八年級數(shù)學(xué)（上冊）課程講義

新

世

紀(jì)

博

瑞

教

育

（內(nèi)部資料，嚴(yán)禁外傳）

八年級上

第十一講三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.1三角形的邊

11.1.2-11.1.3三角形的高、中線、角平分線及三角形的穩(wěn)定性

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

1L2.2三角形的外角

11.3多邊形及其內(nèi)角和教學(xué)活動小結(jié)復(fù)習(xí)題11

【知識精要】

1.三角形的概念

由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做一:角形

要點(diǎn)：①三條線段；②不在同一直線上；③首尾順次相接.

2.三角形的表示

通常用三個大寫字母表示三角形的頂點(diǎn)，如用A、B、C表示三角形的三個頂點(diǎn)時，此三角形可記作

△ABC,其中線段AB、BC、AC是三角形的三條邊，NA、NB、NC分別表示三角形的三個內(nèi)角.

3.二角形中的二種重要線段

三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段.

(1)三角形的角平分線：三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的

線段叫做三角形的角平分線.

注意：①三角形的角平分線是一條線段，可以度量，而角的平分線是經(jīng)過角的頂點(diǎn)且平分此角的一

條射線.

②三角形有三條角平分線且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.

③三角形的角平分線畫法與角平分線的畫法一樣，可以用量角器畫，也可通過尺規(guī)作圖來畫.

(2)三角形的中線：在一個三角形中，連結(jié)一個頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.

注意：①三角形有三條中線，且它們相交三角形內(nèi)部一點(diǎn).

②畫三角形中線時只需連結(jié)頂點(diǎn)及對邊的中點(diǎn)即可.

(3)三角形的高線：從三角形一個頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的限度叫做三角形的高線,

簡稱三角形的面.

注意：①三角形的三條高是線段

②畫三角形的高時，只需要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L線作垂線，連結(jié)頂點(diǎn)與垂足的線段就是該邊

上的高.

(二)三角形三邊關(guān)系定理

①三角形兩邊之和大于第三邊，故同時滿足4ABC三邊長a、b、c的不等式有：a+b>c,b+c>a,c+a>b.

②三角形兩邊之差小于第三邊，故同時滿足△ABC三邊長a、b、c的不等式有：a>b-c,b>a-c,c>b-a.

注意：判定這三條線段能否構(gòu)成一個三角形，只需看兩條較短的線段的長度之和是否大于第三條線

段即可

(三)三角形的穩(wěn)定性

三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個性質(zhì)就叫做三角形的穩(wěn)定性.例

如起重機(jī)的支架采用三角形構(gòu)造就是這個道理.

三角形內(nèi)角和性質(zhì)的推理方法有多種，常見的有以下幾種：

(四)三角形的內(nèi)角

結(jié)論1：三角形的內(nèi)角和為180。.表示：在aABC中，ZA+ZB+ZC=180°

（1）構(gòu)造平角

①可過A點(diǎn)作MN〃BC（如圖）

②可過一邊上任一點(diǎn)，作另兩邊的平行線（如圖）

（2）構(gòu)造鄰補(bǔ)角，可延長任一邊得鄰補(bǔ)角（如圖）

構(gòu)造同旁內(nèi)角，過任一頂點(diǎn)作射線平行于對邊1如圖）

結(jié)論2：在直角三角形中，兩個銳角互余.表示:/

如圖，在直角三角形ABC中，ZC=90°,那么NA+NB=90°/

（因?yàn)镹Ai/Bi/C=180°）/

注意：①在三角形中，兩個內(nèi)角可■以求出第三個內(nèi)角BZ-___Jc

如：在AABC中,ZC=180°-（ZA+ZB）

②在三角形中，三個內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角.

如：ZXABC中，NA：ZB：ZC=2：3：4,求NA、NB、NC的度數(shù).

（五）三角形的外角

1.意義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角.

如圖,NACI）為△ABC的一個外角，NBCE也是△ABC的一個外角，

這兩個角為對頂角，大小相等.\

2.性質(zhì)：/\

①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和./\：

②三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角./\旦

如圖中，NACD=NA+/B,ZACD>ZA,ZACD>ZB./~~

③三角形的一個外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)\

3.外角個數(shù)八'

過三角形的一個頂點(diǎn)有兩個外角，這兩個角為對頂角（相等），可見一個三角形共有六個外角.

