用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式課件北師大版八年級數(shù)學上冊VIP

5.4.2用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式第五章

二元一次方程組【2025新教材】北師大版數(shù)學

八年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式

教案一、教學目標知識與技能目標學生能夠深刻理解一次函數(shù)表達式\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）中\(zhòng)(k\)、\(b\)的含義，熟練掌握利用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式的方法和步驟。能夠準確根據給定的兩個條件（如函數(shù)圖象經過的兩個點的坐標），列出二元一次方程組，求解方程組得到\(k\)和\(b\)的值，從而確定一次函數(shù)的表達式，并能運用表達式解決簡單的實際問題。過程與方法目標通過探究用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式的過程，培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力和邏輯推理能力，提高學生從實際問題或數(shù)學情境中提取信息并轉化為數(shù)學模型的能力。在運用方程組求解函數(shù)表達式的過程中，讓學生體會方程思想和數(shù)形結合思想，增強學生知識遷移和綜合應用的能力。情感態(tài)度與價值觀目標讓學生感受數(shù)學知識之間的內在聯(lián)系，體會數(shù)學在解決實際問題中的強大功能，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和熱情。在小組合作探究和交流中，培養(yǎng)學生的團隊合作精神和勇于探索創(chuàng)新的精神，增強學生學習數(shù)學的自信心和成就感。二、教學重難點教學重點理解并掌握利用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式的方法。能夠根據已知條件準確列出二元一次方程組，并正確求解得到一次函數(shù)表達式中的系數(shù)\(k\)和\(b\)。教學難點靈活運用二元一次方程組解決各種不同情境下確定一次函數(shù)表達式的問題，尤其是在實際問題中，準確找出與函數(shù)表達式相關的兩個等量關系。深入理解確定一次函數(shù)表達式過程中所蘊含的數(shù)學思想，并能將其應用到其他類似的數(shù)學問題解決中。三、教學方法講授法、探究法、討論法、練習法、情境教學法四、教學過程（一）復習導入（5分鐘）回顧一次函數(shù)的表達式\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)），提問學生：“一次函數(shù)表達式中\(zhòng)(k\)、\(b\)分別表示什么？\(k\)、\(b\)的取值對函數(shù)圖象有什么影響？”引導學生回憶\(k\)決定函數(shù)圖象的傾斜方向和增減性，\(b\)決定函數(shù)圖象與\(y\)軸的交點位置。展示已知一次函數(shù)表達式\(y=3x-2\)，讓學生說出當\(x=1\)時\(y\)的值，以及當\(y=4\)時\(x\)的值，復習一次函數(shù)表達式的基本應用。提出問題：“如果只知道一次函數(shù)圖象經過兩個點的坐標，如何確定這個一次函數(shù)的表達式呢？今天我們就來學習用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式的方法?！庇纱艘霰竟?jié)課課題。（二）探究新知（20分鐘）方法講解（10分鐘）以一次函數(shù)圖象經過點\((1,3)\)和\((2,5)\)為例，設該一次函數(shù)表達式為\(y=kx+b\)。引導學生思考：因為點\((1,3)\)和\((2,5)\)在函數(shù)圖象上，所以這兩個點的坐標滿足函數(shù)表達式，將其分別代入\(y=kx+b\)中，可以得到什么？學生回答后，教師列出方程組\(\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}\)，講解：“我們得到了一個關于\(k\)和\(b\)的二元一次方程組，通過解這個方程組，就可以求出\(k\)和\(b\)的值，進而確定一次函數(shù)的表達式。”演示解方程組的過程：用方程\(2k+b=5\)減去方程\(k+b=3\)，得到\((2k+b)-(k+b)=5-3\)，化簡得\(k=2\)；把\(k=2\)代入\(k+b=3\)，可得\(2+b=3\)，解得\(b=1\)。所以該一次函數(shù)的表達式為\(y=2x+1\)?？偨Y利用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式的一般步驟：設：設所求一次函數(shù)的表達式為\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）。代：把已知的兩個點的坐標分別代入表達式\(y=kx+b\)中，得到關于\(k\)和\(b\)的二元一次方程組。解：解這個二元一次方程組，求出\(k\)和\(b\)的值。寫：把求出的\(k\)和\(b\)的值代入\(y=kx+b\)中，寫出一次函數(shù)的表達式。應用練習（10分鐘）給出練習題：已知一次函數(shù)圖象經過點\((-1,-3)\)和\((3,5)\)，求該一次函數(shù)的表達式。讓學生按照剛才總結的步驟進行求解，教師巡視指導，及時發(fā)現(xiàn)學生在設表達式、列方程組、解方程組等環(huán)節(jié)出現(xiàn)的問題，并給予幫助。選取學生的解題過程進行展示和講解，強調在代入坐標時要注意符號，解方程組時要仔細運算。再給出一個實際問題情境：某文具店銷售一種筆記本，當售價為每本\(5\)元時，每天可售出\(100\)本；當售價為每本\(6\)元時，每天可售出\(80\)本。假設每天的銷售量\(y\)（本）與售價\(x\)（元）之間是一次函數(shù)關系，求這個一次函數(shù)的表達式。引導學生分析：這里的兩個條件是兩組售價和銷售量的對應值，相當于一次函數(shù)圖象經過的兩個點\((5,100)\)和\((6,80)\)，然后按照步驟設表達式、列方程組、求解并寫出表達式。（三）鞏固練習（15分鐘）基礎練習：已知一次函數(shù)圖象經過點\((0,-2)\)和\((4,6)\)，求該一次函數(shù)的表達式。若一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經過點\((2,3)\)和\((-2,-1)\)，求\(k\)和\(b\)的值，并寫出函數(shù)表達式。提高練習：已知一次函數(shù)的圖象與\(x\)軸交點坐標為\((-3,0)\)，與\(y\)軸交點坐標為\((0,6)\)，求該一次函數(shù)的表達式。一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經過點\(A(1,4)\)，且與直線\(y=2x-1\)平行，求這個一次函數(shù)的表達式。（提示：兩直線平行，\(k\)值相等）拓展練習：某汽車在行駛過程中，油箱剩余油量\(y\)（升）與行駛路程\(x\)（千米）之間是一次函數(shù)關系。當汽車行駛\(200\)千米時，油箱剩余油量為\(40\)升；當汽車行駛\(350\)千米時，油箱剩余油量為\(25\)升。求\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)表達式，并計算當油箱剩余油量為\(10\)升時，汽車行駛了多少千米。（四）課堂小結（5分鐘）請學生回顧本節(jié)課所學內容，說一說用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式的步驟和關鍵。教師進行補充和完善，強調要準確找出兩個點的坐標或兩個等量關系，正確列出方程組并求解。再次突出方程思想和數(shù)形結合思想在解決此類問題中的重要作用，幫助學生構建完整的知識體系。（五）布置作業(yè)（課后完成）必做題：完成課本上相關練習題，鞏固用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式的方法。選做題：已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經過點\((m,n)\)和\((p,q)\)（\(m\neqp\)），推導該一次函數(shù)表達式的通用公式（用\(m\)、\(n\)、\(p\)、\(q\)表示\(k\)和\(b\)）。實踐題：調查學校周邊某商品的銷售價格和銷售量情況，假設銷售量與銷售價格之間是一次函數(shù)關系，嘗試用二元一次方程組確定它們之間的函數(shù)表達式，并分析銷售價格對銷售量的影響

