圓錐曲線與方程知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)及例題

1、第二章圓錐曲線和方程式2.1橢圓：知識(shí)整理1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程式(1) .橢圓的定義：在橢圓的定義中，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)和兩定點(diǎn)的距離之和大于|的條件不能忽視。 當(dāng)該距離之和小于|時(shí)，這種點(diǎn)不存在的距離之和為|，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.(2) .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程式： ( 0)(3) .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程式判別方法：判別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸的分母的大?。喉?xiàng)的分母比項(xiàng)的分母大的話橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，相反焦點(diǎn)在y軸上。2、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)( 0)。(1) .橢圓的幾何學(xué)性質(zhì)：橢圓方程式、線段、橢圓的長(zhǎng)軸、短軸。 這些長(zhǎng)度分別等于2a和2b(2) .離心率：0e1.e越接近1橢圓越扁平，相反，e越接近0，橢圓越接近圓.(3)

2、橢圓的焦點(diǎn)半徑：=典型分析(4) .橢圓的內(nèi)外點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部(5) .焦點(diǎn)三角形經(jīng)常利用馀弦定理、三角形面積式，將關(guān)系線段、2c、關(guān)系角結(jié)合，建立關(guān)系2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程式：的典型分析說(shuō)明型橢圓的定義應(yīng)用程序例1問(wèn)題型二橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求方法已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是(-2，0 )、(2，0 )，越過(guò)點(diǎn)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程式2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型分析問(wèn)題型求出橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)等例1已知的橢圓的離心率、求出的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)如果將橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別設(shè)為F1、F2，通過(guò)F2的橢圓的長(zhǎng)軸的垂線與點(diǎn)p相交，將F1PF2設(shè)為等腰三角形，則橢圓

3、的離心率為()A. B. C. D例3知道橢圓c焦點(diǎn)F1(-，0 )和F2 (，)，將長(zhǎng)軸長(zhǎng)6、直線交叉橢圓c設(shè)為a、b兩點(diǎn)，求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo).2.2雙曲線：知識(shí)整理1 .雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程式(1)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a (更小|)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線.在該定義中，條件2a|，該條件可以理解為三角形的兩邊之差小于第三邊 . 時(shí)，軌跡是雙曲線的另一個(gè)。 雙曲線由兩條分支構(gòu)成，所以定義上必須是“差的絕對(duì)值”。(2) .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程式判別方法，如果項(xiàng)的系數(shù)為正，則如果焦點(diǎn)在x軸上的項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在y軸上。 在雙曲線中，a不一定大于b，所以無(wú)法像橢

4、圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)位于哪個(gè)坐標(biāo)軸上2 .雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(1) .雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b，離心率離心率e越大開口越大.(2) .雙曲線的漸近線方程式可以用或表示。如果雙曲線的漸近線方程式已知，雙曲線的方程式具有以下形式：其中k為非零常數(shù)。(3)焦點(diǎn)半徑式雙曲線焦點(diǎn)半徑的應(yīng)用實(shí)例從雙曲線上的任意點(diǎn)到該焦點(diǎn)的距離稱為該點(diǎn)的焦點(diǎn)半徑。 已知點(diǎn)P(x，y )是雙曲線-=1 (a0，b0)，f、f是雙曲線的左右焦點(diǎn)。 在點(diǎn)p位于右半部分的情況下，| PF|=x a，| PF|=x-a； 點(diǎn)p在左半部分的情況下，通過(guò)使用| PF|=-(x a )、| PF|=-(x-a )焦

