2025年國際信息學(xué)奧林匹克競賽編程試題：算法競賽中的遞歸算法挑戰(zhàn)

2025年國際信息學(xué)奧林匹克競賽編程試題：算法競賽中的遞歸算法挑戰(zhàn)一、選擇題（共20分，每題2分）1.以下哪種遞歸算法的效率最高？A.分治法B.動態(tài)規(guī)劃C.暴力遞歸D.非遞歸算法2.遞歸算法在以下哪種情況下會出現(xiàn)棧溢出？A.遞歸深度過大B.遞歸出口條件不正確C.遞歸函數(shù)執(zhí)行時間過長D.遞歸函數(shù)執(zhí)行次數(shù)過多3.以下哪個是尾遞歸優(yōu)化后的代碼？A.deffactorial(n):returnn*factorial(n-1)B.deffactorial(n):returnn*factorial(n-1)ifn!=0else1C.deffactorial(n):returnn*factorial(n-1)ifnelse1D.deffactorial(n):returnn*factorial(n-1)ifn!=04.以下哪個遞歸函數(shù)可以實現(xiàn)斐波那契數(shù)列的求解？A.deffibonacci(n):returnnB.deffibonacci(n):returnnifn<=1elsefibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)C.deffibonacci(n):returnnifn<=2elsefibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)D.deffibonacci(n):returnnifn==1elsefibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)5.以下哪個遞歸函數(shù)可以實現(xiàn)漢諾塔的求解？A.defhanoi(n,from_rod,to_rod,aux_rod):

foriinrange(1,n+1):

hanoi(n-i,from_rod,aux_rod,to_rod)

print("Movedisk",i,"fromrod",from_rod,"torod",to_rod)

hanoi(n-i,aux_rod,to_rod,from_rod)B.defhanoi(n,from_rod,to_rod,aux_rod):

ifn==1:

print("Movedisk",n,"fromrod",from_rod,"torod",to_rod)

else:

hanoi(n-1,from_rod,aux_rod,to_rod)

print("Movedisk",n,"fromrod",from_rod,"torod",to_rod)

hanoi(n-1,aux_rod,to_rod,from_rod)C.defhanoi(n,from_rod,to_rod,aux_rod):

ifn==1:

print("Movedisk",n,"fromrod",from_rod,"torod",to_rod)

else:

hanoi(n-1,from_rod,to_rod,aux_rod)

hanoi(n-1,from_rod,aux_rod,to_rod)

print("Movedisk",n,"fromrod",from_rod,"torod",to_rod)D.defhanoi(n,from_rod,to_rod,aux_rod):

ifn==1:

print("Movedisk",n,"fromrod",from_rod,"torod",to_rod)

else:

hanoi(n-1,from_rod,aux_rod,to_rod)

print("Movedisk",n,"fromrod",from_rod,"torod",to_rod)

hanoi(n-1,aux_rod,to_rod,from_rod)二、編程題（共30分，每題10分）1.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)計算n的階乘。2.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)計算斐波那契數(shù)列的第n項。3.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)漢諾塔的求解，并輸出移動的步驟。四、簡答題（共20分，每題5分）1.簡述遞歸算法的基本思想及其與迭代算法的區(qū)別。2.解釋尾遞歸優(yōu)化的概念，并說明其在遞歸算法中的作用。3.說明遞歸算法中如何處理遞歸出口條件，以及如何避免棧溢出的問題。五、程序設(shè)計題（共30分，每題15分）1.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)判斷一個整數(shù)是否為素數(shù)的功能。2.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)求解漢諾塔問題的最優(yōu)解，并輸出每一步的移動情況。六、綜合應(yīng)用題（共50分）1.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)計算一個整數(shù)序列中所有數(shù)字的階乘和。2.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)將一個字符串逆序的功能，并返回逆序后的字符串。本次試卷答案如下：一、選擇題（共20分，每題2分）1.A.分治法解析：分治法是一種有效的遞歸算法，其將問題分解成更小的子問題，然后遞歸地解決這些子問題，最后合并結(jié)果。在處理大規(guī)模問題時，分治法通常比其他遞歸算法效率更高。2.A.遞歸深度過大解析：遞歸深度過大意味著遞歸調(diào)用的層次過多，這會導(dǎo)致調(diào)用?？臻g耗盡，從而引發(fā)棧溢出。遞歸深度過大通常是由于遞歸出口條件不正確或遞歸調(diào)用次數(shù)過多。3.B.deffactorial(n):returnn*factorial(n-1)ifn!=0else1解析：尾遞歸優(yōu)化是一種優(yōu)化遞歸算法的方法，它將遞歸調(diào)用放在函數(shù)末尾，以便編譯器或解釋器可以重用函數(shù)棧幀。選項B中的代碼實現(xiàn)了尾遞歸優(yōu)化，因為它在函數(shù)末尾調(diào)用了自身。4.B.deffibonacci(n):returnnifn<=1elsefibonacci(n-1)+fibonacci(n-2)解析：斐波那契數(shù)列的定義是每個數(shù)字都是前兩個數(shù)字之和。選項B中的遞歸函數(shù)正確實現(xiàn)了斐波那契數(shù)列的計算。5.B.defhanoi(n,from_rod,to_rod,aux_rod):

