翻譯稿1998A-王華嶺

1、立體格網(wǎng)數(shù)據(jù)的截面分析法Kelly Slater ClineKacee Jay GigerTimothy OConnerEastern Oregon UniversityLaGrande, OR 97850Advisor: Norris Preyer總結(jié)有效的三維磁共振成像要求一種采取平面為截面的精確算法。然而，如果一個斜交叉被采取，那么平面可能不會與任何已知的數(shù)據(jù)點相交。因此，在數(shù)據(jù)點之間插值水密度的算法是必要的。插值法假定密度的連續(xù)性，但是，在人體不同類型的組織邊界也有不連續(xù)的密度存在。大多數(shù)插值法嘗試消除這些急劇變化的邊界，使數(shù)據(jù)模糊化，然而很有可能破壞有用的信息。為了定性地捕獲這個問題

2、的關(guān)鍵困難，我們創(chuàng)建了一個模擬生物數(shù)據(jù)集的序列，如大腦和手臂，每個序列都有一些特定的缺陷。我們的數(shù)據(jù)集中每條邊上有100個元素的立方體陣列，總共有一百萬個元素，每個指定點處水的密度取0，255范圍內(nèi)的整數(shù)。在每個數(shù)據(jù)集，我們使用可微函數(shù)來描述幾種組織類型之間的間斷性。為了分析這些數(shù)據(jù)，我們創(chuàng)建了一組使用C + +的算法，并且在產(chǎn)生精確截面方面比較他們的有效性。我們采用局部插值技術(shù)，因為在球面范圍內(nèi)數(shù)據(jù)是間斷的。我們的最終算法是在組織之間搜索間斷點。如果在一個點處找到了間斷，它通過把最近的數(shù)據(jù)點的水的密度值分配到該點來保留銳利的邊緣。如果沒有間斷，算法就用三維空間中最近的64個數(shù)據(jù)點做出一個多項

3、式來擬合和插入水的密度值。在截面的每個點處，我們通過插值水密度和實際水密度之間的差異找出絕對平均，以此來測量算法精度。我們最終的算法與一個簡單的最接近點技術(shù)相比，降低了16的誤差；與一個連續(xù)的線性插值法相比，降低了17的誤差；與一個無連續(xù)性檢測的連續(xù)的多項式插值法相比，降低了22的誤差。假設(shè)核磁共振成像掃描是一個等間隔格網(wǎng)數(shù)據(jù)，我們將它看成是一個100*100*100的數(shù)組。數(shù)組中的每個元素都是0到255之間的整數(shù)，代表了那一點上的水的密度。截面的分辨率與數(shù)據(jù)集的分辨率被認為是相等的。（如果數(shù)組中的元素有一微米的間距，那么截面也應(yīng)具有相同的間距。） “我們認為所有的插值法都假定數(shù)據(jù)點之間的連續(xù)

4、性。因此，我們假定活體組織中水的密度可以用間斷組織之間的連續(xù)可微函數(shù)代表。模擬數(shù)據(jù)集由于我們可以找到了一些現(xiàn)有的三維數(shù)組的數(shù)據(jù)集，我們構(gòu)建模擬數(shù)據(jù)集。然而真正的生物器官相當(dāng)?shù)貜?fù)雜，一套模擬器官應(yīng)該是能夠定性地代表核磁共振成像掃描被典型應(yīng)用于診斷的一類問題。盡管真正的磁共振成像數(shù)據(jù)有更高的分辨率，但是我們正在尋找的特性應(yīng)該是相同的：腫瘤，骨折，或一般的異常。一般來說，這些區(qū)域與周圍組織相比，會有不同的水密度，更容易產(chǎn)生間斷。我們建立以下有缺陷的模擬器官：1、球（Globules）：一個連續(xù)的、重復(fù)的球形圖案，中心處密度達到峰值（圖1）。2、手臂(Arm)：兩塊骨頭，一個包含一個小的球形孔的光滑組