5、點(diǎn)半徑式解，能夠簡(jiǎn)單地說(shuō)明解的過(guò)程，以下舉幾個(gè)例子作為參考。一、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程式例1、f、f為雙曲線-=1 (a0，b0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，l為左基準(zhǔn)線，離心率e=、P(-，m )為左分支上的點(diǎn)，從p到l的距離為d，并且d、| PF|、| PF|為等差數(shù)列，求出該雙曲線方程式。利用分析焦點(diǎn)半徑，將雙曲線的第二定義結(jié)合起來(lái)給出公式，求出未定系數(shù)解：從雙曲線的第二定義開始，d=| PF|，另外| PF|=-(x a)=14-a| PF|=-(x-a)=14 a，已知的： d | PF|=2| PF|，即從(14-a )=28-2a:a=2，c=3，b=雙曲線的方程式為-=1。注解：通過(guò)利用焦點(diǎn)

6、半徑公式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。二、評(píng)價(jià)例2的雙曲線-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)是f、f，點(diǎn)p位于雙曲線上，如果是P FP F，則從點(diǎn)p到x軸的距離為_ .利用分析焦點(diǎn)半徑和匹配定理，排列方程式，求出p點(diǎn)的縱軸即可。解：雙曲線上的右分支為p，P(x，y )為| PF|=x a=3 x，| PF|=x-a=x-3| PF| | PF|=|FF|，即，(3 x) (x-3)=100因此，=、=或-=1，=、點(diǎn)p到x軸的距離是。注解：利用雙曲線的定義和焦點(diǎn)半徑公式，做了簡(jiǎn)單說(shuō)明。三、求范圍如圖3所示，在梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點(diǎn)e具有有向線段之比，已知雙曲線超過(guò)c、d、e三點(diǎn)，且以a、b為焦點(diǎn)，時(shí)，求

7、出雙曲線離心率的取值范圍.解：如果把直線AB設(shè)為x軸，把線段AB的垂直平分線設(shè)為y軸，并確立直角坐標(biāo)系，則由于CDy軸的雙曲線通過(guò)點(diǎn)c、d，并且把a(bǔ)、b作為焦點(diǎn)，從雙曲線的對(duì)稱性可以看出，c、d相對(duì)于y軸對(duì)稱。 設(shè)雙曲線的焦距為2c，a、b、c這三點(diǎn)的橫軸分別是-c、c，點(diǎn)e的橫軸是x=.xy甲組聯(lián)賽乙級(jí)聯(lián)賽o.o德. dc.ce根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)半徑公式，|AE|=-(x a )=-a，|BC|=x-a=-aAC和AE是相同的號(hào)碼，=.|AC|=|AE|=-a=-a雙曲線的定義是|AC|-|BC|=2a，即，(-a)-(-a)=2a兩側(cè)除以a，簡(jiǎn)化整理(-1)=2，=-2 得到的34，得到的71

8、02222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6注意：雙曲線上的點(diǎn)和雙曲線焦距遇到的問(wèn)題，可以考慮使用焦點(diǎn)半徑公式四、其他問(wèn)題例4雙曲線-=1的上支有三點(diǎn)A(x，y )、b (，)，C(x，y )和f (0，5 )的距離為等差數(shù)列。 尋求證據(jù)： PS的垂直平分線通過(guò)某一點(diǎn)。通過(guò)利用分析焦點(diǎn)半徑和等差數(shù)列的概念列舉方程式，可解決該問(wèn)題。證明：|AF|=ey-a，|BF|=6e-a，|CF|=ey-a是已知的：2|BF|=|AF| |CF|，y y=26=12。 若設(shè)AC的中點(diǎn)M(x，6 )，則其中x=，另外a、c位于雙曲線上二式減法： 13(y-y)(y y)-12(x-x)(x x)=0，增益： 13(

