2025年春人教版化學(xué)九年級(jí)下冊(cè) 28.1 第2課時(shí) 余弦函數(shù)和正切函數(shù)

28.1第2課時(shí)余弦函數(shù)和正切函數(shù)1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,那么cosA的值等于()A.34 B.43 C.35 2.如圖,點(diǎn)A為∠α邊上的任意一點(diǎn),作AC⊥BC于點(diǎn)C,CD⊥AB于點(diǎn)D,下列用線段比表示cosα的值,錯(cuò)誤的是()A.BDBC B.BCAB C.ADAC 3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=35A.45 B.35 C.34 4.如圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,以AB為直徑作半圓,點(diǎn)P是CD中點(diǎn),BP與半圓交于點(diǎn)Q,連接DQ.給出如下結(jié)論:①DQ=1;②PQBQ=32;③S△PDQ=18;④cos∠ADQ=35.已知方程x2-4x+3=0的兩根為直角三角形的兩直角邊長(zhǎng),則其最小角的余弦值為__________.6.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,若BD∶CD=3∶2,則tanB=()A.32 B.23 C.62 7.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn),DE⊥BC于點(diǎn)E,連接BD,則tan∠DBC的值為()A.13 B.2-1 C.2-3 D.8.如圖,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的☉P與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(23,0)和點(diǎn)B(0,2),C是優(yōu)弧OAB上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)O,B重合),則tan∠BCO的值為()A.33 B.22 C.39.如圖,BD是菱形ABCD的對(duì)角線,CE⊥AB于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)F,且點(diǎn)E是AB中點(diǎn),則tan∠BFE的值是()A.12 B.2 C.33 10.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=43,BC=8,則△ABC的面積為________11.如果方程x2-4x+3=0的兩個(gè)根分別是Rt△ABC的兩條邊長(zhǎng),△ABC最小的角為∠A,那么tanA的值為________.

12.在△ABC中,∠C=90°,若把AB,BC都擴(kuò)大為原來(lái)的m倍,則cosB的值是()A.mcosB B.1mcosB C.mcosB 13.已知x=cosα(α為銳角)滿足方程2x2-5x+2=0,求cosα的值.14.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=3,求sinA,cosA,tanA的值.15.已知∠A為銳角,證明:(1)sinA=cos(90°-∠A);(2)sin2A+cos2A=1;(3)tanA=sinAcosA16.如圖,將∠AOB放置在5×5的正方形網(wǎng)格中,則tan∠AOB的值是()A.23 B.32 C.2131317.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=513A.1213 B.512 C.1318.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,如果2AB=3BC,求∠B的三個(gè)三角函數(shù)值.19.如圖,☉O是△ABC的外接圓,AD是☉O的直徑,連接CD.若☉O的半徑r=32A.32 B.53 C.52 20.如圖,E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn),△BCE沿BE折疊為△BFE,點(diǎn)F落在AD上.(1)求證:△ABF∽△DFE;(2)若sin∠DFE=1321.如圖,已知銳角三角形ABC.(1)過(guò)點(diǎn)A作BC邊的垂線MN,交BC于點(diǎn)D(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法);(2)在(1)的條件下,若BC=5,AD=4,tan∠BAD=3422.