2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-(原卷版+解析版)

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)-(原卷版+解析版)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.若\(a>0\)，\(a\neq1\)，\(a^{x+y}=a^{2x}\)，則\(y=\)_______。A.2xB.xC.\(\frac{x}{2}\)D.\(-\frac{x}{2}\)2.函數(shù)\(f(x)=2^{x-1}+3\)的圖象在_______上單調(diào)遞增。A.\(x>0\)B.\(x<0\)C.\(x\geq0\)D.\(x\leq0\)3.若\(2^{x}+3^{x}=10\)，則\(2^{x}\cdot3^{x}=\)_______。A.5B.10C.15D.204.若\(a^{x}=b^{y}\)，\(a>0\)，\(a\neq1\)，\(b>0\)，\(b\neq1\)，則\(x=\)_______。A.\(y\)B.\(\frac{y}{\lnb}\)C.\(\frac{y}{\lna}\)D.\(\lnb\)5.函數(shù)\(f(x)=3^{x}-2^{x}\)在_______上單調(diào)遞增。A.\(x>0\)B.\(x<0\)C.\(x\geq0\)D.\(x\leq0\)6.若\(a^{x}=b^{y}\)，\(a>0\)，\(a\neq1\)，\(b>0\)，\(b\neq1\)，則\(x=\)_______。A.\(y\)B.\(\frac{y}{\lnb}\)C.\(\frac{y}{\lna}\)D.\(\lnb\)7.函數(shù)\(f(x)=2^{x}-3^{x}\)在_______上單調(diào)遞減。A.\(x>0\)B.\(x<0\)C.\(x\geq0\)D.\(x\leq0\)8.若\(a^{x}=b^{y}\)，\(a>0\)，\(a\neq1\)，\(b>0\)，\(b\neq1\)，則\(x=\)_______。A.\(y\)B.\(\frac{y}{\lnb}\)C.\(\frac{y}{\lna}\)D.\(\lnb\)9.函數(shù)\(f(x)=3^{x}+2^{x}\)在_______上單調(diào)遞增。A.\(x>0\)B.\(x<0\)C.\(x\geq0\)D.\(x\leq0\)10.若\(a^{x}=b^{y}\)，\(a>0\)，\(a\neq1\)，\(b>0\)，\(b\neq1\)，則\(x=\)_______。A.\(y\)B.\(\frac{y}{\lnb}\)C.\(\frac{y}{\lna}\)D.\(\lnb\)二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.若\(2^{x}=8\)，則\(x=\)_______。12.函數(shù)\(f(x)=3^{x}\)在_______上單調(diào)遞增。13.若\(a^{x}=b^{y}\)，\(a>0\)，\(a\neq1\)，\(b>0\)，\(b\neq1\)，則\(x=\)_______。14.函數(shù)\(f(x)=2^{x}-3^{x}\)的圖象在_______上單調(diào)遞減。15.若\(a^{x}=b^{y}\)，\(a>0\)，\(a\neq1\)，\(b>0\)，\(b\neq1\)，則\(x=\)_______。三、解答題（本大題共2小題，共25分）16.（10分）已知\(a>0\)，\(a\neq1\)，\(a^{x}+a^{-x}=2\)，求\(x\)的值。17.（15分）已知函數(shù)\(f(x)=2^{x}-3^{x}\)，求\(f(x)\)在區(qū)間\([0,1]\)上的最大值和最小值。四、證明題（本大題共1小題，共10分）16.證明：對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，有\(zhòng)(a^{x}\cdota^{-x}=1\)，其中\(zhòng)(a>0\)，\(a\neq1\)。五、應(yīng)用題（本大題共1小題，共15分）17.已知函數(shù)\(f(x)=3^{x}-2^{x}\)，求函數(shù)在區(qū)間\([0,2]\)上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時的\(x\)值。六、綜合題（本大題共1小題，共10分）18.設(shè)\(a>0\)，\(a\neq1\)，\(x\)為實(shí)數(shù)，且滿足\(a^{x}+a^{-x}=4\)，求\(x^{2}+x^{-2}\)的值。本次試卷答案如下：一、選擇題答案：1.B2.C3.A4.C5.A6.B7.A8.C9.C10.B解析思路：1.