（六）多邊形

①多邊形的對角線妁s條對角線

2

②n邊形的內(nèi)角和為（n-2）X18O0

③多邊形的外角和為360。

考點(diǎn)1

L對卜面每個三角形，過頂點(diǎn)A畫出中線，角平分線和高.

8.如圖，在AABC中，ZBAC=60（l,NB=45°,AD是的一條角平分線，則/DAC二,ZAI)B=

9.如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，則根據(jù)圖形填空：

(1)BE=；(2)ZBAD=二1⑶NAFB二

2,2

=90"；

8題9題

10.如圖在△ABC中，ZACB=90",CD是邊AB上的高。那么圖中與NA相等的角是（

A、ZBB、ZACDC、ZBCDD、ZBDC

H.在AABC中，ZA=-ZC=-ZABC,BD是角平分線，求NA及NBDC的度數(shù)（

22

12.,如圖，AB/7CD,AE平分N3AC,CE平分NACD,求NE的度數(shù)

13.如圖，在△ABC中，D,E分別是BC,AI）的中點(diǎn)，S&48cze77〉，求.

BDC

考點(diǎn)3

1.關(guān)于三角形的邊的表達(dá)正確佗選項(xiàng)是（）

A、三邊互不相等B、至少有兩邊相等C、任意兩邊之和一定大于第三邊D、最多有兩

邊相等

2.AABC+?ZA=20°,NB=NC,那么三角形△ABC是（）

A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、正三角形

3.下面說法正確的選項(xiàng)是個數(shù)有（）

①如果三角形三個內(nèi)角的比是1：2：3,那么這個三角形是直角三角形；②如果三角形的一個外

角等于與它相鄰的一個內(nèi)角，則這么三角形是直角三角形：③如果一個三角形的三條高的交點(diǎn)恰好

是三角形的一個頂點(diǎn)，那么這個三角形是直角三角形；④如果NA=NB=，NC,那么AABC是直角三

2

角形；⑤假設(shè)三角形的一個內(nèi)角等于另兩個內(nèi)角之差，那么這個三角形是直角三角形；⑥在AABC

中，假設(shè)/A+/B=/C,則此三角形是直角三角形。

A、3個B、4個C、5個D、5個

4.一個多邊形中，它的內(nèi)角最多可以有____個銳角、

5.如圖是一副三角尺拼成圖案，則NAEB=_______°.E口

iJC]

Y?Jr」

考點(diǎn)4°

1.以下每組數(shù)分別是三根小木棒的長度，用它們能擺成三角形的是（）

A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cm

C.13cm,12cm,20cmD.5cm,5cm,11cm

2.以下長度的三條線段能組成三角形的是()

A、3,4,8B、5,6,11C、1,2,3D、5,6,10

3.等腰三角形兩邊長分別為3,7,則它的周長為（）

A、13B、17C、13或】7I）、不能確定

（△ABC中，如果AB=8cm,BC=5cm,那么AC的取值范圍是.

5.長為11,8,6,4的四根木條，選其中三根組成三角形有種選法，它們分別是.

6.一個等腰三角形的兩條邊長分別為8cm和3cm,那么它的周長為

7.a,b,c是三角形的三邊長，化簡a-b+c|+1a-b-c|.

考點(diǎn)5

1.不是利用三角形穩(wěn)定性的是（）

A、自行車的三角形車架B、三角形房架C、照相機(jī)的三角架D、矩形門框的斜拉條

2.以以以下列圖形中具有穩(wěn)定性的有0

A、正方形B、長方形C、梯形D、直角三角形

3.裝飾大世界出售以下形狀的地磚：①正方形；?長方形；③正五邊形；④正六邊形。假設(shè)只選購

其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚有（）

A.①②③B.①②④C.②③④I）.①③④

4.以以以下列圖形中具有穩(wěn)定性有（）

口目□□區(qū)0

（2）

⑴⑶（4）（5）（6）

A、2個B、3個C、4個D、5個

5、如圖，一扇窗戶翻開后用窗鉤AB可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是（

A、三角形的穩(wěn)定性B、兩點(diǎn)確定一條直線

C、兩點(diǎn)之間線段最短D、垂線段最短

6.橋梁拉桿，電視塔底座，都是三角形構(gòu)造，這是利用三角形的性;

考點(diǎn)6

1.△ABC的三個內(nèi)角的度數(shù)之比NA：ZB：ZC=1：3：5,則NB=%ZC='

