2024北京房山區(qū)高三（上）開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

試題試題2024北京房山高三（上）開(kāi)學(xué)考數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B. C. D.3.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.4.已知圓與直線相切，則（）A.2 B. C. D.5.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A. B. C.6 D.246.設(shè)向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于，則（）A. B. C. D.8.已知正四棱錐的八條棱長(zhǎng)均為4，是底面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)所形成區(qū)域的面積為（）A.1 B. C.4 D.9.近年來(lái)純電動(dòng)汽車(chē)越來(lái)越受消費(fèi)者的青睞，新型動(dòng)力電池迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口，于1898年提出蓄電池的容量（單位：），放電時(shí)間（單位：）與放電電流（單位：）之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中為常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間；當(dāng)放電電流時(shí)，放電時(shí)間.若計(jì)算時(shí)取，，則該蓄電池的常數(shù)大約為（）A.1.25 B.1.75 C.2.25 D.2.5510.已知集合，是集合表示的平面圖形的面積，則（）A.1 B. C.2 D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.拋物線的準(zhǔn)線方程是_______12.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．若，則______．13.已知函數(shù)若，則______；若在上單調(diào)遞增，則的一個(gè)值為_(kāi)_____．14.如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)．如果將容器倒置，水面也恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)（圖2），設(shè)正四棱柱的高為，正四棱錐的高為，則______．15.古希臘畢達(dá)開(kāi)拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù).他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤睿褦?shù)分成許多類(lèi).如圖，第一行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱(chēng)為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱(chēng)為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列an，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列b①數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式是；②2025既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)；③；④，總存在．使得成立．其中所有證確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.在銳角中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）再?gòu)南旅鏃l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17.已知四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，為的中點(diǎn)．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若．求平面與平面夾角的余弦值．18.某企業(yè)產(chǎn)品利潤(rùn)依據(jù)產(chǎn)品等級(jí)來(lái)確定：其中一等品、二等品、三等品的每一件產(chǎn)品的利潤(rùn)分別為100元、50元、50元．為了解產(chǎn)品各等級(jí)的比例，檢測(cè)員從流水線上隨機(jī)抽取了100件產(chǎn)品進(jìn)行等級(jí)檢測(cè)、檢測(cè)結(jié)果如下表：產(chǎn)品等級(jí)一等品二等品三等品樣本數(shù)量（件）503020（1）從流水線上隨機(jī)抽取1件產(chǎn)品，估計(jì)這件產(chǎn)品是一等品的概率；（2）若從流水線上隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，這3件產(chǎn)品的利潤(rùn)總額為．求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）為了使每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不低于80元，產(chǎn)品中的一等品率至少是多少？19.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為．焦距為．過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若直線與軸垂直，求的值．20.已知函數(shù)，直線為曲線在點(diǎn)處的切線．（1）當(dāng)時(shí)，求出直線的方程；（2）若，求的最小值；（3）若直線與曲線相交于點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，設(shè)集合，記的元素個(gè)數(shù)為．（1）若數(shù)列，求集合，并寫(xiě)出的值；（2）若是遞減數(shù)列，求證：“為等差數(shù)列”的充要條件是“”；（3）已知數(shù)列，求證：．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】A【分析】利用交集的定義直接求解并判斷即可.【詳解】集合，所以.故選：A2.【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法即可得到答案.【詳解】由題意得.故選：C.3.【答案】C【分析】根據(jù)給定雙曲線方程直接求出其漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：.故選：C4.【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓的切線性質(zhì)求解即得.【詳解】圓的圓心為，半徑為，依題意，.故選：D5.【答案】D【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為求出，將的值代入通項(xiàng)求出展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D6.【答案】A【分析】利用垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，結(jié)合充分條件、必要條件判斷即得.【詳解】向量，則，解得或，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A7.【答案】B【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由條件確定函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式求.【詳解】由已知，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期為，又，所以，故.故選：B.8.【答案】B【分析】由，可知的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓以及圓內(nèi)的點(diǎn)，利用圓的面積求解即可.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為，連接，則為正方形的中心，如圖.易知,故.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓以及圓內(nèi)的點(diǎn)，而正方形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡在正方形內(nèi)部，因此表示的區(qū)域面積為.故選：B9.【答案】C【分析】利用經(jīng)驗(yàn)公式將數(shù)據(jù)代入構(gòu)造方程組，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可解得常數(shù).【詳解】根據(jù)題意由可得，兩式相除可得，即可得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，即可得；即.故選：C10.【答案】B【分析】由集合，的元素滿(mǎn)足的條件，找出所對(duì)應(yīng)的圖形，再借助圖形的對(duì)稱(chēng)性即可求出面積．