2025年北京市高三數(shù)學(xué)一模試題分類匯編-集合與常用邏輯用語（含解析）

第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁2025年北京市高三數(shù)學(xué)一模試題分類匯編——集合與常用邏輯用語一、單選題（本大題共27小題）1．[2025北京房山·一模]已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．2．[2025北京朝陽·一模]已知集合，集合，則（）A． B． C． D．3．[2025北京海淀·一模]已知集合，，則（

）A． B．C． D．4．[2025北京西城·一模]已知集合，，那么集合（）A． B．C． D．5．[2025北京石景山·一模]已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．6．[2025北京延慶·一模]已知集合，，則（

）A． B． C． D．7．[2025北京延慶·一模]已知集合，，則（）A． B． C． D．8．[2025北京東城·一模]已知集合，則（

）A． B．C． D．9．[2025北京豐臺·一模]已知集合，，則（）A． B． C． D．10．[2025北京順義·一模]已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．11．[2025北京平谷·一模]已知集合，則（

）A． B．C． D．12．[2025北京門頭溝·一模]已知集合，，則（

）A． B． C． D．13．[2025全國·一模]設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．14．[2025北京東城·一模]已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件15．[2025北京門頭溝·一模]“”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件16．[2025北京房山·一模]已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件17．[2025北京西城·一模]設(shè)直線平面，平面平面直線，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件18．[2025北京石景山·一模]等比數(shù)列中，，設(shè)甲：，乙：，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件19．[2025北京朝陽·一模]已知曲線，則“”是“為焦點在軸上的雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件20．[2025北京延慶·一模]“”是“直線與拋物線只有一個公共點”的（

）.A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件21．[2025北京豐臺·一模]已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項和為，則“，”是“”的（）充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件22．[2025全國·一模]已知等比數(shù)列的公比為，甲：數(shù)列是遞增數(shù)列，乙：，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件23．[2025北京海淀·一模]已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．若，則“是遞增數(shù)列”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件24．[2025北京順義·一模]設(shè)為等比數(shù)列，則“存在，使得”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件25．[2025北京東城·一模]已知集合，，如果有且只有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．26．[2025北京平谷·一模]已知是平面內(nèi)兩個非零向量，，那么“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件27．[2025北京平谷·一模]已知函數(shù)，任取，定義集合：，點，滿足.設(shè)分別表示集合中元素的最大值和最小值，記.則函數(shù)的最小值是（

）A． B．1 C． D．2二、解答題（本大題共3小題）28．[2025北京延慶·一模]數(shù)字的任意一個排列記作，設(shè)為所有這樣的排列構(gòu)成的集合．集合任意整數(shù)都有，集合任意整數(shù)都有，（1）用列舉法表示集合；（2）求集合的元素個數(shù)；（3）記集合的元素個數(shù)為，證明：數(shù)列是等比數(shù)列．29．[2025北京房山·一模]設(shè)為正整數(shù)，集合，對于集合中2個元素，若，則稱具有性質(zhì)．記為中的最小值．（1）當(dāng)時，若，判斷是否具有性質(zhì)．如果是，求出；如果不是，說明理由；（2）當(dāng)時，若具有性質(zhì)，求的最大值；（3）給定不小于3的奇數(shù)，對于集合中任意2個具有性質(zhì)的元素，求的最大值．30．[2025北京延慶·一模]數(shù)字的任意一個排列記作，設(shè)為所有這樣的排列構(gòu)成的集合.集合任意整數(shù)都有，集合任意整數(shù)都有.（1）用列舉法表示集合；（2）求集合的元素個數(shù)；（3）記集合的元素個數(shù)為，證明：數(shù)列是等比數(shù)列.