2.如圖，點(diǎn)P在AABC內(nèi)任一點(diǎn)，試說明NA與NP的大小關(guān)系

3如圖4,N1+N2+N3+N4等于多少度;

考點(diǎn)7

1、等腰三角形的一個外角是123°,則它是（）

A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等邊三角形D.等腰鈍角三角形

2、如果三角形的一個外角和與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和為180。，那么與這個外角相鄰的內(nèi)角的度

數(shù)為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

3、三角形的三個外角的度數(shù)比為2：3：4,則它的最大內(nèi)角的度數(shù)（

A.90。B.110°C.100°D.120°

4、如圖，以下說法錯誤的選項(xiàng)是（）

A、ZB>ZACD

B、ZB+ZACB=180°一/A

C、ZB+ZACB<180°

4題圖

D、ZHEC>ZB

5、假設(shè)一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個三角形是（）.

A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、無法確定

6、如圖，假設(shè)NA=10（）°,ZB=45°,ZC=38°,則NDFE等于（）

A.120°B.115°C.110°D.105°

7、如圖，Zl=.

6題圖

8、如圖，則,Z2=,Z3=,

9、等腰三角形的一個外角為150°,則它的底角為.

10、如圖，在AABC中，1）是BC邊上一點(diǎn)，N1=N2,N3=N4,NBAC=63°，求NDAC的度數(shù).

BDC

io題圖

考點(diǎn)8

1.一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，這個多邊形是（）

A、三角形B、四邊形C、五邊形I）、六邊形

2.一個多邊形內(nèi)角和是1080°,則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A、6B、7C、8I）、9

3.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，它是（）

A、四邊形B、五邊形C、六邊形D、八邊形

4、一個多邊形的邊數(shù)增加一倍，它的內(nèi)角和增加（）

A.180°B.360°C.（n-2）-180°D.n?180

5,假設(shè)一個多邊形的內(nèi)角和與外角和相加是1800°,則此多邊形是（）

A、八邊形B、十邊形C、十二邊形D、十四邊形

6、正方形每個內(nèi)角都是,每個外角都是.

7、多邊形的每一個內(nèi)角都等于150°,則從此多邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)引出的對角線有條。

8、六邊形共有條對角線，內(nèi)角和等于,每一個內(nèi)角等于o

9,內(nèi)角和是1620°的多邊形的邊數(shù)是

10、如果一個多邊形的每一外角都是24°,那么它是邊形。

11、將一個三角形截去一個角后，所形成的一個新的多邊形的內(nèi)角和。

12、一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之比是5：2,則這個多邊形的邊數(shù)為__。

13、一個多邊形截去一個角后,所得的新多邊形的內(nèi)角和為2520°,則原多邊形有一條邊。

14.一個十邊形中九個內(nèi)角的和的度數(shù)是1290°,那么這個十邊形的另一個內(nèi)角為度

15、.如圖，CD//AF,NCDE=NBAF,MBC,/比7>124°，/頌=80°.

1）觀察直線/出與直線施的位置關(guān)系，你能得出什么結(jié)論并說明理由；

⑵試求N?中的度數(shù).

16、閱讀材料，并填表：

在AABC中，有一點(diǎn)3,當(dāng)Pi,A,B,C沒有任何三點(diǎn)在同一條直線上時，可構(gòu)成三個不重疊的小三角形

（如圖（1））.當(dāng)△.4【￡內(nèi)的點(diǎn)的個數(shù)增加時，假設(shè)其他條件不變，二角形內(nèi)互不重疊的小二角形的個

完成下表

△ABC內(nèi)點(diǎn)的個數(shù)123???1002

構(gòu)成不重疊的小三角形的個數(shù)35???

考點(diǎn)9

1.以下正多邊中，能鋪滿地面的是0

A、正方形B、正五邊形C、等邊三角形D、正六邊形

2.以下正多邊形的組合中，能夠鋪滿地面的是（）

A、正六邊形和正三角形B、正三角形和正方形C、正八邊形和正方形D、正五邊形和正

八邊形

3.以下正多邊形的組合中，能夠鋪滿地面的是（）.

A.正六邊形和正三角形B.正三角形和正方形

C.正八邊形和正方形D.正五邊形和正八邊形

4.用正三角形和正十二邊形鑲嵌，可能情況有（）種.

A、1B、2C、3D、4

5.某裝飾公司出售以下形狀的地磚：①正方形；②長方形：③正五邊形；④正六邊形.假設(shè)只選購其

中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚共有（）種.

