熱點1 新定義問題-中考數(shù)學熱點考點訓練(含答案)

熱點一新定義問題——中考數(shù)學熱點考點訓練熱點趨勢解讀新定義問題是已學過的知識為出發(fā)點，通過類比、引申、拓展等方式引入新的數(shù)學概念或新的數(shù)學運算，這類問題旨在讓學生將這些“新知識”與已學知識聯(lián)系起來，正確理解其內容、思想和方法，把握其本質，通過類比、猜想、遷移來應用“新知識”解決問題.新定義問題是中考的熱點問題之一，旨在培養(yǎng)學生的自主學習能力與主動探究能力.此類問題要求學生能夠現(xiàn)學現(xiàn)用、理解新知，不僅考查學生的閱讀理解能力，而且多角度地考查學生的應變能力.1.定義關于任意正整數(shù)m,n的一種新運算：.例如,規(guī)定,則,.若規(guī)定,則()A. B. C. D.2.對于實數(shù)a、b,定義一種新運算“”為：,這里等式右邊是實數(shù)運算.例如：.則方程的解是()A. B. C. D.3.如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含1，不含它本身）的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù).例如：6的真因數(shù)是1，2，3，且，則稱6為完美數(shù).下列數(shù)中為完美數(shù)的是()A.8 B.18 C.28 D.324.在平面直角坐標系中,點和圖形W在第一象限內,過點P作x軸和y軸的垂線、垂足分別為M,N,若圖形W中的任意一點滿足且.則稱四邊形是圖形W的一個覆蓋,P為這個覆蓋的特征點.如：如圖,,,,,四邊形是線段的一個覆蓋,P為這個覆蓋的特征點.若在直線上存在圖中的覆蓋的特征點,則m的值可以是()A. B. C. D.5.定義：在平面直角坐標系中,將一個圖形先向上平移個單位,再繞原點按逆時針方向旋轉角度,這樣的圖形運動叫做圖形的變換.如：點按照變換后得到點的坐標為,則點按照變換后得到點的坐標為()A. B. C. D.6.在平面直角坐標系中,給出如下定義：P為圖形M上任意一點,如果點P到直線的距離等于圖形M上任意兩點距離的最大值時,那么點P稱為直線的“伴隨點”.例如：如圖1,已知點,,在線段上,則點P是直線軸的“伴隨點”.如圖,x軸上方有一等邊三角形,軸,頂點A在y軸上且在上方,,點P是上一點,且點P是直線軸的“伴隨點”,當點P到x軸的距離最小時,則等邊三角形的邊長為()A.3 B.2 C.4 D.7.在平面直角坐標系中,若點P的橫坐標和縱坐標相等或互為相反數(shù),則稱點P為“美麗點”.例如點,,,,都是“美麗點”.已知二次函數(shù)的圖象上只有三個“美麗點”,其中一個“美麗點”是,當時,函數(shù),的最小值為,最大值為2,求m的取值范圍為()A. B. C. D.8.定義：若點C把線段分成兩部分,且滿足較長線段是較短線段的倍,則稱點C為線段的青銅分割點.已知點C是線段的青銅分割點,且,則______.9.萊洛三角形廣泛應用于建筑,工業(yè),包裝等方面,某數(shù)學興趣小組在學習了萊洛三角形的知識后獲得靈感,設計了如圖2的美麗圖形,愛思考的小聰提出以下問題：如圖3,正五邊形的邊長為5,分別以A和E為圓心,5為半徑作和交于點P,此時陰影部分的周長為______.10.對于一個四位自然數(shù)M,若它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6,百位數(shù)字比十位數(shù)字多2,則稱M為“天真數(shù)”.如：四位數(shù)7311,∵,,∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421,∵,∴8421不是“天真數(shù)”,則最小的“天真數(shù)”為______；一個“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a,百位數(shù)字為b,十位數(shù)字為c,個位數(shù)字為d,記,,若能被10整除,則滿足條件的M的最大值為______.11.如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根,且其中一個根是另一個根的3倍,那么稱這樣的方程為“三倍根方程”.例如,方程的兩個根是1和3,則這個方程就是“三倍根方程”.(1)下列方程是三倍根方程的是___________；①②③(2)若關于x的方程是“三倍根方程”,則c=___________；(3)若是關于x的“三倍根方程”,求代數(shù)式的值.12.對于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)p,當其自變量的值為p時,其函數(shù)值等于p,則稱p為這個函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時,該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數(shù)的不變長度.特別地,當函數(shù)只有一個不變值時,其不變長度q為零.例如,如圖中的函數(shù)有0,1兩個不變值,其不變長度q等于1.(1)分別判斷函數(shù),,有沒有不變值？如果有,直接寫出其不變長度；(2)函數(shù).①若其不變長度為零,求b的值；②若,求其不變長度q的取值范圍.13.新定義：在平面直角坐標系中,對于任意兩點,,若點,滿足,,那么稱點T是點A,B的“合作點”,例如：,,當點滿足,時,則點是點A,B的“合作點”.(1)已知點,,點T是點A,B的“合作點”,求出點T的坐標；(2)若點是拋物線上一動點,點,點是點A,B的“合作點”,試求出T中y關于x的函數(shù)表達式；(3)把(2)中y關于x的函數(shù)表達式向上平移3個單位得到新函數(shù),設新函數(shù)與平面直角坐標系中的y軸交于點C,點P是新函數(shù)圖像上一動點,它的橫坐標為m.過點P作軸于點M,當點P與點M都不與點C重合時,以,為邊作矩形,設矩形的周長為l.①求l與m的函數(shù)解析式；②若對于l的每一個取值,都有兩個m的值與它對應,直接寫出l的取值范圍.

