2017屆高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 6.7 數(shù)學(xué)歸納法課件 理

1、,第六章 不等式、推理與證明,第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法,最新考綱 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。,J 基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取 時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n 時(shí)命題也成立。 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。,第1個(gè)值n0(n0N),k1,判一判 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立。( ) 解析 錯(cuò)誤。第一步驗(yàn)證當(dāng)n取初始值n0時(shí)結(jié)論成立

2、，但是n0不一定為1。 (2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明。( ) 解析 錯(cuò)誤。不一定。 (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用。( ) 解析 錯(cuò)誤。歸納假設(shè)必須用。,(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)。( ) (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223。( ) 解析 正確。,練一練,解析 邊數(shù)最小的凸多邊形是三角形。 答案 C,3某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk(kN)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得( ) An6時(shí)該

3、命題不成立 Bn6時(shí)該命題成立 Cn4時(shí)該命題不成立 Dn4時(shí)該命題成立,解析 因?yàn)楫?dāng)nk(kN)時(shí)命題成立，則當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立?，F(xiàn)n5時(shí)，命題不成立，故n4時(shí)命題也不成立。 答案 C,解析 nk1時(shí)，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，應(yīng)增乘2(2k1)。 答案 B,R 熱點(diǎn)命題 深度剖析,【規(guī)律方法】 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題是常見(jiàn)題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，以及初始值n0的值。 (2)由nk到nk1時(shí)，除考慮等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用nk時(shí)的式子

4、，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問(wèn)題得以證明。,變式訓(xùn)練1 f(n)1(nN)。 求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN)。,【例2】 設(shè)實(shí)數(shù)c0，整數(shù)p1，nN*。 (1)證明：當(dāng)x1且x0時(shí)，(1x)p1px； 【證明】 用數(shù)學(xué)歸納法證明。 當(dāng)p2時(shí)，(1x)212xx212x，原不等式成立。 假設(shè)pk(k2，kN*)時(shí)，不等式(1x)k1kx成立。 當(dāng)pk1時(shí)，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x。 所以pk1時(shí)，原不等式也成立。 綜合可得，當(dāng)x1且x0時(shí)，對(duì)一切整數(shù)p1，不等式(1x)p1px均成立。,【規(guī)律方

5、法】 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法。 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明。,【規(guī)律方法】 歸納猜想證明類問(wèn)題的解題步驟 (1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性。 (2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”，高中階段該部分與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題。,變式訓(xùn)練3 數(shù)列an滿足Sn2nan(nN)， (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；,(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想。,S 思想方法 感悟提升,1種方法尋找遞推關(guān)系的方法 (1)在第一步驗(yàn)證時(shí)，不妨多計(jì)算幾項(xiàng)，并爭(zhēng)取正確寫出來(lái)，這樣對(duì)發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的。 (2)探求數(shù)列通項(xiàng)公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個(gè)位置。 (3)在書(shū)寫f(k1)時(shí)，一定要把包含f(k)的式子寫出來(lái)，尤其是f(k)中的最后一項(xiàng)，除此之外，多了哪些項(xiàng)，少了哪些項(xiàng)都要分析清楚。 3個(gè)注意點(diǎn)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題 (1)