第5章 語音信號的同態(tài)分析.ppt

1、第5章語音信號的同態(tài)分析 5.1概述 語音的數(shù)學模型：由準周期脈沖（濁音）或白噪聲（清音） 激勵一個線性時變系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出。 時變性：在一幀內(nèi)認為是不變的。 一幀語音信號 = 激勵源 (卷積) 線性時不變系統(tǒng)的沖激響應 語音分析的目的：將激勵源與線性時不變系統(tǒng)的沖激響應分 開來分別進行研究（即解卷積問題）。 激勵源：區(qū)分清音和濁音（濁音時還應確定基音頻率）。 線性時不變系統(tǒng)：了解聲道 特性、諧振參數(shù)。,兩類解卷積算法： 參數(shù)解卷：為線性系統(tǒng)建立模型，用估計的模型參數(shù)表示 。 線性預測分析就屬于參數(shù)解卷算法。 非參數(shù)解卷：無需建立線性系統(tǒng)模型的一類方法。 同態(tài)濾波就是其中的一種技術。 同態(tài)濾波是

2、一種非線性濾波，服從廣義疊加原理。 分離非加性組合信號（如乘性、卷積性組合），常采用同態(tài)濾波技術。 本章內(nèi)容：廣義疊加原理、卷積同態(tài)系統(tǒng)， 復倒譜分析及其應用,第5章語音信號的同態(tài)分析 5.2廣義疊加原理 線性系統(tǒng)：是由疊加原理定義的， 同態(tài)系統(tǒng)：由廣義疊加原理來定義。 疊加原理是廣義疊加原理的特例。 廣義疊加原理： H ：系統(tǒng)變換； ：系統(tǒng)的輸入矢量之間的運算，（加法、乘法、卷積等） ： 標量與輸入矢量之間的運算，（乘法、冪、開方等） 和：系統(tǒng)的輸出矢量空間中系統(tǒng)的相應運算。 若下式成立，稱系統(tǒng)H 滿足廣義疊加原理。 定義：滿足廣義疊加原理的系統(tǒng)為同態(tài)系統(tǒng)。,分類：同態(tài)系統(tǒng)以輸入、輸出矢量空

3、間中的運算來分類。 例：輸入運算、輸出運算的同態(tài)系統(tǒng)稱為,同態(tài)系統(tǒng) 本章只討論輸入和輸出運算相同的同態(tài)系統(tǒng)， 例：卷積同態(tài)系統(tǒng)，輸入和輸出運算都為卷積運算。 線性系統(tǒng)：同態(tài)系統(tǒng)的特例。 ,為矢量加法運算， ,為標量與矢量乘。 圖5.1：輸入運算,、輸出運算,的同態(tài)系統(tǒng)框圖。 系統(tǒng)變換H ：從輸入到輸出的矢量空間的代數(shù)線性變換。 線性矢量空間理論應用于同態(tài)系統(tǒng)，輸入、輸出運算需滿足矢量加法和標量乘法的代數(shù)公設。,圖5.2：同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式。 同態(tài)系統(tǒng)表示成三個子系統(tǒng)（皆同態(tài)系統(tǒng)）級聯(lián)。 服從下列的廣義疊加原理： 式中，,運算的特征系統(tǒng),運算的特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng),線性系統(tǒng)，決定該同態(tài)系統(tǒng)的特性.設

4、計的重點,第5章語音信號的同態(tài)分析 5.3卷積同態(tài)系統(tǒng) 卷積同態(tài)系統(tǒng)：運算和為卷積運算的同態(tài)系統(tǒng)。 圖5.3：卷積同態(tài)系統(tǒng)的規(guī)范形式。 將卷積組合信號分離，分別處理后，再組合成卷積運算。 組成：卷積特征系統(tǒng)（固定特性） 線性系統(tǒng)（與系統(tǒng)性能有關） 卷積特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)（固定特性）,卷積特征系統(tǒng)（固定特性）（圖5.4a）： 將卷積運算變?yōu)榧臃ㄟ\算，即： 式中， X1(z), X2(z) 分別為x1(n), x2(n)的z變換； 分別為 ln X1(z), ln X2(z)的反z變換。 作用：將卷積運算組合信號轉換成它們的復倒譜之和。 （復倒譜的定義見下節(jié)）,線性系統(tǒng) L ： 依應用領域的不同要求

5、和復倒譜 的特點設計： 或加強其中之一，削弱另一個信號； 或取出其中之一同時濾掉另一個信號。 對 進行線性濾波，即： 式中， 經(jīng)線性系統(tǒng)L 濾波后的輸出。,卷積特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)（固定特性） （圖5.4b）： 將加法運算變?yōu)榫矸e運算，即： 式中， 為 的z變換； 為 的反z變換。,介紹兩種卷積同態(tài)系統(tǒng)的典型應用實例： 語音信號分析 解混響。 語音信號分析 語音等于激勵源與聲道沖激響應的卷積（數(shù)字模型）： 分析目的：由語音信號估計激勵源和聲道沖激響應參數(shù)。 卷積同態(tài)系統(tǒng)適于這種分析。 解混響 混響環(huán)境中錄音，記錄下有用信號和若干回波信號，即： 式中，nk 第 k 個回波相對于有用信號 s(n) 的

