模板05 一元二次方程（解析版）

一元二次方程一元二次方程解題方法指導(dǎo)解題方法指導(dǎo)一、怎樣解一元二次方程根的問(wèn)題方程的根是使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值,將該數(shù)值代入方程,即可得出相應(yīng)的一個(gè)等式,進(jìn)而由等式變換，可求出其他代數(shù)式的:值由已知方程的根求方程中待定字母的值時(shí)，一般將所給方程的根直接代入原方程,從而可將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于待定字母的方程。例題演練例題演練例題1（2021·全國(guó)）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．（1）若﹣2是該方程的一個(gè)根，求該方程的另一個(gè)根；（2）求證：無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．【答案】（1）方程的另一個(gè)根為0；（2）證明見(jiàn)解析；（3）m＝﹣3或1【詳解】（1）解：由題意，得：4﹣2m+m﹣2＝0，解得：m＝2，∴方程為x2+2x＝0，解得：x1＝﹣2，x2=0，∴方程的另一個(gè)根為0．（2）證明：∵△＝m2﹣4（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，∴無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（3）由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣2，由x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，得：（x1+x2）2﹣2x1x2+m（x1+x2）＝m2+1，∴m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝m2+1，整理得：m2+2m﹣3＝0，解得：m＝﹣3或1．例題2（2021·全國(guó)）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．（1）求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若該方程的兩個(gè)根x1，x2滿足3x1+3x2﹣x1x2＝6，求k的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）k【詳解】（1）證明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴無(wú)論k取何值，所以方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：根據(jù)題意得：x1+x2＝2k+1，x1?x2＝2k，∵3（x1+x2）﹣x1?x2＝6，∴3（2k+1）﹣2k＝6，∴k．例題3（2021·江蘇九年級(jí)二模）已知關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）．（1）若它的一個(gè)實(shí)數(shù)根是方程的根，則_____，方程的另一個(gè)根為_(kāi)____；（2）若它的一個(gè)實(shí)數(shù)根是關(guān)于的方程的根，求的值；（3）若它的一個(gè)實(shí)數(shù)根是關(guān)于的方程的根，求的最小值．【答案】（1）1，；（2），；（3）當(dāng)時(shí)，有最小值為-2．【詳解】（1）∵2(x-1)-4=0，∴x=3，∴（3-1）(3-2)=m+1，解得m=1，∴（x-1）(x-2)=2，∴-3x=0，∴，故答案為：1，．（2）由，得．則∴，∴，∴，．（3）由，得．則．即．∴；∴當(dāng)時(shí)，有最小值-2．解題方法指導(dǎo)解題方法指導(dǎo)二、怎樣列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題1.怎樣解增長(zhǎng)(或降低)率問(wèn)題解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是理解“增長(zhǎng)了”與“增長(zhǎng)到”、“降低了”與“降低到”的區(qū)別，尤其要理解第二次變化是在第一次變化的基礎(chǔ)上發(fā)生的.分析、歸納、解決問(wèn)題的同時(shí),務(wù)必要記住公式,其中為增長(zhǎng)(或降低)的基礎(chǔ)數(shù),x為增長(zhǎng)(或降低)率,n為增長(zhǎng)(或降低)的次數(shù),b為增長(zhǎng)(或降低)后的數(shù)量2.怎樣解幾何圖形面積問(wèn)題幾何圖形的面積問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題,通常涉及三角形、長(zhǎng)方形、正方形等圖形的面積，需利用圖形面積公式,從中找到等量關(guān)系解決問(wèn)題.有關(guān)面積的應(yīng)用題,均可借助圖形加以分析，以便于理解題意.3.怎祥解利潤(rùn)或利潤(rùn)率向題在日常生活中，経常遇到有美商品利洞的向題，解決込美同題的美鍵是利用其中巳知量與未知量之同的等量美系建立方程模型，并通辻解方程來(lái)解決同題.要正硝解答利或利洞率向題，首先要理解迸價(jià)、售價(jià)、利洞及利洞率之同的美系:利洞=售價(jià)一迸價(jià);利洞率=X100%.4.怎樣解分裂(傳播)問(wèn)題分裂與傳播類問(wèn)題是一元二次方程實(shí)際應(yīng)用中的常見(jiàn)題型,解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是原細(xì)胞或傳染源在不在總數(shù)中.其一般思路是先分析問(wèn)題情6境，明確是分裂問(wèn)題還是傳播問(wèn)題，然后找出問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，再建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求解.(1)傳播問(wèn)題:傳染源在傳播過(guò)程中,原傳染源的數(shù)量計(jì)入傳染結(jié)果,若傳染源數(shù)量為1,每一個(gè)傳染源傳染x個(gè)個(gè)體，則第一輪傳染后，感染個(gè)體的總數(shù)為1+x,第二輪傳染后感染個(gè)體的總數(shù)為(1+x)2.(2)分裂問(wèn)題:細(xì)胞在分裂過(guò)程中，原細(xì)胞數(shù)目不計(jì)入分裂總數(shù)中，若原細(xì)胞數(shù)目為1,每一個(gè)細(xì)胞分裂為x個(gè)細(xì)胞，則第一次分裂;后的細(xì)胞總數(shù)為x，第二次分裂后的細(xì)胞總數(shù)為x2.例題演練例題演練例題1（2021·安徽中考真題）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．[觀察思考]當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推，