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),BE⊥CD,垂足為點(diǎn)E.已知AC=15,cosA=35(1)求線段CD的長(zhǎng);(2)求sin∠DBE的值.23.如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C在☉O上,連接BC,AC,作OD∥BC與過(guò)點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)D,連接DC并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:DE是☉O的切線;(2)若CEDE=224.已知線段OA⊥OB,C為OB的中點(diǎn),D為AO上一點(diǎn),連接AC,BD交于點(diǎn)P.(1)如圖①,當(dāng)OA=OB,且D為AO的中點(diǎn)時(shí),求APPC(2)如圖②,當(dāng)OA=OB,ADAO=1參考答案1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】①②④5.【答案】310解：先求出方程x2-4x+3=0的兩根,即可得到兩直角邊長(zhǎng),再根據(jù)勾股定理求得斜邊長(zhǎng),最后根據(jù)余弦的定義即可求得結(jié)果.解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2=3,則直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為1,3,斜邊長(zhǎng)為12+32=10.故其最小角的余弦值為6.【答案】D解：在Rt△ABC中,∵AD⊥BC于點(diǎn)D,∴∠ADB=∠CDA=90°,∴∠B+∠BAD=90°.又∵∠BAD+∠DAC=90°,∴∠B=∠DAC.∴△ABD∽△CAD,∴BDAD=ADCD.∵BD∶CD=3∶2,∴設(shè)CD=2x,∴AD=3x·2x=6x,則tanB=ADBD=6x7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】D10.【答案】2411.【答案】24或12.【答案】D解：∵cosB=mBCmAB=BCAB,∴cosB常見(jiàn)錯(cuò)解:誤認(rèn)為∠B的鄰邊與斜邊都擴(kuò)大為原來(lái)的m倍,則cosB也擴(kuò)大為原來(lái)的m倍,而錯(cuò)選A,實(shí)際上cosB的值只與∠B的大小有關(guān),與∠B的兩邊長(zhǎng)短無(wú)關(guān).13.解:∵方程2x2-5x+2=0的解是x1=2,x2=12又∵0<cosα<1,∴cosα=12常見(jiàn)錯(cuò)解:∵方程2x2-5x+2=0的解是x1=2,x2=12此時(shí)忽略了cosα(α為銳角)的取值范圍是0<cosα<1,而錯(cuò)得cosα=2或cosα=1214.解:∵△ABC是直角三角形,∴根據(jù)勾股定理,得BC=AB2-AC∴sinA=BCAB=5cosA=ACAB=2tanA=BCAC=5方法解：在直角三角形中,只要已知直角三角形的任意兩邊,根據(jù)勾股定理,可求出第三邊,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,可求出該直角三角形中任意一個(gè)銳角的正弦、余弦及正切值.15.證明:作Rt△ABC,使∠C=90°,如圖,則sinA=ac,cosA=btanA=ab(1)∵cosB=ac,sinA=a∴sinA=cosB.又∵∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A,∴sinA=cos(90°-∠A).(2)∵sinA=ac,cosA=bc,且a2+b2=c∴sin2A+cos2A=a2c2+b2c(3)∵sinA=ac,cosA=b∴sinAcosA=acb又∵tanA=ab,∴tanA=sinA16.【答案】B解：在OB上距點(diǎn)O2格的位置上取一點(diǎn),并過(guò)該點(diǎn)作OB的垂線,得到一個(gè)直角三角形.在該直角三角形中,∠AOB的對(duì)邊長(zhǎng)為3,鄰邊長(zhǎng)為2,所以tan∠AOB=32.故選方法總結(jié):用定義法求銳角三角函數(shù)值時(shí),要注意以下兩點(diǎn):(1)要判斷這個(gè)角所在的三角形的形狀,只有在直角三角形中才能利用定義;(2)在直角三角形中求邊時(shí),注意勾股定理的應(yīng)用.此題在圖中找“格點(diǎn)”構(gòu)建直角三角形是關(guān)鍵.17.