9、y y)-12(x x)=0得到：=，所以AC的垂直平分線方程式是y-6=-(x-x )，即13x x(2y-25)=0，所以為定點(diǎn)(0，)。注解：積分差法是解決雙曲線問(wèn)題的常用方法。例5雙曲線-=1的左、右焦點(diǎn)分別是f、f，左十字準(zhǔn)線是.雙曲線的左分支上找到點(diǎn)p，| PF|能成為距p的距離和| PF|的等比中項(xiàng)嗎？ 如果可能的話，請(qǐng)說(shuō)明一下為什么不能求出p點(diǎn)坐標(biāo)。分析該主題搜索主題通?？梢栽O(shè)置存在點(diǎn)p，可以利用焦點(diǎn)半徑和等比數(shù)列的概念列方程式來(lái)求解。解： a=5，c=13，知=，=假設(shè)P(x，y )和p的距離為d，則| PF|=-a-x=-5-x，| PF|=a-x=5-x，d=-x=-x|

10、 PF|=d| PF|，即(-5-x)=(-x)(5-x )解： x=-或x=-.另一方面，因?yàn)閜在左枝，所以x-5.因?yàn)榕c矛盾，所以不存在滿足條件的p點(diǎn)注釋：一般來(lái)說(shuō)，雙曲線-=1左枝存在p點(diǎn)，是使| PF|=d| PF|成立的充分條件。 本文中雙曲線離心率=，因此不存在滿足條件的p點(diǎn)。 例如雙曲線-=1的離心率中，這種p點(diǎn)一定存在。類似地得到的是雙曲線-=1左枝存在p點(diǎn)，使2| PF|=d | PF|成立的充分條件。從以上幾個(gè)例子可以看出，適當(dāng)?shù)乩媒裹c(diǎn)半徑公式和雙曲線的第二定義來(lái)解決雙曲線系統(tǒng)的問(wèn)題是很有效的。(4)雙曲線方程式與漸近線方程式的關(guān)系雙曲線方程式為漸近線方程式時(shí)： 如果漸近

11、線方程式是雙曲線，則如果雙曲線和共用漸近線，則可以設(shè)為(焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)在y軸上)。 雙曲線焦點(diǎn)三角形面積：高。2.2.1雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程式：的典型分析問(wèn)題型雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的判定問(wèn)題型雙雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程式已知雙曲線超過(guò)兩點(diǎn)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程式例32.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)典型分析問(wèn)題型雙曲線的性質(zhì)已知雙曲線和橢圓的共焦點(diǎn)，它們的離心率之和是求出雙曲線方程式問(wèn)題型2具有共同漸近線的雙曲線方程式的求方法例2求出與雙曲線共同的漸近線，求出通過(guò)點(diǎn)的雙曲線方程式例3設(shè)置雙曲線上的兩點(diǎn)a、b、AB的中點(diǎn)m (1，2 )，求出直線AB方程式例4表示實(shí)數(shù)，研究方程式表示的曲線問(wèn)題型三直線和雙曲線的

12、位置關(guān)系例如，已知盡管b取實(shí)數(shù)，直線y=kx b和雙曲線x2-2y2=1總是有共同點(diǎn)，試著求出實(shí)數(shù)k的能取范圍.2.3拋物線整理知識(shí)1 .拋物線的概念在平面內(nèi)與一定點(diǎn)f和一定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線(定點(diǎn)f不在定直線l上)，定點(diǎn)f稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的基準(zhǔn)線。 方程式叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程式。注意：拋物線焦點(diǎn)位于x軸的正半軸，焦點(diǎn)坐標(biāo)為f (，0 )，準(zhǔn)線方程式為2 .拋物線的性質(zhì)一條拋物線因坐標(biāo)系的位置不同，方程式也不同，有四種情況，因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程式還有幾種形式：這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程式、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程式如下表所示標(biāo)準(zhǔn)方程式圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程式范圍對(duì)稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率說(shuō)明： (1)通徑：通過(guò)拋物線焦點(diǎn)并垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑(2)拋物線的幾何性質(zhì)特征：一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一個(gè)基準(zhǔn)線，一個(gè)對(duì)稱軸，沒(méi)有對(duì)稱中心，(3)注意沒(méi)有漸近線的幾何意義：從焦點(diǎn)到基準(zhǔn)線的距離2.3.1拋物線