5、織（圖2）。3、通用器官(Generic organ)：幾個間斷的區(qū)域填充的一個圓形（圖3）。4、大腦(Brain)：一塊周期性地變灰質(zhì)的密集的頭骨和腦葉上不同密度的小面積（圖4）。坐標(biāo)系統(tǒng)和定義現(xiàn)有的數(shù)據(jù)陣列在這個問題上利用笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)。如果每個方向上有n個數(shù)據(jù)點，坐標(biāo)范圍從（0 ，0， 0）到（n，n，n）。通過在坐標(biāo)系統(tǒng)中挑選一點和兩個代表平面與x軸、y軸所成的角度，我們定義一個截面。這一點成為我們的平面的原點，新的X軸成為在z方向上x軸在這個平面上的投影，所以單位向量：。我們可以解出單位向量，如果我們需要它正交于，與單位矢量成角度，并且是單位長度，所以因此，我們可以從坐標(biāo)系統(tǒng)中轉(zhuǎn)換到

6、陣列系統(tǒng)我們稱已知點（X，Y，Z）為數(shù)據(jù)點，稱未知點為平面上的點。插值算法平面上的點一般不匹配現(xiàn)有的數(shù)據(jù)點。我們知道，每個平面點周圍的水密度，所以我們必須插值以估計平面點密度。插值技術(shù)主要有兩大類：全局算法，使用集合中的每一個數(shù)據(jù)點來估計每個平面點處的密度局域算法，只使用數(shù)據(jù)點的一個子集。因為插值算法假設(shè)連續(xù)性，全局算法在這個問題上是不適當(dāng)?shù)?。我們知道，器官在組織之間僅僅是分段連續(xù)和間斷性的可微。因此，我們所有的算法都使用局部插值技術(shù)。鄰近算法該算法把最接近平面點的數(shù)據(jù)點的密度分配到該平面點。這個算法似乎很幼稚，但是它保留了無模糊的銳利的邊緣。它由平面上的每個點，計算原始數(shù)組里的x, y, z

7、，并且四舍五入到整數(shù)值（X，Y，Z），從而給出最近的數(shù)據(jù)點。密度平均這種算法使用更多的信息來估計每個點處水的密度。我們可以想像在一個數(shù)據(jù)點在角落處的立方體內(nèi)部的每一個平面點。為了估計內(nèi)部值，我們選擇周圍的八個點的密度，采取的算術(shù)平均算法。盡管使用更多的信息，這種算法模糊了間斷的邊緣。三線性插值該算法使用相同的8個點作為密度平均法，然而，確實有一個加權(quán)平均密度值。此算法假定梯度在數(shù)據(jù)點之間是常數(shù)，隨著一個低分辨率數(shù)據(jù)集，這種算法將產(chǎn)生不準(zhǔn)確，但是隨著分辨率的增加，梯度會顯得更加恒定，因為任何可微函數(shù)在一個足夠小的規(guī)模上檢測時會趨向于線性。線性插值公式 其中。我們給定值的權(quán)重，等于與對面點之間的距

8、離。在這里，每一對連續(xù)的數(shù)據(jù)點在它們之間有一個單位的長度，所以到對面點的距離是。對于三線插值，我們在所有點上擴展總和，所以;其中和。多項式插值為了更好地估計水的密度函數(shù)，多項式插值算法使用更多的數(shù)據(jù)。我們擴大8個點的周圍立方體，在每一個方向上用每邊4點做一個立方體，共使用64最近點。多項式可以更好地適應(yīng)可微函數(shù)，因為他們有更多的衍生工具，并且可以在功能上結(jié)合大趨勢?；叵胍幌拢瑑牲c確定一條獨特的直線，三點確定一個獨特的二次方程式，四點確定一個獨特的三次多項式。利用這個，我們可以找到一種三維方向上擬合函數(shù)的算法。通過在X，Y，Z方向執(zhí)行適合的序列，我們可以綜合成空間中點的密度估計。因此，我們將此問

