四川樂(lè)山市2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

四川樂(lè)山市2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一個(gè)單位有職工800人，其中具有高級(jí)職稱(chēng)的160人，具有中級(jí)職稱(chēng)的320人，具有初級(jí)職稱(chēng)的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定采用分層抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本.則從上述各層中依次抽取的人數(shù)分別是（）A．12,24,15,9 B．9,12,12,7 C．8,15,12,5 D．8,16,10,62．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C． D．或3．某教師要把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、歷史四個(gè)科目排到如下的課表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的課表已經(jīng)確定如下表，則其余三天課表的不同排法種數(shù)有(

)A．96B．36C．24D．124．已知各項(xiàng)不為的等差數(shù)列，滿(mǎn)足，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A． B． C． D．5．已知隨機(jī)變量滿(mǎn)足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B．C． D．6．己知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍_______.A． B． C． D．7．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．8．如果函數(shù)的圖象如下圖，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)落在下列哪個(gè)區(qū)間（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）10．甲、乙兩名游客來(lái)龍巖旅游，計(jì)劃分別從“古田會(huì)址”、“冠豸山”、“龍崆洞”、“永福櫻花園”四個(gè)旅游景點(diǎn)中任意選取3個(gè)景點(diǎn)參觀游覽，則兩人選取的景點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)景點(diǎn)相同的概率為（）A． B． C． D．11．設(shè)，，則與大小關(guān)系為()A． B．C． D．12．曲線(xiàn)的參數(shù)方程為，則曲線(xiàn)是（）A．線(xiàn)段 B．雙曲線(xiàn)的一支 C．圓弧 D．射線(xiàn)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知兩不共線(xiàn)的非零向量滿(mǎn)足,,則向量與夾角的最大值是__________.14．用反證法證明命題“如果，那么”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)____．15．已知點(diǎn)均在表面積為的球面上,其中平面,,則三棱錐的體積的最大值為_(kāi)_________．16．各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐，其任意兩個(gè)相鄰的面所成的二面角的大小為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，．(Ⅰ)求的值，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；(Ⅱ)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值。19．（12分）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，求在上的值域；若方程有三個(gè)不同的解，求b的取值范圍．20．（12分）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系，已知曲線(xiàn)（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線(xiàn)的普通方程和直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到，的距離之積．21．（12分）設(shè)，已知，為關(guān)于的二次方程兩個(gè)不同的虛根，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，求實(shí)數(shù)，的值.22．（10分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意的：，存在零點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析：由題意，得抽樣比為，所以高級(jí)職稱(chēng)抽取的人數(shù)為，中級(jí)職稱(chēng)抽取的人數(shù)為，初級(jí)職稱(chēng)抽取的人數(shù)為，其余人員抽取的人數(shù)為，所以各層中依次抽取的人數(shù)分別是8人，16人，10人，6人，故選D．考點(diǎn)：分層抽樣．【方法點(diǎn)睛】分層抽樣滿(mǎn)足“”，即“或”，據(jù)此在已知每層間的個(gè)體數(shù)量或數(shù)量比，樣本容量，總體數(shù)量中的兩個(gè)時(shí)，就可以求出第三個(gè)．2、B【解析】試題分析：因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，由得，，故選B.考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的性質(zhì)；2、等比數(shù)列的性質(zhì).3、C【解析】

先安排第一節(jié)的課表種，再安排第二節(jié)的課表有2種，第三節(jié)的課表也有2種，最后一節(jié)只有1種安排方案，所以可求.【詳解】先安排第一節(jié)的課表，除去語(yǔ)文均可以安排共有種；周二的第二節(jié)不和第一節(jié)相同，也不和周一的第二節(jié)相同，共有2種安排方案，第三節(jié)和第四節(jié)的順序是確定的；周三的第二節(jié)也有2種安排方案，剩余位置的安排方案只有1種，根據(jù)計(jì)數(shù)原理可得種，故選C.本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).4、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得：，變?yōu)椋海獾茫ㄉ崛ィ?，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，故選B.5、B【解析】

利用期望與方差性質(zhì)求解即可．【詳解】；．故，．故選．考查期望與方差的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．6、B【解析】