。五、教學反思在教學過程中，關注學生對利用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式方法的掌握情況，分析學生在找等量關系、列方程組和解方程組過程中出現(xiàn)的問題。思考教學方法是否有效引導學生掌握知識，教學活動的設計是否符合學生的認知水平。針對學生反饋，及時調整教學策略，加強對重難點內容的講解和練習，提高學生運用方程組確定一次函數(shù)表達式的能力。這份教案圍繞方程組確定函數(shù)表達式設計，注重知識講解與實踐結合。若你對教學環(huán)節(jié)時長、練習題難度等方面有新想法，歡迎隨時提出，我可進一步優(yōu)化。互逆命題、互逆定理教案一、教學目標知識與技能目標理解互逆命題、互逆定理的概念，能準確說出一個命題的逆命題。會判斷一個命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標通過對命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和語言表達能力。經歷探究互逆定理的過程，體會從特殊到一般的數(shù)學思想。情感態(tài)度與價值觀目標培養(yǎng)學生積極參與數(shù)學活動，敢于質疑、勇于探索的精神。讓學生感受數(shù)學知識的嚴謹性和邏輯性，體會數(shù)學的應用價值。二、教學重難點重點互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個命題的逆命題。難點判斷一個命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學方法講授法、討論法、練習法相結合四、教學過程（一）導入新課（5分鐘）展示一些簡單的命題，如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導學生分析這些命題的題設和結論。提問：能否交換這些命題的題設和結論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”，它的逆命題是“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”。讓學生進一步理解互逆命題的概念。組織學生進行小組討論，每個小組寫出3-5個命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導學生思考如何判斷一個命題的真假。對于真命題，需要通過推理證明；對于假命題，只需舉一個反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是直角”是假命題，因為兩個相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內交流?；ツ娑ɡ斫o出互逆定理的定義：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，其中一個定理叫做另一個定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強調：并不是所有的定理都有逆定理，只有當定理的逆命題為真命題時，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對應角相等。（3）等腰三角形的兩個底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因為當b=0時，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對應角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因為對應角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等”是真命題。分析：引導學生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D。因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個銳角互余。（3）對頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個命題都有逆命題。（2）每個定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結（5分鐘）與學生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強調：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習題，要求學生認真書寫解題過程，判斷命題真假時要說明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學學習中至少兩個互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學反思在教學過程中，要注重引導學生積極思考、主動參與，通過實際例子幫助學生理解抽象的概念。對于學生在判斷命題真假和寫逆命題時容易出現(xiàn)的錯誤，要及時給予糾正和指導。在今后的教學中，可以進一步加強練習，提高學生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解1.通過閱讀課本，掌握用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式的方法，提高學生的運算能力．2．通過合作學習進一步理解方程與函數(shù)的聯(lián)系，感受“數(shù)形結合”在數(shù)學中的應用．3．通過對本節(jié)課的探究，培養(yǎng)學生的觀察能力、識圖能力、合作能力以及語言表達能力．重點難點問題導入A，B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎車同時分別從A，B兩地相向而行．假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離S(千米)都是騎車時間t(時)的一次函數(shù)．1小時后乙距離A地80千米；2小時后甲距離A地30千米．問經過多長時間兩人將相遇？同學們思考這個問題，你是怎么解決的呢？復習導入二元一次方程組與一次函數(shù)有何聯(lián)系？二元一次方程組有哪些解法？如何利用二元一次方程組求一次函數(shù)的表達式？視頻導入探究A,B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎車同時分別從A，B兩地相向而行．假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時間t(時)的一次函數(shù).1小時后乙距A地80千米;2小時后甲距A地30千米.問：經過多長時間兩人相遇?說出你的方法，并與同學們交流.1小時后2小時后甲距A地30千米乙距A地80千米甲A乙B探究新知知識點確定一次函數(shù)的表達式圖象表示(A)04123t/時s/千米12010080604020(B)可以分別作出兩人s