答案以及解析1.答案：D解析：∵由新運算,可知,則,∴.故選：D.2.答案：C解析：根據(jù)題中的新定義化簡得：,去分母得：,去括號得：,移項得：,解得：,經(jīng)檢驗是分式方程的解,故選：C.3.答案：C解析：8的真因數(shù)是1，2，4，，故8不是完美數(shù)；18的真因數(shù)是1，2，3，6，9，，故18不是完美數(shù)；28的真因數(shù)是1，2，4，7，14，，故28是完美數(shù)；32的真因數(shù)是1，2，4，8，16，，故32不是完美數(shù).故選C.4.答案：A解析：設,當P為線段的覆蓋的特征點時,則,解得；當P為線段的覆蓋的特征點時,則,解得,綜上所述,當時,P為的覆蓋的特征點,∴選項A符合題意,故選：A.5.答案：A解析：依題意,點向上平移2個單位為,如圖所示：∵∴,∵點按照變換后得到點的坐標,∴,過作軸,在中,,則∴的坐標為,故選：A.6.答案：B解析：當P到x軸的距離最小時,∴點P在線段上,設的邊長為a,以C為圓心a為半徑作圓,當與x軸相切時,如圖所示,切點為H,此時點P是直線：x軸的“伴隨點”.且點P到x軸的距離最小,則C的縱坐標為a,即,∵是等邊三角形,且軸,設交于點D,則,∴,∴,∵,∴,解得：或(舍去),∴等邊三角形的邊長為2；故選：B.7.答案：C解析：一個“美麗點”是,,,的圖象上只有三個“美麗點”,對應的一元二次方程必有一個有兩個相等的實數(shù)根,當時,有,,化簡得：,,此方程無解,當時,有,,化簡得：,,,,原二次函數(shù)為,,,當時,二次函數(shù)有最大值為2,當時,,關于拋物線的對稱軸直線的對稱點為,當時,函數(shù),的最小值為,最大值為2,的取值范圍為：.故選：C.8.答案：或解析：分兩種情況考慮,①當時,>根據(jù)題意設,則,∵∴解得即②當時,同理可得.9.答案：解析：連接,,由作圖可得,,∴,∴是等邊三角形,∴,∴,,∴陰影部分的周長為.故答案為：.10.答案：6200；9313解析：求最小的"天真數(shù)",首先知道最小的自然數(shù)的0,先看它的千位數(shù)字比個位數(shù)字多6,個位數(shù)為最小的自然數(shù)0時,千位數(shù)為6;百位數(shù)字比十位數(shù)字多2,十位數(shù)為最小的自然數(shù)0時.百位數(shù)是2;則最小的"天真數(shù)"為6200.故答案為:6200.一個"天真數(shù)"M的千位數(shù)字為a,百位數(shù)字為b,十位數(shù)字為c,個位數(shù)字為d.由"天真數(shù)"的定義得,所以,,所以,又若能被10整除當a取最大值9時,即當時,滿足能被10整除,則,"天真數(shù)"M為9313.故答案為:9313.11.答案：(1)③(2)(3)解析：(1)由可得：,,不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：,,不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：,,滿足“三倍根方程”的定義；故答案為③；(2)設關于x的方程的兩個根為,,由一元二次方程根與系數(shù)的關系可知：,,令,則有,∴,,∴；(3)由可得：,∴,,令,則有：.12.答案：(1)函數(shù)沒有不變值；函數(shù)不變值為,；函數(shù)的不變值為1或0,(2)①；②解析：(1)函數(shù),令,則,無解；函數(shù)沒有不變值；函數(shù),令,則,解得：,函數(shù)的不變值為,,函數(shù),令,則,解得：,,函數(shù)的不變值為1或0,；(2)(2)①函數(shù),令,則,整理得：,,且,則,解得：；②由①知：,或,解得：,,,,,.13.答案：(1)(2)(3)①；②或解析：(1)設,∵,,點T是點A,B的“合作點”,∴,,∴；(2)∵點是拋物線上一動點,∴,即,∵點是點A,