專題19數(shù)學(xué)文化-學(xué)生版

專題19數(shù)學(xué)文化【典例精講】例1.(2023·安徽省·模擬題)大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”如圖某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2，其中為正三角形，AD，BE，CF圍成的也為正三角形．若D為BE的中點(diǎn)，則與的面積比為_(kāi)_________；設(shè)，則__________.【拓展提升】練11(2023·湖北省·期中考試)公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問(wèn)題，例如：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值不為的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是(

)A.10 B.20 C.30 D.40練12(2023·山東省·期中考試)《海島算經(jīng)》是中國(guó)學(xué)者劉徽編撰的一部測(cè)量數(shù)學(xué)著作，現(xiàn)有取自其中的一個(gè)問(wèn)題：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直，從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問(wèn)島高幾何？用現(xiàn)代語(yǔ)言來(lái)解釋，其意思為：立兩個(gè)3丈高的標(biāo)桿，之間距離為1000步，兩標(biāo)桿與海島的底端在同一直線上．從第一個(gè)標(biāo)桿M處后退123步，人眼貼地面，從地上A處仰望島峰，人眼，標(biāo)桿頂部和山頂三點(diǎn)共線；從后面的一個(gè)標(biāo)桿N處后退127步，從地上B處仰望島峰，人眼，標(biāo)桿頂部和山頂三點(diǎn)也共線，則海島的高為丈步(

)1200步 B.1300步 C.1155步 D.1255步練13(2023·江蘇省·模擬題)在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，，且，M為AD的中點(diǎn)，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為(

)A. B. C. D.考向考向二以現(xiàn)代科技或數(shù)學(xué)時(shí)事為背景【典例精講】例2.(2022·全國(guó)乙卷理科)嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星.為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}:b1=1+1a1，b2=1+A.b1<b5 B.b3<【拓展提升】練21(2023·寧夏回族自治區(qū)·模擬題)截至2023年2月，“中國(guó)天眼”發(fā)現(xiàn)的脈沖星總數(shù)已經(jīng)達(dá)到740顆以上．被稱為“中國(guó)天眼”的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡，是目前世界上口徑最大，靈敏度最高的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡圖觀測(cè)時(shí)它可以通過(guò)4450塊三角形面板及2225個(gè)觸控器完成向拋物面的轉(zhuǎn)化，此時(shí)軸截面可以看作拋物線的一部分．某學(xué)校科技小組制作了一個(gè)FAST模型，觀測(cè)時(shí)呈口徑為4米，高為1米的拋物面，則其軸截面所在的拋物線圖的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為(

)

A.1 B.2 C.4 D.8練22(2023·山東省·月考試卷)2023年5月10日21時(shí)22分，搭載天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船的長(zhǎng)征七號(hào)遙七運(yùn)載火箭，在我國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)點(diǎn)火發(fā)射，約10分鐘后，天舟六號(hào)貨運(yùn)飛船與火箭成功分離并進(jìn)入預(yù)定軌道已知火箭的最大速度單位：與燃料質(zhì)量單位：、火箭質(zhì)量單位：的函數(shù)關(guān)系為若已知火箭的質(zhì)量為3100kg，火箭的最大速度為，則火箭需要加注的燃料質(zhì)量為參考數(shù)值為，，結(jié)果精確到，(

)A. B. C. D.

練23(2023·河南省·模擬題)2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI發(fā)布的名為“ChatGTP”的人工智能聊天程序進(jìn)入中國(guó)，迅速以其極高的智能化水平引起國(guó)內(nèi)關(guān)注．深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度．已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為12，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為12時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為則學(xué)習(xí)率衰減到以下不含所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為(

)參考數(shù)據(jù)：A.35 B.36 C.37 D.38考向三考向三以數(shù)學(xué)家為背景例3.(2023·山東省·期末考試)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)．用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，令，則(

)A.7 B.8 C.17 D.18【拓展提升】練31(2023·新疆維吾爾自治區(qū)·模擬題)數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛，就是分割比的近似值，分割比還可以表示成，則等于(

)A.4 B. C.2 D.練32.(2023·遼寧省·期末考試)康托是十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，他創(chuàng)立的集合論奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，當(dāng)記為第一次操作；再將剩下的兩個(gè)區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作：…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，以至無(wú)窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使“康托三分集”的各區(qū)間長(zhǎng)度之和小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為參考數(shù)據(jù)：，(

)A.6 B.8 C.10 D.12練33(2023·浙江省·期末考試)（多選）“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離，則下列結(jié)論正確的是(

)若點(diǎn)，則

B.若點(diǎn)，則在x軸上存在點(diǎn)P，使得

C.若點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上，則的最小值是3

D.若點(diǎn)M在圓上，點(diǎn)N在直線上，則的值可能是

【答案解析】例1.解：中設(shè)，則，

由余弦定理得，

故與的面積比為相似比平方等于

由余弦定理得，，

所以延長(zhǎng)AD交BC于G，所以，

由正弦定理得，即，所以，

設(shè)因?yàn)樗?/p>

所以練11解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?/p>

所以，

化簡(jiǎn)得，即，

所以點(diǎn)P的軌跡方程為，

因?yàn)镻點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，

所以圓心在此直線上，即，，，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

故選練12解：設(shè)海島的高為CD，步，步，

由題可知，步，步，步，步，

由，得∽，有，即①．同理，由，得∽，有，即②．由①②解得故選練13解：如圖，正方體內(nèi)三棱錐即為滿足題意的鱉臑

，以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則

，

，

，

，

，則

，

，

，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為

.故選：例2.解：由已知b1=1+1a1

，b2=1+1a1+1a2于是得b1>b2>b3>b4>b5>故選D.練21解：如圖所示建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

由題意可知點(diǎn)在拋物線上，

，解得

焦點(diǎn)，

焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1，

故選練22解：依題意，

，令

，則

，所以

，所以

.故選：練23解：由于，所以，依題意，則，由得，，，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為

故選例3解：當(dāng)

時(shí)，

，解得

負(fù)值舍去由

可得

，所以

，即

，所以數(shù)列

是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故

，即

，所以

，所以

，由

知，

，所以

故

，故選：B.練31解：由題可知，所以

則練32解：第一次操作去掉區(qū)間長(zhǎng)度為；

第二次操作去掉兩個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度之和為；

第三次操作去掉四個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度之和為；

??

第n次操作去掉個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度為的區(qū)間，長(zhǎng)度之和為；

于是進(jìn)行n次操作后去掉的區(qū)間總長(zhǎng)度為，

所以，即，

所以，

所以需要操作的次數(shù)n的最小值為8，

故選：練33解：對(duì)于A，根據(jù)題意，由曼哈頓距離的定義可知?jiǎng)tA正確；

對(duì)于B，設(shè)，則，從而，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，作軸，