與t

之間的關系圖象，找出交點的橫坐標就行了.小明乙甲探究新知小穎對于乙，s是t的一次函數(shù)，可設s=kt+b.當t=0時，s=100；當t=1時s=80.將它們分別代入s=kt+b中，可以求出k，b的值，即可以求出乙中s與t之間的函數(shù)表達式.你能求出甲的表達式嗎？探究新知因為甲為正比例函數(shù)，設甲的關系式為s=kt,當t=2時s=30，即30=2k，k=15,所以s=15t小亮1小時后乙距A地80千米,即乙的速度是20千米/時2小時后甲距A地30千米,故甲的速度是15千米/時設同時出發(fā)后t小時相遇，則15t+20t=100，探究新知所以用一元一次方程的方法可以解決問題用圖象法可以解決問題用方程組的方法可以解決問題小明小亮小穎

用作圖象的方法可以直觀地獲得問題的結果，但有時卻難以準確，為了獲得準確的結果，我們一般用代數(shù)方法.在以上的解題過程中你受到什么啟發(fā)？探究新知探究交流

某長途汽車客運站規(guī)定，乘客可以免費攜帶一定質量的行李，但超過該質量則需購買行李票，且行李費y（元）是行李質量x（kg）的一次函數(shù)．已知李明帶了60kg的行李，交了行李費5元；張華帶了90kg的行李，交了行李費10元．（1）寫出y與x之間的函數(shù)表達式；（2）旅客最多可免費攜帶多少千克的行李？探究新知例解：（1）設此一次函數(shù)表達式為：y=kx+b（k≠0).根據題意，可得方程組解得答：旅客最多可免費攜帶30千克的行李．所以當x>30時，y>0.探究新知（2）當y=0時，.解得x=30所以

像這樣，先設出函數(shù)表達式，再根據所給條件確定表達式中未知的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用二元一次方程組求一次函數(shù)表達式的一般步驟：1.設：用含字母的系數(shù)設出一次函數(shù)的表達式：y=kx+b.2.代：將已知條件代入上述表達式中得k，b的二元一次方程組.3.解：解這個二元一次方程組得k，b.4.求：進而求出一次函數(shù)的表達式.探究新知在某個范圍內,某產品的購買量y(單位:kg)與單價x(單位:元)之間滿足一次函數(shù),若購買1000kg,單價為800元;若購買2000kg,單價為700元.若一客戶購買400kg,單價是多少?解:設購買量y與單價x的函數(shù)解析式為y=kx+b，因為當x=1000時

y=800;當x=2000時y=700，所以800k+b=1000700k+b=2000｛因此,購買量y與單價x的函數(shù)解析式為y=-10x+9000當

y=400時得，-10x+900=400,所以x

=860.答:當客戶購買400kg,單價是860元.鞏固練習解這個方程組得:b=900｛k=-10解：設這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+b.所以這個一次函數(shù)的解析式為

-k+b=3，2k+b=-3，

把點（-1，3）與（2，-3