離心率公式計算即可得答案.【解析】解：以所在的直線為軸，線段的中垂線所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)，則，則有，，，，，，，設(shè)，所以，，又因為，所以，所以或，又因為，所以直線的方程為：，即，同理可得直線的方程為：，即，由，可得，即，因為，，，,即有，，所以點所在雙曲線方程為：，所以，所以，所以.故答案為：【點睛】思路點睛：橢圓或雙曲線中，要求離心率的值，就要求出的值(或數(shù)量關(guān)系或關(guān)于的一個二次方程).四、解答題17．已知數(shù)列滿足，，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)令，數(shù)列是否有最大項？若有，求出最大項；若沒有，說明理由．【答案】(1)；(2)有最大項，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出，再利用累加法求出的通項作答.（2）利用（1）的結(jié)論求出，再探討數(shù)列的單調(diào)性作答.【解析】（1）因為數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則,當(dāng)時，，又也滿足上式，所以的通項公式為.（2）由（1）知，，則，則有，當(dāng)時,，則有，當(dāng)時，，即有，數(shù)列是遞減的，所以數(shù)列有最大項，為.18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求A；(2)若D為邊BC上一點，且，試判斷的形狀.【答案】(1)；(2)直角三角形.【分析】（1）利用三角變換得到，即可求出；（2）設(shè)，利用正弦定理，化簡求出，得到，即可證明.【解析】（1）由得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即，因為，所以.（2）設(shè)，，則，，，在中，由正弦定理知，即，即，化簡得，所以，，所以是直角三角形.19．如圖，在三棱臺中，面，，(1)證明：；(2)若棱臺的體積為，，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明，則；（2）利用棱臺體積公式得到上下底面三角形的相似比，寫出相關(guān)點坐標(biāo)，求出相關(guān)平面的法向量，最后利用二面角公式即可求出其余弦值.【解析】（1）在平面中過點作的垂線，在平面ABC中過點作的垂線，面面，，面，且面面，故面，面，所以，故，，三條兩兩垂直，建立以點為坐標(biāo)原點，直線，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則由題意得，，即，，.（2）設(shè)，，根據(jù)，則，由棱臺體積公式得，所以，則在（1）問建系基礎(chǔ)上，設(shè)面的法向量由，即，取，則，則，由題意得，根據(jù)，則，則，設(shè)面法向量由，即，取，則，，則，設(shè)二面角的大小為，依圖可知，所以，所以二面角的余弦值為.20．甲、乙兩名圍棋學(xué)員進行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨立．(1)若，，，求進行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；(2)當(dāng)時，（i）若比賽最多進行5局，求比賽結(jié)束時比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E（X）的最大值；（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，寫出“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用α，β表示），無需寫出過程．【答案】(1)(2)（i）分布列見解析，期望最大值為；（ii）.【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨立事件的概率乘法公式分析運算；（2）（i）根據(jù)題意求分布列，進而可得期望；（ii）根據(jù)題意結(jié)合條件概率分析運算.【解析】（1）用事件A，B，C分別表示每局比賽“甲獲勝”“乙獲勝”或“平局”，則，，，記“進行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA共5種，所以．（2）（i）因為，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得X的所有可能取值為2，4，5，則，，．所以X的分布列為X245P所以X的期望，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以，故的最大值為．（ii）記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件M，則．由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”，事件AB，BA表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同．所以所以，即，因為，所以．21．已知，分別為雙曲線：的左、右焦點，Р為漸近線上一點，且，.(1)求雙曲線的離心率；(2)若雙曲線E實軸長為2，過點且斜率為的直線交雙曲線C的右支不同的A，B兩點，為軸上一點且滿足，試探究是否為定值，若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)2(2)是，2【分析】（1）判斷出為直角三角形，利用邊長關(guān)系得到，利用齊次式法求出離心率；（2）利用“設(shè)而不求法”表示出，，利用雙曲線的定義得到，進而證明出為定值.【解析】（1）由，可設(shè)，在中，因為，所以，即，所以，即為直角三角形.所以在中，，，，所以，則雙曲線的離心率為.（2）由（1）可知在雙曲線中有且實軸長為2，所以，所以雙曲線方程為.由，故設(shè)斜率為k的直線為，聯(lián)立，可得，因為直線與雙曲線右支交于不同兩點，所以，解得：.設(shè)，，則，，則，，即，的中點坐標(biāo)為，因為Q為x軸上一點，滿足，故Q為AB的垂直平分線與x軸的交點，AB的垂直平分線的方程為：，令，則得，即，所以，又又因為，在雙曲線的右支上，故，，故，即，故，即為定值.22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點.（i）求m的取值范圍；（ii）證明:.【答案】(1)答案見解析(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，再分和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號即可得出答案；（2）（i）求導(dǎo)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合（1）分和兩種情況討論，利用零點的存在性定理即可得出答案；（ii）由（i）可得要證，即證，先證明