2026版《優(yōu)化設(shè)計大一輪》高考數(shù)學（優(yōu)化設(shè)計新高考版）第3節(jié)空間直線、平面的平行

第3節(jié)空間直線、平面的平行高考總復習優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎(chǔ)?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102課標解讀1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.2.掌握空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)和判定定理.3.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題.強基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與

的一條直線平行,那么該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)

a?α,b?α,且a∥b?a∥α“內(nèi)”“外”“平行”三個條件缺一不可性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面

,那么該直線與交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)

a∥α,a?β,且α∩β=b?a∥b此平面內(nèi)相交微思考一條直線與一個平面平行,那么它與平面內(nèi)的所有直線都平行嗎?提示

不都平行.該平面內(nèi)的直線有兩類:一類與該直線平行,另一類與該直線異面.誤區(qū)警示

在推證線面平行時,一定要強調(diào)直線a不在平面α內(nèi),直線b在平面α內(nèi),且a∥b,否則會出現(xiàn)錯誤.2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條

與另一個平面平行,那么這兩個平面平行

“相交”條件不可缺少

a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α性質(zhì)定理兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么

平行

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b相交直線兩條交線[教材知識深化]判定兩個平面平行與判定線面平行一樣,應(yīng)遵循“先找后作”的原則,即先在一個平面內(nèi)找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線.微思考一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別對應(yīng)平行,那么這兩個平面平行嗎?提示

平行.可以轉(zhuǎn)化為面面平行的判定定理“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行”.所以這個結(jié)論可以直接應(yīng)用,稱為面面平行判定定理的推論.[教材知識深化]1.兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.2.夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.3.經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.4.兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應(yīng)線段成比例.5.同一條直線與兩個平行平面所成角相等.6.如果兩個平面分別平行于第三個平面,那么這兩個平面互相平行.7.垂直于同一條直線的兩個平面平行.自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a∥α.(

)(2)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(

)(3)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行.(

)(4)一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(

)××××2.(人教A版必修第二冊8.5.3節(jié)練習第2題)平面α與平面β平行的充分條件可以是(

)A.α內(nèi)有無窮多條直線都與β平行B.直線a∥α,a∥β,且直線a不在α內(nèi),也不在β內(nèi)C.直線a?α,直線b?β,且a∥β,b∥αD.α內(nèi)的任何一條直線都與β平行D解析

A不正確,如果這無窮多條直線平行,平面α與平面β可能相交;B不正確,當平面α與平面β相交時,若直線a與交線平行,則滿足條件;C不正確,當直線a與直線b平行時,兩個平面可能相交;D顯然正確.3.(北師版必修第二冊習題6-4A組第2(3)題改編)如圖,平面α∥平面β,PA=6,AB=2,BD=12,則AC=

.9

二、連線高考4.(2011·福建,文15)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度等于

.

研考點?精準突破考點一直線與平面平行的判定與性質(zhì)(多考向探究預測)考向1

直線與平面平行的判定例1如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,點F為棱DE的中點.證明:AF∥平面BCE.

(方法二:線面平行判定定理)如圖,在平面ABCD內(nèi),分別延長CB,DA,交于點N,連接EN.因為AB∥CD,CD=2AB,所以A為DN的中點.又F為DE的中點,所以AF∥EN.因為EN?平面BCE,AF?平面BCE,所以AF∥平面BCE.(方法三:面面平行的性質(zhì))如圖,取棱CD的中點G,連接AG,GF,因為點F為棱DE的中點,所以FG∥CE.因為FG?平面BCE,CE?平面BCE,所以FG∥平面BCE.因為AB∥CD,AB=CG=2,所以四邊形ABCG是平行四邊形,所以AG∥BC.因為AG?平面BCE,BC?平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG?平面AFG,AG?平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因為AF?平面AFG,所以AF∥平面BCE.[對點訓練1](2024·廣西賀州模擬)在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,E,F分別為棱PC,AB的中點.(1)求證:EF∥平面PAD;(2)設(shè)平面PAD∩平面PBC=l,求證:l∥平面ABCD.

考向2

直線與平面平行的性質(zhì)例2如圖,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是線段EF的中點.(1)求證:MA∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.(1)證明

如圖所示,記AC與BD的交點為O,連接OE.因為O,M分別是AC,EF的中點,四邊形ACEF是矩形,所以EM∥OA,EM=OA,所以四邊形AOEM是平行四邊形,所以AM∥OE.又因為OE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)解

l∥m,證明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM?平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,同理m∥AM,所以l∥m.[對點訓練2]如圖,已知E,F分別是菱形ABCD的邊BC,CD的中點,EF與AC交于點O,點P在平面ABCD外,M是線段PA上一動點,若PC∥平面MEF,試確定點M的位置.

考點二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點.求證:(1)B,C,H,G四點共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明

(1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點,∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點共面.(2)∵E,F分別是AB,AC的中點,∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分別為A1B1,AB的中點,A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB,A1G=EB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.又A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF=E,A1E,EF?平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.變式探究1在本例中,若將條件“E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點”變?yōu)椤癉1,D分別為B1C1,BC的中點”,求證:平面A1BD1∥平面AC1D.證明

如圖,連接A1C,AC1,交于點M.∵四邊形A1ACC1是平行四邊形,∴M是A1C的中點.連接MD,∵D為BC的中點,∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1,DM?平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知,D1C1∥BD且D1C1=BD,∴四邊形BDC1D1為平行四邊形,∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1,BD1?平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM=D,DC1,DM?平面AC1D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.

考點三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用

(3)解

線段AD上存在點N,使得MN∥平面PAB,理由如下:取AD中點N,連接CN,EN.因為E,N分別為PD,AD的中點,所以EN∥PA.因為EN?平面PAB,PA?平面PAB,所以EN∥平面PAB.由(2)知CE∥平面PAB,又CE∩EN=E,CE?平面CEN,EN?平面CEN,所以平面CEN∥平面PAB.又M是CE上的動點,MN?平面CEN,所以MN∥平面PAB,所以線段AD上存在點N,使得MN∥平面PAB.[對點訓練3]如圖,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分別是線段AC,DF的中點.(1)求證:GH∥平面BFC.(2)在線段CD上是否存在一點P,使得平面GHP∥平面BCF?若存在,指出點P的具體位置并證明;若不存在,請說明理由.(1)證明

連接BD.∵四邊形ABCD為平行四邊形,G是AC的中點,∴G也是線段BD的中點,∴G,H分別是線段BD,DF的中點,∴GH∥BF,又BF?平面BFC,GH?平面BFC,∴GH∥平面BFC.(