廣東省江門市普通高中2015屆高三調(diào)研測試（數(shù)學(xué)理）

廣東省江門市普通高中2015屆高三調(diào)研測試（數(shù)學(xué)理）一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，下列結(jié)論正確的是：A.$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞增；B.$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上單調(diào)遞減；C.$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有極大值；D.$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有極小值。2.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$，下列結(jié)論正確的是：A.$f(x)$在$x=1$處有極小值；B.$f(x)$在$x=1$處有極大值；C.$f(x)$在$x=1$處無極值；D.$f(x)$在$x=1$處無拐點(diǎn)。二、填空題3.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f'(x)$。4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$，求$f''(x)$。三、解答題5.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。6.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$，求$f(x)$的極值。7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求$f(x)$的拐點(diǎn)。8.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$，求$f(x)$的拐點(diǎn)。四、證明題9.證明：若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處有極值，則$b^2-4ac>0$。五、計算題10.已知函數(shù)$f(x)=e^x-2x-3$，求$f(x)$在$x=1$處的切線方程。11.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$，求$f(x)$在$x=0$處的切線方程。六、應(yīng)用題12.已知某商品的需求函數(shù)為$Q=100-2P$，其中$Q$為需求量，$P$為價格。求：（1）當(dāng)價格$P=50$時的需求量$Q$；（2）求需求函數(shù)的彈性，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義；（3）若商品價格每增加1元，需求量減少2個單位，求商品價格與需求量之間的關(guān)系式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D.$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有極小值。解析：首先求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。檢查$f'(x)$的符號變化，當(dāng)$x<\frac{2}{3}$或$x>1$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$\frac{2}{3}<x<1$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，$x=1$是極小值點(diǎn)。2.C.$f(x)$在$x=1$處無極值。解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x}{x-1}$在$x=1$處無定義，因此無極值。二、填空題3.$f'(x)=3x^2-6x+4$。解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，直接求導(dǎo)得$f'(x)$。4.$f''(x)=6x-6$。解析：對$f'(x)$再次求導(dǎo)得$f''(x)$。三、解答題5.單調(diào)遞增區(qū)間：$(-\infty,\frac{2}{3})$和$(1,+\infty)$；單調(diào)遞減區(qū)間：$(\frac{2}{3},1)$。解析：根據(jù)一、二題的解析，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化得到單調(diào)區(qū)間。6.極小值點(diǎn)：$x=\frac{2}{3}$，極小值為$f(\frac{2}{3})=\frac{8}{27}$。解析：根據(jù)一、二題的解析，找到極小值點(diǎn)并計算極小值。7.拐點(diǎn)：$(1,2)$。解析：根據(jù)一、二題的解析，找到拐點(diǎn)并計算拐點(diǎn)的坐標(biāo)。8.拐點(diǎn)：$(1,-1)$。解析：根據(jù)一、二題的解析，找到拐點(diǎn)并計算拐點(diǎn)的坐標(biāo)。四、證明題9.證明：若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處有極值，則$b^2-4ac>0$。解析：因?yàn)?f(x)$在$x=1$處有極值，所以$f'(1)=0$。即$2a+b=0$，解得$b=-2a$。代入$b^2-4ac$得$(-2a)^2-4ac=4a^2-4ac=4a(a-c)$。由于$a\neq0$（否則$f(x)$為常數(shù)函數(shù)，無極值），所以$a-c\neq0$，因此$b^2-4ac>0$。五、計算題10.切線方程：$y-(e-5)=(e-2)(x-1)$。解析：首先求出$f'(x)=e^x-2$，在$x=1$處，$f'(1)=e-2$，所以切線斜率為$e-2$。切點(diǎn)為$(1,e-3)$，代入點(diǎn)斜式方程得切線方程。11.切線方程：$y-0=(1)(x-0)$。解析：$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，在$x=0$處，$f'(0)=1$，所以切線斜率為$1$。切點(diǎn)為$(0,0)$，代入點(diǎn)斜式方程得切線方程。六、應(yīng)用題12.（1）當(dāng)