首先解出集合,若滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)，和恒成立，求的取值范圍.【詳解】，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，即，當(dāng)時(shí)恒成立，即，而是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，，解得：綜上：.故選：B本題考查根據(jù)給定區(qū)間不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算求解能力，恒成立問(wèn)題可以參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，如果函數(shù)是二次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為根的分布問(wèn)題，列不等式組求解.7、C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列，故，所以，故選C.一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.8、A【解析】試題分析：的單調(diào)變化情況為先增后減、再增再減因此的符號(hào)變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零，四個(gè)選項(xiàng)只有A符合，故選A.考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；2、函數(shù)圖象的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.這類(lèi)題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類(lèi)題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意選項(xiàng)一一排除.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在原理判斷區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)情況，從而可得答案.【詳解】由的圖像在上是連續(xù)不間斷的.且在上單調(diào)遞增，又，,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在原理有：在在有唯一零點(diǎn)且在內(nèi).故選：B.本題考查函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在原理可解決，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先求出兩人從四個(gè)旅游景點(diǎn)中任意選取3個(gè)景點(diǎn)的所有選法，再求出兩人選取的景點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)景點(diǎn)相同的選法，然后可求出對(duì)應(yīng)概率.【詳解】甲、乙兩人從四個(gè)旅游景點(diǎn)中任意選取3個(gè)景點(diǎn)參觀游覽，總共有種選法，兩人選取的景點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)景點(diǎn)相同，總共有,則兩人選取的景點(diǎn)中有且僅有兩個(gè)景點(diǎn)相同的概率為.故選A.本題考查了概率的求法，考查了排列組合等知識(shí)，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.11、A【解析】,選A.12、A【解析】由代入消去參數(shù)t得又所以表示線(xiàn)段。故選A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)向量夾角為，由余弦定理求得，再利用基本不等式求得取得最小值，即可求得的最大值，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮煞橇阆蛄繚M(mǎn)足,,設(shè)向量夾角為，由于非零向量以及構(gòu)成一個(gè)三角形，設(shè)，則由余弦定理可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以的最大值是，故答案是.該題考查的是有關(guān)向量夾角的大小問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有余弦定理，基本不等式，注意當(dāng)什么情況下取得最值，再者就是需要明確角取最大值的時(shí)候其余弦值最小.14、或【解析】假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是否定結(jié)論，由否定后為.15、【解析】分析：先求出球的半徑，再求出三棱錐的體積的表達(dá)式，最后求函數(shù)的最大值.詳解：設(shè)球的半徑為R,所以設(shè)AB=x,則，由余弦定理得設(shè)底面△ABC的外接圓的半徑為r,則所以PA=.所以三棱錐的體積=.當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等.故答案為點(diǎn)睛：（1）本題主要考查球的體積和幾何體的外接球問(wèn)題，考查基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和空間想象能力.(2)三元基本不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c>0時(shí)取等.(3)函數(shù)的思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想，一般是先求出函數(shù)的表達(dá)式，再求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的最值.16、【解析】

取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD、CD，則SD⊥AB，CD⊥AB，從而∠SDC是二面角的平面角，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD、CD，∵三棱錐S﹣ABC是各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐，∴SD⊥AB，CD⊥AB，∴∠SDC是二面角的平面角，設(shè)棱長(zhǎng)SC＝2，則SD＝CD，∴cos∠SDC，∴∠SDC＝arccos．故各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐任意兩個(gè)相鄰的面所成的二面角的大小為arccos．故答案為：arccos．本題考查二面角的大小的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)，利用遞推公式，可以求出的值，可以猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可；(Ⅱ)利用錯(cuò)位相減法，可以求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，，猜想成立，假設(shè)當(dāng)()時(shí)，猜想成立，即則當(dāng)時(shí)，，猜想成立綜上所述，對(duì)于任意，均成立(Ⅱ)由（Ⅰ）得①②由①－②得：本題考查了用數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了用借位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（1）（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程；（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論，，三種情況函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最大值.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，所以切線(xiàn)方程為，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，此時(shí),又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞減，此時(shí)綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.本題第二問(wèn)考查了根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，第二問(wèn)的難點(diǎn)是當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最大值是或，需做差討論得到和的大小關(guān)系.19、12．【解析】

（1）求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性確定最值取得的點(diǎn)，從而得到值域；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成與有三個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)得到圖象，通過(guò)圖象可知只需位于極大值和極小值之間即可，從而得到不等式，求解出范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則令，解得或列表如下；由表可知，在上的最小值為，最大值為所以在的值域是（2）由，得設(shè)，則由，解得：由，解得：或所以在遞減；在，遞增所以極大值為：；極小值為：，畫(huà)出的圖象如圖所示；有三個(gè)不同解與有三個(gè)不同交點(diǎn)結(jié)合圖形知，解得：，所以方程有三個(gè)不同的解時(shí)，的取值范圍是本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.解決根的個(gè)數(shù)類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于能夠?qū)?wèn)題變成曲線(xiàn)和平行于軸直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，從而利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)圖象，結(jié)合圖象得到相應(yīng)的關(guān)系.20、（1）曲線(xiàn)：，直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；（2）1.【解析】試題分析：（1）先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線(xiàn)化為普通方程，再根據(jù)將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)參數(shù)方程，代入C方程，利用參數(shù)幾何意義以及韋達(dá)定理得點(diǎn)到，的距離之積試題解析：（1）曲線(xiàn)化為普通方程為：，由，得，所以直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為．（2）直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡(jiǎn)得：，設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，．21、(1)；(2),【解析】

(1)由題可得二次函數(shù)的判別式小于0,列式求解即可.

(2)利用韋達(dá)定理代入可求得的關(guān)系,再化簡(jiǎn)利用韋達(dá)定理表示,換成的形式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)由題二次函數(shù)的判別式小于0,故,解得.

(2)由為關(guān)于的二次