[規(guī)律總結(jié)]（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加塊；（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．[問(wèn)題解決]（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？【答案】（1）2；（2）；（3）1008塊【詳解】解：（1）由圖可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

故答案為：2；

（2）由（1）可知，每增加一塊正方形地磚，即增加2塊等腰直角三角形地磚；

當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊，即2+4；

所以當(dāng)?shù)卮u有n塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有（）塊；

故答案為：；（3）令則當(dāng)時(shí)，此時(shí)，剩下一塊等腰直角三角形地磚需要正方形地磚1008塊．例題2（2021·重慶中考真題）某工廠有甲、乙兩個(gè)車(chē)間，甲車(chē)間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車(chē)間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出．已知A產(chǎn)品的銷售單價(jià)比B產(chǎn)品的銷售單價(jià)高100元，1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元．（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少元？（2）隨著5G時(shí)代的到來(lái)，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期．今年，該工廠計(jì)劃依托工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車(chē)間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車(chē)間．預(yù)計(jì)A產(chǎn)品在售價(jià)不變的情況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品的銷售單價(jià)將提高3a%．則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上增加%．求a的值．【答案】（1）A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元；（2）20【詳解】解：（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x+100）元．根據(jù)題意，得．解這個(gè)方程，得．則．答：A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元．（2）設(shè)去年每個(gè)車(chē)間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)題意，得設(shè)a%=m，則原方程可化簡(jiǎn)為．解這個(gè)方程，得（舍去）．∴a=20．答：a的值是20．例題3（2021·廣西玉林市·）某市垃圾處理廠利用焚燒垃圾產(chǎn)生的熱能發(fā)電，有，兩個(gè)焚燒妒，每個(gè)焚燒爐每天焚燒垃圾均為100噸，每焚燒一噸垃圾，焚燒爐比焚燒爐多發(fā)電50度，，焚燒爐每天共發(fā)電55000度．（1）求焚燒一噸垃圾，焚燒爐和焚燒爐各發(fā)電多少度？（2）若經(jīng)過(guò)改進(jìn)工藝，與改進(jìn)工藝之前相比每焚燒一噸垃圾，焚燒爐和焚燒爐的發(fā)電量分別增加%和%，則，焚燒爐每天共發(fā)電至少增加%，求的最小值．【答案】（1）焚燒一噸垃圾，焚燒爐和焚燒爐各發(fā)電300、250度；（2）a最小值為11【詳解】（1）設(shè)B焚燒爐每噸發(fā)電x度，則A焚燒爐每噸發(fā)電（x+50）度，1