2026版《優(yōu)化設(shè)計(jì)大一輪》高考數(shù)學(xué)（優(yōu)化設(shè)計(jì)新高考版）第3節(jié)空間直線(xiàn)、平面的平行

第3節(jié)空間直線(xiàn)、平面的平行高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.理解空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行關(guān)系.2.掌握空間中線(xiàn)面平行的有關(guān)性質(zhì)和判定定理.3.能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理1.線(xiàn)面平行的判定定理和性質(zhì)定理

定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果平面外一條直線(xiàn)與

的一條直線(xiàn)平行,那么該直線(xiàn)與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行”)

a?α,b?α,且a∥b?a∥α“內(nèi)”“外”“平行”三個(gè)條件缺一不可性質(zhì)定理一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行,如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面

,那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行”)

a∥α,a?β,且α∩β=b?a∥b此平面內(nèi)相交微思考一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行,那么它與平面內(nèi)的所有直線(xiàn)都平行嗎?提示

不都平行.該平面內(nèi)的直線(xiàn)有兩類(lèi):一類(lèi)與該直線(xiàn)平行,另一類(lèi)與該直線(xiàn)異面.誤區(qū)警示

在推證線(xiàn)面平行時(shí),一定要強(qiáng)調(diào)直線(xiàn)a不在平面α內(nèi),直線(xiàn)b在平面α內(nèi),且a∥b,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條

與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行

“相交”條件不可缺少

a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么

平行

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b相交直線(xiàn)兩條交線(xiàn)[教材知識(shí)深化]判定兩個(gè)平面平行與判定線(xiàn)面平行一樣,應(yīng)遵循“先找后作”的原則,即先在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條與另一個(gè)平面平行的相交直線(xiàn),若找不到再作輔助線(xiàn).微思考一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行嗎?提示

平行.可以轉(zhuǎn)化為面面平行的判定定理“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行”.所以這個(gè)結(jié)論可以直接應(yīng)用,稱(chēng)為面面平行判定定理的推論.[教材知識(shí)深化]1.兩個(gè)平面平行,其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面.2.夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線(xiàn)段長(zhǎng)度相等.3.經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.4.兩條直線(xiàn)被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例.5.同一條直線(xiàn)與兩個(gè)平行平面所成角相等.6.如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面互相平行.7.垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行.自主診斷一、基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若直線(xiàn)a與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行,則a∥α.(

)(2)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.(

)(3)如果兩個(gè)平面平行,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行.(

)(4)一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.(

)××××2.(人教A版必修第二冊(cè)8.5.3節(jié)練習(xí)第2題)平面α與平面β平行的充分條件可以是(

)A.α內(nèi)有無(wú)窮多條直線(xiàn)都與β平行B.直線(xiàn)a∥α,a∥β,且直線(xiàn)a不在α內(nèi),也不在β內(nèi)C.直線(xiàn)a?α,直線(xiàn)b?β,且a∥β,b∥αD.α內(nèi)的任何一條直線(xiàn)都與β平行D解析

A不正確,如果這無(wú)窮多條直線(xiàn)平行,平面α與平面β可能相交;B不正確,當(dāng)平面α與平面β相交時(shí),若直線(xiàn)a與交線(xiàn)平行,則滿(mǎn)足條件;C不正確,當(dāng)直線(xiàn)a與直線(xiàn)b平行時(shí),兩個(gè)平面可能相交;D顯然正確.3.(北師版必修第二冊(cè)習(xí)題6-4A組第2(3)題改編)如圖,平面α∥平面β,PA=6,AB=2,BD=12,則AC=

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二、連線(xiàn)高考4.(2011·福建,文15)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度等于

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研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì)(多考向探究預(yù)測(cè))考向1

直線(xiàn)與平面平行的判定例1如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,點(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn).證明:AF∥平面BCE.

(方法二:線(xiàn)面平行判定定理)如圖,在平面ABCD內(nèi),分別延長(zhǎng)CB,DA,交于點(diǎn)N,連接EN.因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,所以A為DN的中點(diǎn).又F為DE的中點(diǎn),所以AF∥EN.因?yàn)镋N?平面BCE,AF?平面BCE,所以AF∥平面BCE.(方法三:面面平行的性質(zhì))如圖,取棱CD的中點(diǎn)G,連接AG,GF,因?yàn)辄c(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn),所以FG∥CE.因?yàn)镕G?平面BCE,CE?平面BCE,所以FG∥平面BCE.因?yàn)锳B∥CD,AB=CG=2,所以四邊形ABCG是平行四邊形,所以AG∥BC.因?yàn)锳G?平面BCE,BC?平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG?平面AFG,AG?平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因?yàn)锳F?平面AFG,所以AF∥平面BCE.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](2024·廣西賀州模擬)在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,E,F分別為棱PC,AB的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面PAD;(2)設(shè)平面PAD∩平面PBC=l,求證:l∥平面ABCD.

考向2

直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)例2如圖,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn).(1)求證:MA∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.(1)證明

如圖所示,記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE.因?yàn)镺,M分別是AC,EF的中點(diǎn),四邊形ACEF是矩形,所以EM∥OA,EM=OA,所以四邊形AOEM是平行四邊形,所以AM∥OE.又因?yàn)镺E?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)解

l∥m,證明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM?平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,同理m∥AM,所以l∥m.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]如圖,已知E,F分別是菱形ABCD的邊BC,CD的中點(diǎn),EF與AC交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在平面ABCD外,M是線(xiàn)段PA上一動(dòng)點(diǎn),若PC∥平面MEF,試確定點(diǎn)M的位置.

考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn).求證:(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明

(1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),∴GH是△A1B1C1的中位線(xiàn),∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點(diǎn)共面.(2)∵E,F分別是AB,AC的中點(diǎn),∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分別為A1B1,AB的中點(diǎn),A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB,A1G=EB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.又A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF=E,A1E,EF?平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.變式探究1在本例中,若將條件“E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1,D分別為B1C1,BC的中點(diǎn)”,求證:平面A1BD1∥平面AC1D.證明

如圖,連接A1C,AC1,交于點(diǎn)M.∵四邊形A1ACC1是平行四邊形,∴M是A1C的中點(diǎn).連接MD,∵D為BC的中點(diǎn),∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1,DM?平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知,D1C1∥BD且D1C1=BD,∴四邊形BDC1D1為平行四邊形,∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1,BD1?平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM=D,DC1,DM?平面AC1D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.

考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

(3)解

線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)N,使得MN∥平面PAB,理由如下:取AD中點(diǎn)N,連接CN,EN.因?yàn)镋,N分別為PD,AD的中點(diǎn),所以EN∥PA.因?yàn)镋N?平面PAB,PA?平面PAB,所以EN∥平面PAB.由(2)知CE∥平面PAB,又CE∩EN=E,CE?平面CEN,EN?平面CEN,所以平面CEN∥平面PAB.又M是CE上的動(dòng)點(diǎn),MN?平面CEN,所以MN∥平面PAB,所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)N,使得MN∥平面PAB.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]如圖,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分別是線(xiàn)段AC,DF的中點(diǎn).(1)求證:GH∥平面BFC.(2)在線(xiàn)段CD上是否存在一點(diǎn)P,使得平面GHP∥平面BCF?若存在,指出點(diǎn)P的具體位置并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)證明

連接BD.∵四邊形ABCD為平行四邊形,G是AC的中點(diǎn),∴G也是線(xiàn)段BD的中點(diǎn),∴G,H分別是線(xiàn)段BD,DF的中點(diǎn),∴GH∥BF,又BF?平面BFC,GH?平面BFC,∴GH∥平面BFC.(