9、題分解為一系列一維插值。（x，y，z）是平面上的點，數(shù)據(jù)點為。首先，我們固定和，使四點調(diào)整到一個立方體里，并在點處插入密度。我們遞增到，并做相同的事，直到我們在點處有密度值。然后我們在y的方向上找到一個適合這四個點的多項式，然后在處插入密度。我們重復(fù)同樣的過程來找到和，然后執(zhí)行最后一個多項式，擬合這些點，在處插值密度。有許多擬合多項式的技術(shù)。我們用拉格朗日公式阿克頓1990年，96，因為它是最少的計算密集型的：;其中，是在處的密度。 這種算法模糊的邊緣，但在以上所述區(qū)域上通過可微函數(shù)應(yīng)該做的非常好?；旌纤惴ㄒ陨纤械乃惴▽⒓扔袃?yōu)勢又有劣勢。在可微區(qū)域（三重的，多項式的）最具優(yōu)勢的算法在間斷點處

10、卻是最具劣勢的，因為他們試圖消除尖銳的邊界。最密切保持連續(xù)性（接近）的算法在識別光滑函數(shù)趨勢時是最具劣勢的。為了充分利用這兩種算法的優(yōu)勢，我們創(chuàng)建了一個混合算法。在一組點之間插值時，混合算法在他們之間查找間斷點，它采用的接近算法，如果它發(fā)現(xiàn)任何連續(xù)的算法。這種混合算法通過在彼此之間對極端運算復(fù)合點周圍平面點的測量密度的差異，來定位的間斷點。如果有間斷點，數(shù)值將大，我們使用接近算法；如果沒有，數(shù)值將小，我們使用一個連續(xù)的算法，要么三重線性要么多項式。為了分清兩者之間的差別，我們設(shè)置閾值為。因此，混合算法允許我們使用任一種更具優(yōu)勢的算法。測試和結(jié)果因為我們已經(jīng)為我們四個中的任一個仿真數(shù)據(jù)集定義了精

11、確的水密度函數(shù)，所以我們可以讓插值數(shù)值與真實的密度模擬數(shù)據(jù)集相比并且找出殘差。為了測量一個橫截面的準(zhǔn)確性，我們在整個平面點的范圍內(nèi)計算平均絕對殘差（即殘差絕對值的平均值）。要比較的算法，在不同的角度、點和間斷的閾值水平，通過一個仿真的數(shù)據(jù)集，我們采取12個橫截面。我們一般選擇數(shù)據(jù)中心附近的點，從而產(chǎn)生大平面區(qū)域。表1列出了平均絕對殘差，這些對于適用于每個數(shù)據(jù)集和整個數(shù)據(jù)集的平均的每一個算法而言。反過來，我們對每個數(shù)據(jù)集（表1列）的結(jié)果進行討論。表1應(yīng)用于數(shù)據(jù)集的插值算法的平均絕對殘差。球體一般來說，平均算法最準(zhǔn)確地生成了斜平面，無論是三重線性還是多項式插值，它們都提供了橫截面類似的準(zhǔn)確性的。對

12、于這組數(shù)據(jù)集，混合算法確實比純粹的連續(xù)算法差（圖5）;接近的算法在所有算法中確實是最差的，可能是因為球的數(shù)據(jù)集沒有邊緣和連續(xù)性從來沒有被打破。三重線性和多項式插值在各區(qū)域的中心峰也可能有麻煩。圖5，小球：多項式混合法，圖6，手臂：多項式混合法， 手臂在這里，我們發(fā)現(xiàn)，情況幾乎完全相反。接近算法和混合算法（圖6）都明顯地表現(xiàn)出比純粹的連續(xù)算法好很多，用平均算法做特別嚴重。這是非常合理的，因為我們的手臂從骨骼到肌肉有很多非常尖銳的邊緣。平均算法在任何間斷點處應(yīng)該是失敗的，這正是我們所看到的。間斷性檢測似乎是可行的，因為混合算法執(zhí)行得明顯比三重線性和多項式算法更好。圖7。通用器官：混合多項式算法，