A、1B、2C、3D、4

6.小李家裝修地面，己有正三角形形狀的地磚，現(xiàn)打算購置另一種不同形狀的正多邊形地磚，與正

三角形地磚在同一頂點(diǎn)處作平面鑲嵌，則小李不應(yīng)購置的地磚形狀是（）

A、正方形B、正六邊形C、正八邊形D、正十二邊形

7.川正三角形和正四邊形作平面鑲嵌，在一個頂點(diǎn)周圍，可以有一個正三角形和一個正四邊形。

8

⑵第n個圖案中有白色地磚_______塊.

弟個第2個多3個

綜合10

1.如圖，在△ABC中，ZB,NC的平分線交于點(diǎn)0.

⑴假設(shè)NA=50°,求NB0C的度數(shù).

⑵設(shè)（n為數(shù)），求NB0C的度數(shù).

2.某零件如以以下列圖，圖紙要求NA=90°,NB=32°,ZC=21°,

當(dāng)檢驗(yàn)員量得NBDC=145°,就斷定這個零件不合格，

你能說出其中的道理嗎

3如圖，在4ABC中，AD_LBC,CE是ZiABC的角平分線,AD、CE交于F點(diǎn).當(dāng)NBAC=80°,ZB=400時,

求NACB、NAEC、NAFE的度數(shù).

BD

4.如圖，在直角三角形ABC中，ZACB=90°，CD是AB邊上的高，AB=13cm,BC=12cm,AC=5cm,求：⑴

△ABC的面枳；(2)CD的長;

(3)作出的邊AC上的中線BE,并求出AABE的面積；

(4)作出Z\BCD的邊BC邊上的高DF,當(dāng)BD=llcm時，試求出DF的長。

5.在△48C中，ZABC=66°，NAC8=54°,3E是AC上的高，C”是43上的高，〃是3E和C尸

的交點(diǎn)，求NABE、NAC廠和NBHC的度數(shù).

6.如以以下列圖，在AABC中，ZB=ZC,NBAD=40°,并且/ADE;ZAED,求NCDE的度數(shù).

7.如圖：AB〃CD,直線,交AB、CD分別于點(diǎn)E、F,點(diǎn)M在EF上，N是直線CD上的一個動點(diǎn)(點(diǎn)N

不與F重合)

(1)當(dāng)點(diǎn)N在射線FC上運(yùn)動時，乙網(wǎng)MMMFNM=乙4即，

說明理由

12)當(dāng)點(diǎn)N在射線FD上運(yùn)動時，+&NM與乙i所有

什么關(guān)系并說明理由.

8.圖1-4-27,在4ABC中，AB=AC,NA=40°,NABC的平分線BD交AC于D.求：NADB和/CDB的

度數(shù).

9.：如圖5—130,在△ABC中，ZACB=90°,CD為高,CE平分NBCD,且NACD：ZBCD=1：2,那

么CE是AB邊上的中線對嗎？說明理由.

10.：如圖5—131,在△ABC中有D、E兩點(diǎn)，求證：BD+DE+ECVAB+AC.

11.如圖18,AB/7CD,AD#BC,NA的2倍與NC的3倍互補(bǔ)，BE平分NABC,求/A,NDEB的度

數(shù)

BC

12.如圖19,,ZC=ZDAE,ZB=ZD,那么AB與DF平行嗎為葉么

13.如圖，AD為△ABC的中線，BE為aABD的中線.

(1)ZABE=15°,ZBAD=40°,求NBED的度數(shù);

(2)在aBED中作BD邊上的高；

(3)假設(shè)△設(shè)C的面積為40,BD=5,則點(diǎn)E到BC邊的距離

為多少

14.閱讀材料：多邊形上或內(nèi)部的一點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線，將多邊形分割成假設(shè)干個小三角形。

圖(")給出了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個、3個、4個小三角形。請你按

照上述方法將圖(-)中的六邊形進(jìn)展分割，并寫出得到的小三角形的個數(shù)以及求出每個圖形中的

六邊形的內(nèi)角和.試把這一結(jié)論推廣至〃邊形，并推導(dǎo)出n邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式。

15.探究規(guī)律：如圖，直線〃？〃〃，A、B為直線〃上的兩點(diǎn)，C、P為直線加上的兩點(diǎn)。

(1)請寫出圖中面積相等的各對三角形：。

(2)如果A、B、C為三個定點(diǎn)，點(diǎn)P在〃，上移動，那么無論P(yáng)點(diǎn)移動到任何位置總有:

