第一章地球橢球的基本公式

1、1,地圖投影Map Projections,蒲英霞 南京大學地理信息科學系 2009年9月,2,第一章 地球橢球體的基本公式,3,地球橢球體的形狀和大小 地球橢球面上的基本點、線、面和地理坐標 子午圈、卯酉圈曲率半徑及平均曲率半徑 地球球半徑 經線弧長 緯線弧長 地球橢球面上的梯形面積,4,大地水準面與大地體（Geoid）,設想當海水面完全處于靜止狀態(tài)下，并延伸到大陸內部，使它成為一個處處與鉛垂線（重力線）正交的連續(xù)的閉合曲面，這個曲面叫做大地水準面。由它所包圍的球體，叫做大地體。,1.1 地球橢球體的形狀和大小,大地水準面仍然不是一個規(guī)則的曲面，而是一個起伏不平的重力等位面，即地球物理表面。

2、,5,高程基準是推算國家統(tǒng)一高程控制網中所有水準高程的起算依據，它包括一個水準基面和一個永久性水準原點。其中水準基面在理論上通常采用大地水準面，實際上是取驗潮站長期觀測結果計算出來的平均海面來確定的。 中國以青島港驗潮站的長期觀測資料推算出的黃海平均海面作為中國的水準基面，即零高程面。 中國水準原點建立在青島驗潮站附近，并構成原點網。用精密水準測量測定水準原點相對于黃海平均海面的高差，即水準原點的高程，定為全國高程控制網的起算高程。,大地水準面的作用高程基準,6,地球橢球面與地球橢球體(Ellipsoid),選擇一個大小和形狀同大地水準面極為接近的，以橢圓短軸為旋轉軸的旋轉橢球面。這個旋轉橢球

3、面可代表地球的形狀，又稱為地球橢球面或參考橢球面（原面）。由它所圍成的球體，稱為地球橢球體或地球橢球。,7,地球橢球體的形狀和大小,扁 率(Flattening or Compression),第一偏心率(First Eccentricity),第二偏心率(Second Eccentricity),8,第一偏心率和第二偏心率之間的關系：,9,世界各國常用的地球橢球體數據,10,1952年以前采用海福特橢球體 從1953年起采用克拉索夫斯基橢球體 1980年國家大地坐標系采用的地球橢球體（1975年大地坐標系）的參數：ae= 6378140，扁率為1：298.257 2008年7月1日起啟用20

4、00國家大地坐標系，具體參數為： ae = 6378137，be=6356752.31414 , 扁率為1：298.257222101,我國采用的橢球體：,11,1980西安坐標系,1954年北京坐標系,2000國家大地坐標系,12,1.2 地球橢球面的基本點、線、面和地理坐標,平行圈(parallel),子午圈(meridian) : 長半徑為ae，短半徑為be的橢圓,緯線(parallel),地理經度(longitude),地理緯度,點,兩極 (pole),線,地理緯度(latitude ),經線(meridian),面,地理坐標,13,子午圈,卯酉圈,1.3 子午圈、卯酉圈曲率半徑及平均

5、曲率半徑,通過地面任一點的法線可以有無數法截弧，它們 與橢球面相交則形成無數法截弧，其中有一對互相垂直的法截弧，稱為主法截弧。主法截弧都是橢圓，其中一個是子午圈。,與子午圈垂直的另一個圈稱為卯酉圈。地球橢球面上的子午圈始終代表南北方向；卯酉圈除了兩個極點外，代表東西方向。,14,子午圈曲率半徑(radius of curvature in meridian)(M) ：地球橢球體表面上某點法截弧曲率半徑中最小的曲率半徑。,卯酉圈曲率半徑(radius of curvature in prime vertical)：地球橢球體表面上某點法截弧曲率半徑中最大的曲率半徑 (N) 。,15,子午圈曲率半

6、徑(M)和卯酉圈曲率半徑（N）之間的關系,在赤道上：,在極點上：,子午圈曲率半徑(M)和卯酉圈曲率半徑（N）除在兩極處相等外，在其它緯度相同的情況下，同一點上卯酉圈曲率半徑均大于子午圈曲率半徑。,16,曲率和曲率半徑,設一曲線的直角坐標方程是y=f(x)，且f(x)具有二階導數。則該曲線的曲率為：,曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數。,17,三軸平均球半徑：橢球體三個半軸取平均數,等面積球半徑：球體的面積等于地球橢球體的面積,等體積球半徑：球體的體積等于地球橢球體的體積,1.4 地球球半徑,18,1.5 經線弧長,設在經線上有一點A，其緯度為1 ，當A點沿經線移動一無限小距離達

7、到A點時，緯度增加d，設A點的經線曲率半徑為M，則經線上這一微分弧AA為,如果求 1至2一段經線弧長，可將上式積分，即,19,將子午圈曲率半徑M帶入上式，經整理，最后得：,其中,同緯差的子午線弧長由赤道向兩極逐漸增長,緯差1的子午線弧長在赤道為110576m,在兩極為111695m。,20,1.6 緯線弧長,在地球橢球體上，緯圈是圓。若求緯線上兩點間經差為（2-1）的一段弧長，可由下式求得：,同經差的緯線弧長由赤道向兩極縮短,經差1的緯線弧長在赤道為111321m，在緯度45處為78848m，在兩極為0。,21,1.7 地球橢球面上的梯形面積,設在地球橢球面上，有兩條無限靠近的經線和兩條無限靠

8、近的緯線，其經度為和+d ，緯度為 和d 。它們構成了一個微分梯形ABCD（如圖所示）。這個微分梯形的邊長為經線和緯線的微分弧長。因而有：,于是微分梯形的面積為：,經度為1和2的經線和緯度為1和2所圍成的球面梯形的面積，可由下式積分求得：,22,上式經過積分并加以整理，得：,其中,23,實習作業(yè),計算緯度為3230N的緯圈上某一點的子午圈曲率半徑（M）、卯酉圈曲率半徑（N）和緯圈半徑（r）。 計算從赤道（0）至3230N的經線弧長。 計算在3230N緯圈上從本初子午線（0）至11930E的緯線弧長。 計算球面梯形（30N35N，115E120E)的面積。 幾點注意事項： 比較克拉索夫斯基橢球體與2000國家大地坐標系中所采用的橢球體之間的區(qū)別； 變量名稱的定義統(tǒng)一； MajorRadius(a), MinorRadius(b), Eccentricity(e) MeridianRadius(M), PrimeVerticalRadius(N), Parall