由指數(shù)的性質(zhì)，\(a^{x+y}=a^{2x}\)可以轉(zhuǎn)換為\(a^{y}=a^{x}\)，因此\(y=x\)，選B。2.函數(shù)\(f(x)=2^{x-1}+3\)可以看作\(f(x)=2^{x}\cdot2^{-1}+3\)，由于\(2^{-1}\)是常數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性取決于\(2^{x}\)，在\(x>0\)時，\(2^{x}\)單調(diào)遞增，故選C。3.將\(2^{x}+3^{x}=10\)兩邊同時取對數(shù)得\(\ln(2^{x})+\ln(3^{x})=\ln(10)\)，即\(x\ln(2)+x\ln(3)=\ln(10)\)，解得\(2^{x}\cdot3^{x}=10\)，選A。4.由指數(shù)的性質(zhì)，\(a^{x}=b^{y}\)可以轉(zhuǎn)換為\(x\ln(a)=y\ln(b)\)，解得\(x=\frac{y}{\lnb}\)，選C。5.函數(shù)\(f(x)=3^{x}-2^{x}\)在\(x>0\)時，\(3^{x}\)增長速度大于\(2^{x}\)，故函數(shù)單調(diào)遞增，選A。6.與第4題類似，由指數(shù)的性質(zhì)，\(a^{x}=b^{y}\)可以轉(zhuǎn)換為\(x=\frac{y}{\lnb}\)，選B。7.函數(shù)\(f(x)=2^{x}-3^{x}\)在\(x>0\)時，\(3^{x}\)增長速度大于\(2^{x}\)，故函數(shù)單調(diào)遞減，選A。8.與第4題類似，由指數(shù)的性質(zhì)，\(a^{x}=b^{y}\)可以轉(zhuǎn)換為\(x=\frac{y}{\lnb}\)，選C。9.函數(shù)\(f(x)=3^{x}+2^{x}\)在\(x>0\)時，\(3^{x}\)和\(2^{x}\)都單調(diào)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞增，選C。10.與第4題類似，由指數(shù)的性質(zhì)，\(a^{x}=b^{y}\)可以轉(zhuǎn)換為\(x=\frac{y}{\lnb}\)，選B。二、填空題答案：11.312.\(x>0\)13.\(\frac{y}{\lna}\)14.\(x>0\)15.\(\frac{y}{\lna}\)解析思路：11.\(2^{x}=8\)可以轉(zhuǎn)換為\(2^{x}=2^{3}\)，因此\(x=3\)。12.函數(shù)\(f(x)=3^{x}\)在\(x>0\)時單調(diào)遞增。13.與第4題類似，由指數(shù)的性質(zhì)，\(a^{x}=b^{y}\)可以轉(zhuǎn)換為\(x=\frac{y}{\lna}\)。14.函數(shù)\(f(x)=2^{x}-3^{x}\)在\(x>0\)時單調(diào)遞減。15.與第4題類似，由指數(shù)的性質(zhì)，\(a^{x}=b^{y}\)可以轉(zhuǎn)換為\(x=\frac{y}{\lna}\)。三、解答題答案：16.\(x=0\)或\(x=2\)解析思路：由\(a^{x}+a^{-x}=2\)，兩邊同時乘以\(a^{x}\)得\(a^{2x}+1=2a^{x}\)，即\(a^{2x}-2a^{x}+1=0\)，這是一個關(guān)于\(a^{x}\)的一元二次方程，解得\(a^{x}=1\)，因此\(x=0\)或\(x=2\)。17.最大值：\(f(1)=-1\)，最小值：\(f(0)=1\)解析思路：函數(shù)\(f(x)=2^{x}-3^{x}\)在\(x=0\)時取得最小值，在\(x=1\)時取得最大值。四、證明題答案：證明：對于任意實(shí)數(shù)\(x\)，有\(zhòng)(a^{x}\cdota^{-x}=1\)，其中\(zhòng)(a>0\)，\(a\neq1\)。解析思路：由指數(shù)的性質(zhì)，\(a^{x}\cdota^{-x}=a^{x-x}=a^{0}=1\)。五、應(yīng)用題答案：最大值：\(f(1)=-1\)，最小值：\(f(0)=1\)，取得最大值時的\(x\)值為1，取得最小值時的\(x\)值為0。解析思路：與第17題類似，函數(shù)在\(x=1\)時取得最大值，在\(x=0\)時取得最小值。六、綜合題答案：\(x^{2}+x^{-2}=2\)解析思路：由\(a^{x}+a^{-x}=4\)，兩邊同時平方得\(a^{2x}+2+a^{-2x}=16\)，即\(a^{2x}+a^{-2x}=14\)，令\(t=a^{x}+a^{-x}\)，則\(t^{2}=a^{2x}+2+a^{-2x}\)，代入得\(t^{2}=16\)，解得\(t=4\)或\(t=-4\)（舍去），因此\(a^{x}+a^{-x}=4\)，兩邊同時乘以\(a^{x