與AABC的面積相等；

ABn

八年級數(shù)學(xué)三角形單元測試題

一.選擇題

1.以下長度的三條線段中，能組成三角形的是)

A、3cm,5cm,8cm8cm,8cm,18cm

C、0.1cm,0.1cm,0.1cmD、3cm,40cm,8cm

2.假設(shè)三角形兩邊長分別是4、5,則周長c的范圍是（)

A.l<c<9B.9<c<14C.10<c<18D.無法確定

3.假設(shè)一個三角形的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，其周長加滿足10<〃?<22,則這

樣的三角形有（)

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.一個多邊形內(nèi)角和是10800,則這個多邊形的邊數(shù)為)

A、6B、7C、8D、9

5.,如圖，AB/7CD,NA=70°,NB=40°,則NACD=()

A、55°B、70°C、40°D、110°

6.如以以下列圖，^ABC為直角三角形，NB二90。，假設(shè)沿圖中虛線剪去NB,則N1+

/2等于（）

A、90°B、135°C、270°D、315°

7.如以以下列圖，在aABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于,

點(diǎn)P,假設(shè)NA=500,則NBPC等于（)

A、90°B、130°C、270°D、315°

8.如圖，點(diǎn)0是aABC內(nèi)一點(diǎn),NA=80°,"15°，

Z2=40°,則NB0C等于（)

A.95°B.120°C.135°D.無法確定

第8題圖

9.在aABC中，D,E分別為BC上兩點(diǎn)，且BD二DE二EC,則圖中面積相等的三角形有()

10.能把一個任意三角形分成面積相等的兩局部是()

A.角平分線B.中線C.高D.A、8、C都可以

11.一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為2:3:7,這個三角形一定是1)

A.直角三角形B.等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

12.如圖四個圖形中，線段8E是△ABC的高的圖是()

13.三角形的一個外角是銳角，則此三角形的形狀是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.無法確定

二、選擇題

1.銳角三角形的三條高都在，鈍角三角形有條高在三角形外，直

角三角形有兩條高恰是它的o

2.假設(shè)等腰三角形的兩邊長分別為3cm和8cm,則它的周長是。

3.要使六邊形木架不變形，至少要再釘上根木條。

4.在4ABC中，假設(shè)NA=NC=1NB,則NA二

NB二,這個三角形

3-----------

是O

5.如圖2,在△ABC中，ADJLBC于點(diǎn)D,BE=ED二DC,

Z1=Z2,則

①AD是aABC的邊上的高，也是的BEDC

圖2

邊BD上的高，還是AABE的邊上的高；

②AD既是的邊上的中線，又是

邊上的高，還是的角平分線。

6.假設(shè)三角形的兩條邊長分別為6cm和8cm,且第三邊的邊長為偶數(shù)，則第三邊長

為o

7.a^b、c是三角形的三邊長，化簡：a—b+c|4-1a—b-c|=?

8.等腰三角形的兩邊的長分別為2cm和7cm,則三角形的周長是.

9.在以下條件中：①NA+NB=NC,②NA:ZB:ZC=1：2：3,③NA=90°-ZB,④

ZA=ZB=ZC中，能確定是直角三角形的條件有

10.如圖，N1+N2+N3+N4的值為

11.如圖，假設(shè)/A=70°,ZABD=120°,則NACE=

第11題圖

12.如圖，AB〃CD,ZBAE=ZDCE=45°,則NE二

三、解答以下各題

1.如圖直線AD和BC相交于0,AB〃CD,ZA0C=95°,ZB=50°,求NA和ND。（7分）

2.如圖,ZkABC中,NA=40°,NB=72°,CE平分NAC3,

CD1AB于D,DF1CE于F,求NCDF的度數(shù)。

3.如圖在△ABC,AD是高線，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O,ZBAC=50c,Z

C=70°,求/DAC與NBOAlK度數(shù)。

4如圖，△ABC中，BD是NABC的角平分線，DEIIBC,交AB于E,ZA=60°,ZBDC

=95°,求^BDE各內(nèi)角的度數(shù).

5.如圖，在△ABC中，ZC=90°,外角NEAB,NABF的平分線AD、BD相交于點(diǎn)D,求

ZD的度數(shù).