13、圖8。腦，混合多項式算法，通用器官我們發(fā)現(xiàn)，混合公式、三重線性和多項式，都產(chǎn)生同等有利的結(jié)果（圖7）。再次表明，算術(shù)平均數(shù)算法表現(xiàn)欠佳，隨后的是接近算法、多項式和三重線性算法，它們的結(jié)果具有可比性。我們懷疑是這樣的一種情況，因為對于這個數(shù)據(jù)集，我們用光滑的函數(shù)來產(chǎn)生各種不同的組織類型。大腦由于每個腦葉的一般光滑和頭骨的鮮明對比，當(dāng)較高時，混合多項式算法產(chǎn)生的結(jié)果最準(zhǔn)確。接近算法產(chǎn)生非常準(zhǔn)確的結(jié)果，勝過三重線性和多項式算法，但是達不到混合算法（圖8-10）。算術(shù)平均法會產(chǎn)生最不準(zhǔn)確的結(jié)果，圖11明顯地展示了它如何通過試著平滑顱骨的邊緣而失敗的。殘差圖另一種檢測算法的方法是繪制殘差圖，這種允許我們

14、看到算法被打破的確切位置。在圖12-14中，大的正面或負面的殘差在白色或灰色區(qū)域中脫穎而出。圖9。腦，多項式算法，圖10。腦，接近算法，圖11。腦，平均密度，圖12。腦，接近殘差，圖13。腦，平均密度，殘差，圖14。腦，混合多項式法，殘差，在大腦的大多數(shù)部位，接近算法一般是最準(zhǔn)確的算法，除了腦葉中的黑色區(qū)域和間斷的頭骨區(qū)域也產(chǎn)生錯誤（圖12）。算術(shù)平均算法，清楚地表明了周圍所有的邊緣的錯誤（圖13）。最后，在頭骨的邊緣附近，混合多項式算法有不準(zhǔn)確性，但它很好地處理了暗區(qū)（圖14）。整體結(jié)果在四個數(shù)據(jù)集的平均（見表1的最后一列），最準(zhǔn)確的算法通過三維數(shù)據(jù)陣列產(chǎn)生斜面，是混合多項式算法（當(dāng)），此時

15、，產(chǎn)生比接近算法少16的平均誤差?；旌先鼐€性算法做得非常好，產(chǎn)生比接近算法少14平均誤差。接近算法產(chǎn)生合理的準(zhǔn)確平面，產(chǎn)生比連續(xù)多項式算法小7的平均誤差，并且比連續(xù)三線性算法更好約1。三線算法的表現(xiàn)優(yōu)于多項式算法，但是它沒能足夠好地處理間斷點，以產(chǎn)生與混合算法一樣好的結(jié)果。算術(shù)平均算法產(chǎn)生特別差的結(jié)果，由于它周圍的任何形式的間斷性，使得產(chǎn)生大的誤差。優(yōu)勢與劣勢混合多項式算法是靈活的，可以很容易地擴大到處理任意大小的數(shù)據(jù)陣列。它可以通過任何一點以任何角度切一片區(qū)域。此外，它在平滑區(qū)域插值是有效的，但仍保留了原始數(shù)據(jù)中邊緣的清晰度。即使最近的點是錯誤的一邊的間斷的點，圖像仍然是定性正確的：它顯示了一個尖銳的邊緣。閾值常數(shù)允許用戶隨便選擇平滑性?；旌纤惴▽㈠e過數(shù)據(jù)中小的間斷點，而且它不搜索不可微點。如果有尖點存在，算