參考答案1．【答案】A【詳解】集合，集合，則.故選A.2．【答案】A【詳解】因為，所以，故選A.3．【答案】D【詳解】或，，所以或.故選D4．【答案】A【詳解】因為，，所以，.故選A.5．【答案】B【詳解】因為,所以,因為,所以,所以.故選B.6．【答案】A.【詳解】因為，又因為，所以.故選A.7．【答案】A【詳解】因為，又，所以．故選A.8．【答案】C【詳解】由，可得，解得或，所以或，所以.故選C.9．【答案】D【詳解】由題意得，，∵，∴.故選D.10．【答案】C【詳解】因為，.所以.故選C．11．【答案】D【詳解】，故選D.12．【答案】D【詳解】由可得，又，所以，即為.故選D.13．【答案】A【詳解】由題得，，故選A．14．【答案】A【詳解】由，則必有，由，則，可得，又，根據(jù)基本不等式有，若且，則有，即是的充分條件，若，則，此時滿足，但不成立，所以是的非必要條件，綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選A.15．【答案】C【詳解】法一：由題意，聯(lián)立方程可得，當(dāng)時，即時，方程有一解，即只有一個公共點；當(dāng)時，，方程有兩解，即有兩個公共點，不符合題意.所以，直線與雙曲線只有一個公共點時，.所以“”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的充要條件.法二：因為直線過定點，雙曲線的右頂點為，如圖，根據(jù)圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線只有交點.所以“”是“直線與雙曲線只有一個公共點”的充要條件.故選C.16．【答案】A【詳解】由函數(shù)，則易知其圖象對稱中心，當(dāng)時，為函數(shù)圖象的對成中心，則當(dāng)時，，充分性成立；當(dāng)時，由，可能得到，必要性不成立.故選A.17．【答案】A【詳解】已知直線平面，平面平面直線，若，由平面，則；若，此時得不到，直線可能與平面相交，如下圖：所以“”是“”的充分不必要條件.故選A.18．【答案】C【詳解】已知等比數(shù)列中，若，設(shè)公比為.根據(jù)等比數(shù)列通項公式，即，解得.再根據(jù)通項公式求，所以由能推出，充分性成立.若，同樣根據(jù)等比數(shù)列通項公式，即，解得，則.又因為，所以由能推出，必要性成立.由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要條件.故選C.19．【答案】A【詳解】若，則，所以，即，所以為焦點在軸上的雙曲線；若為焦點在軸上的雙曲線，則對于，即，可得，即且，不一定得到，綜上，“”是“為焦點在軸上的雙曲線”的充分不必要條件.故選A．20．【答案】A.【詳解】由，得，因為直線與拋物線只有一個公共點，所以當(dāng)時，交點為只有一個公共點，符合題意；當(dāng)時，所以，所以直線與拋物線只有一個公共點的充要條件是或，所以“”能推出“直線與拋物線只有一個公共點”，直線與拋物線只有一個公共點不能推出，“”是“直線與拋物線只有一個公共點”的充分而不必要條件.故選A.21．【答案】A【詳解】若，這意味著是數(shù)列中的最大值.因為是公差不為的等差數(shù)列，所以該數(shù)列的前項和是關(guān)于的二次函數(shù)（且二次項系數(shù)不為），其圖象是一條拋物線.當(dāng)是最大值時，說明從第項開始數(shù)列的項變?yōu)榉钦龜?shù)，即，且（若，那么，與是最大值矛盾）.所以由“”可以推出“”，充分性成立.若，僅知道第項是非負的，但無法確定就是的最大值.例如，當(dāng)公差時，數(shù)列是遞增數(shù)列，那么會隨著的增大而增大，此時就不是最大值，即不能推出，必要性不成立.因為充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選A．22．【答案】D【詳解】如時，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，公比，由甲不能推出乙；當(dāng)時，如，時，，不是遞增數(shù)列，乙不能推出甲，所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件，故選D．23．