ifn==1:

print("Movedisk",n,"fromrod",from_rod,"torod",to_rod)

else:

hanoi(n-1,from_rod,aux_rod,to_rod)

print("Movedisk",n,"fromrod",from_rod,"torod",to_rod)

hanoi(n-1,aux_rod,to_rod,from_rod)解析：漢諾塔問題的遞歸解決方案需要將盤子從源柱子移動到目標(biāo)柱子，同時使用輔助柱子。選項B中的代碼正確實現(xiàn)了漢諾塔問題的遞歸解決方案。二、編程題（共30分，每題10分）1.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)計算n的階乘。解析：遞歸函數(shù)計算階乘的基本思想是，如果n為0或1，則階乘為1；否則，n的階乘等于n乘以(n-1)的階乘。2.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)計算斐波那契數(shù)列的第n項。解析：遞歸函數(shù)計算斐波那契數(shù)列的基本思想是，如果n為0或1，則斐波那契數(shù)為n；否則，斐波那契數(shù)為前兩項的和。3.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)漢諾塔的求解，并輸出移動的步驟。解析：遞歸函數(shù)解決漢諾塔問題的基本思想是，首先將n-1個盤子從源柱子移動到輔助柱子，然后將最大的盤子移動到目標(biāo)柱子，最后將n-1個盤子從輔助柱子移動到目標(biāo)柱子。四、簡答題（共20分，每題5分）1.簡述遞歸算法的基本思想及其與迭代算法的區(qū)別。解析：遞歸算法的基本思想是將一個問題分解成更小的子問題，并遞歸地解決這些子問題，直到子問題足夠小，可以直接解決。與迭代算法相比，遞歸算法更易于理解和實現(xiàn)，但它可能需要更多的內(nèi)存空間。2.解釋尾遞歸優(yōu)化的概念，并說明其在遞歸算法中的作用。解析：尾遞歸優(yōu)化是一種優(yōu)化遞歸算法的方法，它將遞歸調(diào)用放在函數(shù)末尾，以便編譯器或解釋器可以重用函數(shù)棧幀。尾遞歸優(yōu)化可以減少遞歸調(diào)用的內(nèi)存消耗，并避免棧溢出。3.說明遞歸算法中如何處理遞歸出口條件，以及如何避免棧溢出的問題。解析：遞歸算法中處理遞歸出口條件的方法是設(shè)置一個判斷條件，當(dāng)達到該條件時停止遞歸調(diào)用。為了避免棧溢出，需要確保遞歸深度不會過大，可以通過設(shè)置合理的遞歸出口條件和優(yōu)化遞歸算法來實現(xiàn)。五、程序設(shè)計題（共30分，每題15分）1.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)判斷一個整數(shù)是否為素數(shù)的功能。解析：遞歸函數(shù)判斷素數(shù)的基本思想是，如果一個數(shù)大于1且只能被1和自身整除，則它是素數(shù)。遞歸函數(shù)可以檢查從2到該數(shù)的平方根的所有整數(shù)是否能整除該數(shù)。2.編寫一個遞歸函數(shù)，實現(xiàn)求解漢諾塔問題的最優(yōu)解，并輸出每一步的移動情況。解析：遞歸函數(shù)求解漢諾塔問題的最優(yōu)解的基本思想是，首先將n-1個盤子從源柱子移動到輔助柱子，然后將最大的盤子移動到目標(biāo)柱子，最后將n-1個盤子從輔助柱子移動到目標(biāo)柱子。遞歸函數(shù)可以輸出每一步的移動情況。六、綜合應(yīng)用題（共50分）1.編寫一個遞歸函