【答案】D解：如圖,sinA=BCAB=513,可設(shè)BC=5k,AB=13k,用勾股定理可求AC=∴tanB=ACBC=12k5k=方法總結(jié):已知直角三角形中一個(gè)銳角的某個(gè)三角函數(shù)值,求這個(gè)銳角和它的余角的其他三角函數(shù)值,可先畫出直角三角形,結(jié)合圖形和已知條件,可利用“設(shè)k法”,將直角三角形的各邊長(zhǎng)用含k的代數(shù)式表示,然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義,求得銳角的三角函數(shù)值.18.解:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,如圖所示.∵AB=AC,∴BD=CD.又∵2AB=3BC,∴ABBC=3設(shè)AB=AC=3k,則BC=2k.∴BD=CD=k,∴AD=AB2-BD2=∴sinB=ADAB=22k3k=223,cosB=tanB=ADBD=22k方法總結(jié):求某一銳角的三角函數(shù)值時(shí),正確地構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.若已知其中兩邊的比值或倍數(shù)關(guān)系,可將這兩邊設(shè)出,再利用勾股定理表示出第三條邊,則這個(gè)銳角的任一個(gè)三角函數(shù)值都可求出.19.【答案】B解：欲求cosB的值,必須將∠B放在直角三角形中去求,由題圖可知,∠B與∠D是同弧所對(duì)的圓周角,∴∠B=∠D.∵AD是☉O的直徑,∴∠ACD=90°,通過(guò)等角轉(zhuǎn)化即求cosD的值.在Rt△ACD中,AC=2,AD=2r=3,由勾股定理可求得CD=5,∴cosB=cosD=CDAD=520.(1)證明:由題意可得∠A=∠D=∠C=∠BFE=90°,∴∠ABF=90°-∠AFB,∠DFE=180°-∠BFE-∠AFB=90°-∠AFB=∠ABF,∴△ABF∽△DFE.(2)解:由折疊可得FB=BC,EF=EC,∵sin∠DFE=13∴DEEF=13EF=3DE.∴AB=CD=DE+EC=DE+EF=4DE,DF=EF2-DE∵△ABF∽△DFE,∴EFDF=FBAB,即FB=EF·ABDF=3DE·4DE22DE=32DE.又∵FB=BC,EF=EC,∴tan21.解:(1)如圖,MN為所作.(2)在Rt△ABD中,tan∠BAD=BDAD=∴BD4=3∴BD=3.∴DC=BC-BD=5-3=2.22.解:(1)∵AC=15,cosA=35∴cosA=ACAB=15AB=∴AB=25.∵△ACB為直角三角形,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),∴CD=12AB=25(2)∵BC2=AB2-AC2=252-152=400,AD=BD=CD=252∴設(shè)DE=x,EB=y,則y2+x2∴sin∠DBE=DEBD=7225解：(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,求出AB的長(zhǎng),即可求出CD的長(zhǎng).(2)由于點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn),則AD=BD=CD=252.設(shè)DE=x,EB=y,利用勾股定理即可求出x的值,據(jù)此解答即可23.(1)證明:連接OC.∵AD是過(guò)點(diǎn)A的切線,AB是☉O的直徑,∴AD⊥AB,∴∠DAB=90°.∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB,∠AOD=∠ABC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠ABC,∴∠DOC=∠AOD.在△COD和△AOD中,OC=OA∴△COD≌△AOD.∴∠OCD=∠DAB=90°.∵OC⊥DE于點(diǎn)C,OC是☉O的半徑,∴DE是☉O的切線.(2)解:由CEDE=23,可設(shè)CE=2k,又∵AD,CD都是☉O的切線,∴AD=DC=k.在Rt△DAE中,AE=DE2-∵OD∥BC,CEDE=2∴BE=2OB.∴OA=14AE=2∴在Rt△AOD中,OD=AO2+AD2∴cos∠ABC=cos∠AOD=OAOD=324.解:(1)過(guò)點(diǎn)C作CE∥OA交BD于點(diǎn)E,∴△BCE∽△BOD.∵C為OB中點(diǎn),D為AO中點(diǎn),∴CE=12OD=1∵CE∥AD,∴△ECP∽△DAP,∴APCP=AD(2)過(guò)點(diǎn)C作CE∥OA交BD于點(diǎn)E.設(shè)AD=x,∵OA=OB,ADOA=14,則AO=OB=4x,OD=3x.∵CE∥OD,∴△BCE∽△BOD,∴CE=1