6、時延； ak 第 k 個反射系數(shù)； 回響特性。,僅討論疊加一個回波信號的簡單情況， 相關表達式： 若 n1 小于 s(n) 的持續(xù)時間，采用卷積同態(tài)濾波器去掉回波。 將上式代人模型式，然后兩邊求 z 變換后再取對數(shù)，得： 兩邊再求反 z 變換，最后得： 式中， 濾除回波，設計梳形濾波器（特性如圖5.5所示） 經(jīng)梳形濾波器過濾，留下信號 ； 經(jīng)圖5.4的卷積特征系統(tǒng)的逆系統(tǒng)處理，得到有用信號s(n) 。,幅度迅速衰減的沖激序列，相鄰沖激之間相隔為n1 。,第5章語音信號的同態(tài)分析 5.4復倒譜和倒譜 定義： x(n) 的復倒譜（Cepstrurn）為： 時間序列的復倒譜是時間序列。 實序列的復倒

7、譜是一個實的時間序列。 復倒譜：也稱為復倒頻譜或對數(shù)復倒譜。 復倒譜的英文原文為Complex Cepstrum， Cepstrurn是詞，由Spectrum的前四個字母倒置而成。 有時，稱 所處的時域為“復倒譜域”。 定義： x(n) 的倒頻譜（對數(shù)倒頻譜）為 復倒譜：復對數(shù)運算；倒譜：實對數(shù)運算。 倒譜（復倒譜）量綱：quefrency（倒頻），新詞。,注意比較,復倒譜和倒譜的異同: 定義式：復倒譜 倒 譜 關系式：設 則 一個信號序列經(jīng)正、反兩個特征系統(tǒng)變換后， 復倒譜時，能還原信號序列； 倒譜時，不能還原信號序列。因計算時，丟失相位信息。 復倒譜涉及兩個待解 決的理論問題， 復對數(shù)的多

8、值性； 復對數(shù)的解析性。,復對數(shù)的多值性和解析性： x(n) 的 z 變換表示為： 因 ( k 為整數(shù))是周期函數(shù)，故有： 即：X(z) 對應于無窮多個 。不滿足變換的唯一性。 解決辦法：取主值，將幅角對取模得到主值相位，即 式中， 表示對求模運算。 復倒譜式可改寫為： 上式滿足唯一性，但單位圓上不是的連續(xù)函數(shù)， 與 的解析性相違復對數(shù)的。,關于 的連續(xù)性： 為使 是的連續(xù)函數(shù)，要求 X(z) 在單位圓上無零、極點。 為了避免復對數(shù)的多值性，采用了主值相位ARG X(ej)，致使的連續(xù)性得不到保證。 可在黎曼曲面上，重新定義復對數(shù)，幅角在（-,+ ）范圍內(nèi)可以連續(xù)取值而無間斷點。（細節(jié)參見數(shù)學

9、教科書）,第5章語音信號的同態(tài)分析 5.5類語音信號的復倒譜分析 兩類序列的復倒譜：有理 z 變換序列、周期脈沖序列。 5.5.1有理 z 變換序列 一類序列的有理 z 變換： 在單位圓上無零極點。 A 系數(shù)，假定為正。 z-r 序列相對于時間原點的延時，假定該項可估計并去掉 將上式求復對數(shù)，得：（見下頁）,取對數(shù)： 對數(shù)展開式： 利用對數(shù)展開式，改寫上式為 z 的冪級數(shù)的形式， 其系數(shù)為逆 z 變換。 因此，可得與有理 X(z) 有關的復倒譜：（見下頁）,有理 z 變換序列的復倒譜： 的結論： 雙邊序列，定義(-,+)。 衰減序列， 隨 的增大而減小。 衰減的速度至少比 快。 故， 比 更集

10、中于原點附近（更具短時性）。 用短時窗提取聲道響應序列的復倒譜是很有效的。 最小相位序列的復倒譜是因果序列。 若 x(n) 是最小相位序列（零極點均在 z 平面單位圓內(nèi)）。 此時，n0，有值（因果序列）。 最大相位序列的復倒譜是反因果序列。 若x(n) 是最大相位序列，（零極點均在 z 平面單位圓外）。 此時， n 0，有值（反因果序列）,5.5.2脈沖序列 脈沖序列:加權值變化的等間距單位抽樣脈沖串 式中，m，k，N正整數(shù)，k幅度因子； 求 p(n) 的復倒譜：先進行 z 變換 若 p(n) 是最小相位，假定， 利用對數(shù)展開式 ，上式改寫為：,對上式進行逆 z 變換，得到復倒譜： 上式是間隔