【答案】D【詳解】若是遞增數(shù)列，則對所有的正整數(shù)都成立，充分性：若是遞增數(shù)列，則即恒成立，又，，①若數(shù)列為無窮數(shù)列，若，則，時，，所以；若，則，時，，所以，此時充分性成立；②若數(shù)列為有窮數(shù)列，若，，只需即可，此時充分性不成立.必要性：時，若，有，則不一定成立，故必要性不成立；即時，“是遞增數(shù)列”是“”的既不充分也不必要條件.故選D.24．【答案】B【詳解】假設(shè)等比數(shù)列的公比，首項，則數(shù)列的項依次為，當(dāng)時，滿足，但是不是遞減數(shù)列，故充分性不滿足；若為遞減數(shù)列，則對于任意的，必然有，故必要性滿足；所以“存在，使得”是“為遞減數(shù)列”的必要而不充分條件.故選B．25．【答案】D【詳解】因為有且只有兩個元素，所以曲線與有且只有兩個交點.對于曲線變形可得，表示的是雙曲線在軸上及上方的所有點，對于曲線，（1）當(dāng)時，如圖所示，表示的是一條直線，與交于，兩點，符合題意；（2）當(dāng)時，，與至多有一個交點，不符合題意；（3）當(dāng)時，表示的是兩條射線，，①當(dāng)時，表示的是和兩條射線，與僅有一個交點，如下圖所示，所以不符合題意；②當(dāng)時，與軸的交點為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的左右兩支各有一個交點，如下圖所示，所以符合題意；③當(dāng)時，與軸的交點為，，且的斜率，的斜率，而雙曲線的兩條漸近線為，斜率分別為和，所以與的右支沒有交點，與左支有兩個交點，如下圖所示，所以符合題意；綜上，實數(shù)的取值范圍為.故選D.26．【答案】B【詳解】若，，所以，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時故“”是“”的不充分條件，因為，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時取到等號，則恒成立，故，所以是必要條件，綜上可知，，那么“”是“”的必要不充分條件，故選B.27．【答案】B【詳解】如圖所示，的圖象，此時，函數(shù)的最小正周期為，點,當(dāng)點在點時，點在曲線上，，當(dāng)點在曲線上從接近時，減小，所以逐漸增大；當(dāng)點在點時，當(dāng)點在曲線上從接近時，減小，逐漸減小，當(dāng)點在點時，當(dāng)點在曲線上從接近時，增大,逐漸增大，當(dāng)點在點時，當(dāng)點在曲線上從接近時，增大,逐漸減小，當(dāng)點在點時，,綜上可得的最小值是1,故選B.28．【答案】(1),；(2)的元素個數(shù)為1；(3)證明見詳解【詳解】(1),(2)考慮集合中的元素．由已知,對任意整數(shù)都有,所以,所以．由的任意性可知,是的單調(diào)遞增排列,所以．又因為當(dāng)時,對任意整數(shù)都有．所以,所以．所以集合的元素個數(shù)為1．(3)由(2)知,．因為,所以．當(dāng)時,考慮中的元素．(i)假設(shè)．由已知,,所以,又因為,所以．依此類推,若,則,,．①若,則滿足條件的的排列有1個．②若,則．所以．此時滿足條件的的排列有1個．③若,只要是的滿足條件的一個排列,就可以相應(yīng)得到的一個滿足條件的排列．此時,滿足條件的的排列有個．(ii)假設(shè),只需是的滿足條件的排列,此時滿足條件的的排列有個．綜上．因為,且當(dāng)時,,所以對任意,都有．所以成等比數(shù)列．29．【答案】（1）具有性質(zhì)，；（2）1；（3）.【詳解】（1）因為，所以具有性質(zhì)；因為，所以．（2）方法：1：由性質(zhì)得，所以，因為，所以，則，，，所以，所以，又因為當(dāng)時，具有性質(zhì)，且，所以的最大值為1．方法2：先用反證法證明，假設(shè)，由，則，所以，同理，所以，由，所以，與已知矛盾，假設(shè)不成立，所以，當(dāng)時，，此時，所以的最大值為1．（3）由性質(zhì)可得，所以①，且②，在①中不妨設(shè)，在②中不妨設(shè)，由對稱性可以設(shè)，所以，所以，即，因為存在，（其中有個個），（其中有個，個）具有性質(zhì)，并且，，，所以，綜上最大值為．30．【答案】(1),；(2)的元素個數(shù)為1；(3)證明見解析.【詳解】(1),；(2)考慮集合中的元素.由