【詳解】集合表示平行直線與圍成的正方形，集合，因此集合表示的平面圖形為圖中陰影部分，由圖形的對(duì)稱(chēng)性知：正方形內(nèi)陰影部分的面積與空白部分的面積相等，所以．故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：正確找出可行域和利用對(duì)稱(chēng)性求出面積是解題的關(guān)鍵.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)在y軸上以及，再直接代入即可求出其準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在y軸上，所以：，即，所以，所以準(zhǔn)線方程為：，故答案是：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)拋物線的幾何性質(zhì)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)是已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求其準(zhǔn)線方程，屬于簡(jiǎn)單題目.12.【答案】##【分析】根據(jù)角關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)即可得到答案.【詳解】因?yàn)榻桥c角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，所以.故答案為：.13.【答案】①.0②.（答案不唯一）【分析】根據(jù)分段函數(shù)，代入求值即可；根據(jù)增函數(shù)的概念列不等式即可.【詳解】若,則時(shí)，,所以;當(dāng)x<1時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；若在上單調(diào)遞增，只需,解得a≥1，所以滿(mǎn)足條件的的一個(gè)值為1.故答案為：（答案不唯一）.14.【答案】【分析】設(shè)棱柱的底面面積為，根據(jù)題意，結(jié)合錐體和柱體的體積公式，分別求得的表達(dá)式，即可求解.【詳解】設(shè)棱柱的底面面積為，在圖1中，可得，所以，在圖2中，可得，所以，則，所以.故答案為：.15.【答案】①③④【分析】根據(jù)給定信息,求出數(shù)列的通項(xiàng),再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于①，依題意,數(shù)列中,,于是得,滿(mǎn)足上式,故,故①正確；對(duì)于②，數(shù)列中,,于是得,滿(mǎn)足上式,,令，此方程無(wú)整數(shù)解；令，解得,所以2025不是三角形數(shù)，是正方形數(shù),故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，則，故③正確;對(duì)于④,,取，則，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊化角，求出即可得解.（2）選①，選②，利用正弦定理、和角的正弦公式、三角形面積公式計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】在銳角中，由及正弦定理，得，而，則，又，所以.【小問(wèn)2詳解】選①，，由（1）知，由正弦定理得，而，所以的面積為.選②，，由（1）知，由正弦定理得，而為銳角，則，，所以的面積為.17.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）取的中點(diǎn),連接，證四邊形為平行四邊形,得所以,進(jìn)而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面與平面的法向量，然后利用空間向量求夾角即可.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn),連接,因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),所以,又,所以,所以四邊形為平行四邊形,所以,又平面平面,所以平面;【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，，，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=則令則，平面平面，平面，所以平面，所以是平面的一個(gè)法向量，假設(shè)平面與平面夾角為，則.18.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，（3）【分析】（1）利用古典概型求解概率即可.（2）將非一等品視為整體，利用二項(xiàng)分布求出概率，得到分布列和期望即可.（3）依據(jù)題意結(jié)合整體法得到不等式，求解概率即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)概率為，由題意得.【小問(wèn)2詳解】首先，我們把二等品和三等品視為一個(gè)整體，則單次抽到一等品的概率為，抽到二等品和三等品這個(gè)整體的概率為，當(dāng)時(shí)，抽到的一定在二等品和三等品這個(gè)整體里，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故分布列見(jiàn)下表，所以數(shù)學(xué)期望為，【小問(wèn)3詳解】設(shè)產(chǎn)品中的一等品率為，故非一等品率為，所以，解得，產(chǎn)品中的一等品率至少是.19.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用橢圓的基本性質(zhì)求解方程即可.（2）結(jié)合給定條件轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題，得到方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓的一個(gè)頂點(diǎn)為2,0．焦距為，所以，，所以，故橢圓的方程為，故離心率為.【小問(wèn)2詳解】如圖，設(shè)的方程為，，聯(lián)立方程組，可得，而，所以，，因?yàn)?，過(guò)點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，所以三點(diǎn)共線，所以，共線，因?yàn)榕c軸垂直，所以，故，，故得，所以，化簡(jiǎn)得，所以而，所以，，解得，故的值為.20.【答案】（1）（2）的最小值為（3）的取值范圍是【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線斜率，再求切點(diǎn)坐標(biāo)，從而得切線方程；（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性即可確定最小值點(diǎn)，從而可得函數(shù)最小值；（3）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到，再求出，即可得到曲線在,處的切線方程．令，利用三次求導(dǎo)可得時(shí)，在上存在零點(diǎn)，即可得到的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】，則斜率，又，則線在點(diǎn)處的切線的方程為；【小問(wèn)2詳解】，則，令得，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的最小值為；【小問(wèn)3詳解】由，得，則，可得曲線在,處的切線方程為，即．令，顯然，，令，則，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．若，時(shí)，，，則在上單調(diào)遞增，且，在上無(wú)零點(diǎn)，舍去；若，，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，而時(shí)，，在上存在零點(diǎn)．故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)無(wú)法求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解，通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)確定一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、符號(hào)，從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.21.【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合集合的新定義，即可求解；（2）若為等差數(shù)列，且是遞減數(shù)列，得到，結(jié)合，證得必要性成立；再由是遞減數(shù)列，，得到，由此證明為等差數(shù)列，得到充分性成立，即可得證；（3）根據(jù)題意，得到，得出，設(shè)存在，，推出矛盾，進(jìn)而得證.【小問(wèn)1詳解】由題意，數(shù)列，可得，所以集合，所以.【小問(wèn)2詳解】必要性：若為等差數(shù)列，且是遞減數(shù)列，設(shè)的公差為，當(dāng)時(shí)，，所以，則，故必要性成立.

充分性：若是遞減數(shù)列，，則為等差數(shù)列，因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以，所以，且互不相等，所以，又因?yàn)?，所以且互不相等，所以，所以，所以為等差?shù)列，充分性成