6.如圖9：N4C0是8c的外角，8E平行N48C,CE平分/AC。，且8E、CE交于點(diǎn)E。

求證：（1）Z￡=—Z.A.

2

第十二講全等三角形

12.1仝等三角形

12.2三角形全等的判定

閱讀與思考全等與全等三角形

12.3角的平分線的性質(zhì)

教學(xué)活動

小結(jié)

復(fù)習(xí)題11

【知識精要】

1、能夠的兩個三角形叫做全等三角形。互相重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，互

相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。用符號“0"表示全等。

2、全等三角形的性質(zhì)：相等、相等、相等、相等。

3、全等三角形的判定：

①邊邊邊(SSS)_____________________________________________________________________

②邊角邊(SAS)_____________________________________________________________________

③角邊角(ASA)_____________________________________________________________________

④角角邊(AAS)_____________________________________________________________________

⑤斜邊直角邊(HL)___________________________________________________________________

4、角平分線的做法

⑴以。為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N；

(2)分別以M、N為圓心，以大于‘MN的長為半徑作弧，

2

在NAOB的內(nèi)部兩弧交于點(diǎn)C；

(3)過0、C兩點(diǎn)作射線0C,則射線0C就是所求的角的平分

線。

作圖依據(jù)：構(gòu)造△OMCgZXONC(SSS)

5角平分線的性質(zhì)：

___________________________________________________________。即角平分線f距離相

笠

6、角平分線的判定：o

即距離相等一角平?分線

【方法破譯】

1.證明兩個三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個三角形滿足判定方法中的三個條件，具體分

析步驟是先找出兩個三角形中相等的邊或角，在根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明

哪些相等的邊或角，在設(shè)法對它們進(jìn)展證明：

2.證明兩個三角形全等，根據(jù)條件，有時能直接進(jìn)展證明，有時要證的兩個三角形并不全

等，這是需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移，翻轉(zhuǎn)，

旋轉(zhuǎn)，等倍延長中線，截取等等.

3.有角平分線時通常通過以下幾種情況構(gòu)造全等「角形。

【例1】如圖，AB〃EF〃CD,N.ABC=90°,AB=CD.那么圖中有全等三角形（）

A.5對B.4對C.3對1）.2對

【變式題組】

1.以下判斷中錯誤的選項(xiàng)是（）

A.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

B.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

D.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等

【例2】如圖，AB=DC,AE=DF,CE=FB,

求證：AF=DEo

【變式題組】

1.如圖，AD、BE是銳角AABC的高，相交于點(diǎn)0,假設(shè)B0=

AC,BC=7,CD=2,則A0的長

為（）

A.2B.3C.4D.5

（第1題圖）（第2題圖）

[第3題圖）

2.如圖，在4ABC中,AB=AC,ZBAC=90°,AE是過A點(diǎn)的一條直

線，AE1CE于E,BD1AE于D,DE=4cm,CE=2cm,則BD=]）.

3.:如上圖，在aABC中,NACB=90°,CD_LAB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上,CE=BC,

過E點(diǎn)作AC的垂線，交CC的延長線于點(diǎn)F,求證:AB=FC.

例3.如圖①，Z\ABCgZWEF,將^ABC和4DEF的頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)E重合，把ADEF繞點(diǎn)B

順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點(diǎn)0.

⑴當(dāng)4DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點(diǎn)B（E）,C,D在同一條直線上時,NAFD與NDCA的數(shù)量關(guān)系

是

⑵當(dāng)4DEF旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，⑴中的結(jié)論成立嗎?請說明理由.

圖①圖②圖③

【變式題組】

1.如圖,D,E分別為4ABC的AC,BC邊上的中點(diǎn),將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的

點(diǎn)P處，假設(shè)NCDE=48°,則NPAD等于（）A.42°B.48°C.52°D.58°

2.如圖,RtAABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到ADEF,以下結(jié)論中錯誤的選項(xiàng)是（）

A.AABC^ADEFB.ZDEF=90°C.AC=DFD.EC=CF

第1題圖第2題圖第3題圖

3.一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如以以

以下列圖形式，使點(diǎn)B,F,C,D,在同一直線上.

⑴求證：AB1ED：

⑵假設(shè)PB=BC,找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并證明.

【例4】，如圖，BD,CE分別是AABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP=AC,

點(diǎn)Q在CE上，CQ=AB,求證：⑴AP=AQ；②AP_LAQ.