11、 N 個樣點的單位抽樣無限長右邊序列。 可證：非最小相位序列，其復倒譜是均勻間隔的雙邊脈沖串。 結論：間隔 N 的沖激序列的復倒譜是間隔為 N 的沖激序列。,第5章語音信號的同態(tài)分析 5.6復倒譜的計算方法 計算復倒譜的方法：按定義計算、最小相位序列計算、導數(shù)計算、遞推計算等。 5.6.1按復倒譜定義計算 圖5.6：用復倒譜定義計算的方框圖。 用DFT代替 z 變換。 x(n)是 N 長時間序列， X(k)x(n)的N 點DFT， N 長序列， 由于 是 在一個周期內(nèi) N 個等間隔頻點的樣本， 其逆DFT（IDFT）是 以 N 為周期的延拓序列， 用 表示：,由于 是 在一個周期內(nèi) N 個等間

12、隔頻點的樣本， 其逆DFT（IDFT）是 以 N 為周期的延拓序列， 用 表示： 圖5.6：計算得不到真正的復倒譜，是復倒譜周期延拓。 有混疊失真。 由于 的幅度衰減很快（至少以 的速度衰減）， 當 N 值較大時混疊失真很小。 若 N 值不夠大，可在序列后面添加零樣本， 以使 能夠較好地逼近 。,按定義計算復倒譜時需注意問題： (1) DFT、IDFT常用FFT算法，以提高速度。 (2)相位展開。設 則： 幅角主值間斷，需恢復瞬時相位 （相位展開），相位展開方法很多； 瞬時相位是的連續(xù)函數(shù)， 圖5.7：主值相位疊加校正相位法。 簡單分析，可得下頁的校正方法， 推導過程（略）。,相位展開公式：

13、(3)符號校正。計算復倒譜時，需判明 A 的符號。 計算式為： 推導過程（略）。,(4)線性相位的貢獻有規(guī)律，為簡化計算，常將其移去。 方法：得到 X(k) 后乘以 ，即 需確定 r 值，經(jīng)推導可得（過程略）： 綜上，按定義 計算復倒譜的 方框圖如圖5.8。,5.6.2最小相位序列的復倒譜的計算 信號為最小相位序列時，按定義計算復倒譜法可簡化。 設 x(n) 是實最小相位序列，則其復倒譜必為實因果序列。 將序列 表示成偶序列和奇序列之和，即： 式中， 由于 是因果的，即 ；因此，可得 ，式中 可由其偶序列或奇序列（包含 在內(nèi)）恢復出。,設 的Fourier變換用 表示，顯然有： 由Fourie

14、r變換性質知， 與 構成Fourier變換對。 圖5.9：給出最小相位序列時的復倒譜計算方法。 各計算式為： 式中，,注：用DFT計算， 不同于 ， 因而 不同于 。 差別： 由連續(xù)函數(shù)變換得到， 是由離散序列 求IDFT得到的， 是在等間隔頻率點上對 取樣得到， 所以， 是 以周期 N 進行延拓結果，即 必產(chǎn)生混疊失真。 由于 隨 n 值增加而迅速衰減，只要 N 值選擇得足夠大， 則混疊失真可忽略。 是近似解。,5.6.3復對數(shù)求導數(shù)計算法 對定義式 的兩端求導數(shù)并乘以 z，得： 由時域序列的線性加權與 z 域導數(shù)的關系及對上式右邊用圍線積分法求逆 z 變換，得： 于是有： 式中，c 是收斂

15、域中的閉合曲線。 若收斂域包括單位圓，則有：,由于 ，令n = 0，得： 綜上，計算復倒譜的步驟歸納如下： (1) 計算 (2) 計算 (3) 計算,在應用中，x(n) 是有限長序列，要用DFT代替Fourier變換。 設x(n)是長為 N 的序列，上面的計算步驟改變?nèi)缦拢?(1) 計算 (2) 計算 (3) 計算 算法避免了計算復對數(shù)，代價是產(chǎn)生了更嚴重的混疊失真。 可證，這種方法的計算結果是： 結論：若精確計算相位特性，用定義法計算復倒譜，性能好。,5.6.4遞推計算方法 上節(jié)式 改寫成： 考慮到 z 變換的關系式 及 z 域乘等于時域卷積的性質，對上式兩邊取逆 z 變換，得： 由上式可導

16、出遞推計算方法。分： 最小相位序列的復倒譜遞推計算； 最大相位序列的復倒譜遞推計算 。,最小相位序列的復倒譜遞推計算 最小相位序列為因果序列，則 代入上頁遞推式，得 結合式 ，由上式可解出：,最大相位序列的復倒譜遞推計算 采用與最小相位的類似推導方法，可得最大相位的 遞推公式：,mi+mo+1長的有限長序列，其 z 變換為： 采用類似的推導方法，可得遞推公式： 可以證明（略），只需求出的前 mi+mo+1 個值就足以代表x(n)。,5.7語音信號的倒譜分析 圖5.10：濁音的同態(tài)處理實例（10kHz取樣， 256樣點Hamming窗） 該段語音的基音周期為45樣點。 圖5.11：（同樣條件下）清音的同態(tài)處理示例。 結論： 濁