A

【例5】如圖，0D平分NAOB,在OA,0B邊上截取OA=OB,PM±BD,PN±AD.木

求證：PM=PN.

【變式題組】//二

1.如圖,CP,BP分別平分4ABC的外角/BCM/CBN.求證:點(diǎn)P在NBAC的平//

分線匕------

2.如圖,BD平分NABC,AB=BC,點(diǎn)P是BD延長線上的一點(diǎn),PM_LAD,PNJ_CD.求證:PM=PN.

☆［例6］如圖，在AARC中,NBAC=90°,AB=AC,BE平分/

ABQCE1BE.求證:CE=；BD

☆［變式題］

如圖，在4ABC中,NB=60’，AD,CE分別是NBAC,NBCA的平

分線,AD,CE相交于點(diǎn)F.

C⑴請你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

（2）求證:AE+CD=AC.

【根基演練】

一、選擇題

1.以下說法錯誤的選項(xiàng)是（）AN

A.全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊B.全等三角形兩對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角

C.如果兩個三角形都與另一個三角形全等，那么這兩個三角形也全等

D.等邊三角形都全等

2.在/ABC和/ABC中，AB=ABz,NA=NA'，假設(shè)證2ABeg2ABC還要從以下條件中補(bǔ)選

一個，錯誤的選法是0A.ZB=ZBB.ZC=ZCC.BC=BCD.AC=AC

3.以下各組條件中，不能判定△ABCZ/\ABC’的一組是（）

A、ZA=ZA,ZB=ZB,AB=ABB、ZA=ZA,AB=AB,AC=AC

C、ZA=ZA,AB=AB\BC=BCD、AB=AB,AC=AC,BC=BC

4.如圖/J、明把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,

那么最省事的方法是（）

A.帶①去B.帶②去C.帶③去D.帶①和②去

5.如圖.從以下四個條件：①8c=&C,②4C=AC,

③N4C4=N6CB,④43=46中，任取三個為條件，余下的一個夕

為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成正確的結(jié)論的個數(shù)是（）\

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.有以下條件：①一銳角與一邊對應(yīng)相等；②兩邊對應(yīng)相等：

③兩銳角對應(yīng)相等。其中能判斷兩直角三角形全等的是（）

A.①B②C③DQ?

7.如以以下列圖，在RtAABC中，AD是斜邊.上的高，/ABC的平分線分別

交AD、AC于點(diǎn)F、E,EG1.BC于G,以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）

A.ZC=ZABCB.BA=BGC.AE=CED.AF=FD

8.如果兩個三角形的兩邊和其中一邊上的高分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形

DG

的第三邊所對的角（）A、相等B、不相等C、互余D、互補(bǔ)或相等

9.以下命題中：⑴形狀一樣的兩個三角形是全等形：⑵在兩個三角形中，相等的角是對應(yīng)

角，相等的邊是對應(yīng)邊；⑶全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角平分線分別相等，其中

真命題的個數(shù)有（從、3個入2個C、1個D、0個

10.如圖，MBC的三邊八8、8C、G4長分別是20、30、40,其三條角平分線將AABC分為

三個三角形，則5皿。：SABC。：SACA。等于（）

A.1：1：1B,1：2：3C.2：3：4D.3：4：5

11.兩個三角形只有以下元素對應(yīng)相等，不能判定兩個三角形全等的是

（）A.兩角和一邊B.兩邊及夾角C.三個角D,三條邊

12.以下說法不正確的選項(xiàng)是)

A.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等;

B.?條邊和?個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

C.有兩個角和一條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

D.有兩條邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

13.以下命題中正確的選項(xiàng)是（）

A.全等三角形的高相等B.全等三角形的中線相等

C.全等三角形的角平分線相等D.全等三角形對應(yīng)角的平分線相等

14.以下各條件中，不能作出惟一三角形的是0

A.兩邊和夾角B.兩角和夾邊C.兩邊和其中一邊的對角D.三邊

15.以下說法中:①如果兩個三角形可以依據(jù)“AAS”來判定全等，那么一定也可以依據(jù)“ASA"

來判定它們?nèi)?；②如果兩個三角形都和第三個三角形不全等，那么這兩

個三角形也?定不全等；③要判斷兩個三角形全等，給出的條件中至少要

有一對邊對應(yīng)相等.正確的選項(xiàng)是（）A.①和②B.②和③C.①

和③D.@@?

16.如圖16,4。是△/出C的中線，E,F分別是4。和4。延長線上的點(diǎn)，且DE=DF,

連結(jié)BF,CE.以下說法：①CE=8F；②△AB。和△47。面積相等；③BF//CE；?ABDF^A

CDE.其中正確的有（）A.1個B.2個C.3個D.4個

17.直角三角形斜邊上的中線把直角三角形分成的兩個三角形的關(guān)系是（）A.形狀一

樣B.周長相等C.面積相等D.全等

18.如圖，AD=AE,BD=CE,ZADB=ZAEC=100°,ZBAE=70°,以下結(jié)論錯誤的

選項(xiàng)是（）A

A./\ABE^/\ACDB.AABD^AACE

C.ZDAE=^0°D.ZC=30°\

19.如圖,4ABC中,AB=AC.AD平分NBAC,DE_LAB,B』--------異-------

DFJ_AC,垂足分別是E,F,則以下結(jié)論中:①AD上任意一圖18

點(diǎn)至ljB,C的距離相等;②AD上任意一點(diǎn)到AB,AC的距離相等;③AD_LBC且BD=CD;?ZBDE=Z

CDF.其中正確的選項(xiàng)是（）.

A.②③B.②④C.②③④D.①?③④

20.如圖，在RtZXABC中,NACB=90。,ZCBA=30i＞，/ACB的平分線與NABC的外角平分線交與

E點(diǎn)，則NAEB的度數(shù)為（）.A.50°B.45°C.40°D.35°

21.如圖,P是ZkABC內(nèi)一點(diǎn),PDJ_AB于D,PE±BC于E,PF1AC于F,且PD=PE=PF,給出以下結(jié)論:

①AD二AF;②AB+ELAC+BE;③BC+CF=AB+AF;④點(diǎn)P是4ABC二條角平分線的交點(diǎn).其中正確的

序號是（）

A.①②③④B.①@@C.①②④D.②③④

第19題圖第20題圖A第

21題圖

二、填空題

1.,如圖：NABC=NI）EF,AB二DE,要說明AABCgADEF

⑴假設(shè)以“SAS'為依據(jù)，還要添加的條件為B

（2）假設(shè)以“ASA”為，衣?lián)?，還要添加的條件為；

2.如圖:AE〃BF,NE=NF,要使△ADE^^BCF,可添加的條件是________。

3.如圖，E點(diǎn)為△ABC的邊AC中點(diǎn)，CN〃AB,過E點(diǎn)作直線交AB與M點(diǎn)，交CN于N點(diǎn)，假

設(shè)MB=6cm,CN=4cm,則AB二_______。EN「

4.期以鼻下列圖：要測量河岸相對的兩盧7之間的距離，先從口'啊發(fā)與＜8成90°

角碉狀冰&50米到C處立一根標(biāo)楮，/然畤向I變繼續(xù)朝前走!升狗D處D處

90“沿僚》段17米,到i大￡處＜撤4.￡占歹淪同一直線匕那么血得A、B白冰離為

Ba粽cCuF/A

5.正火1顆圖扎AC、BD交于02題圖］

則SABEF為

6.如以以下列圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，假設(shè)AB二2,

AC=4,則AD的取值范圍是

7.在△48C中，ZC=90°,8C=4CM,N84：的平分線交8c于。，且8。：OC=5：3,則。到

AB的距離為,

8.如圖,RtZ\ABC中,NC=90°,DE1AB于D,BC=BD.假設(shè)AC=3,那么AE+DE=.

9.①如圖,BAJ_AC,CD〃AB,BC=DE,且BC_LDE,假設(shè)AB=2,CD=6,則AE=________.

第9題圖口

第10題①圖/K//

如圖。，么儀DC,求證：Z1=Z2.

第10題②圖

②.如圖，BQ是NABC的內(nèi)角平分線，CQ是NACB的外用平分線，由Q出發(fā)，作點(diǎn)Q到BC

、AC和AB的垂線QM、QN和QK,垂足分別為M、N、K,則QM、QN、QK的關(guān)系是

三、解答題

11.AC=FE,BC=DE,點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，要使A\BC絲ZXFDE,應(yīng)增加什么條件并根

據(jù)你所增加的條件證明：AABC^△FDEo

即*AI)=BC,0為BI)上任意一點(diǎn)，過0點(diǎn)的直線分別交AD,BC于M、N點(diǎn).

AB

求證:口)

2AM

13.姐山D

F?AB=1)E,B、E、C、F,在同一直線上,

11題D