線性代數(shù)PPT課件(最新版)同濟大學(xué)

1、線性代數(shù)（第五版）2013.12.14修改匯總,修改人：xiaobei93521,在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組. 但是，從許多實踐或理論問題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量，并且未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)也不一定相等.,3,我們先討論未知量的個數(shù)與方程的個數(shù)相等的特殊情形. 在討論這一類線性方程組時，我們引入行列式這個計算工具.,4,第一章 行列式,內(nèi)容提要 1 二階與三階行列式 2 全排列及其逆序數(shù) 3 n 階行列式的定義 4 對換 5 行列式的性質(zhì) 6 行列式按行（列）展開 7 克拉默法則,行列式的概念.,行列式的性質(zhì)及計算., 線性方程組的求解.,（選學(xué)內(nèi)

2、容）,行列式是線性代數(shù)的一種工具！ 學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計算行列式的值.,1 二階與三階行列式,我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探 求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式.,一、二元線性方程組與二階行列式,二元線性方程組,由消元法，得,當(dāng) 時，該方程組有唯一解,求解公式為,二元線性方程組,請觀察，此公式有何特點？ 分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定. 分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再 相減而得.,其求解公式為,二元線性方程組,我們引進新的符號來表示“四個數(shù)分成兩對相乘再相減”.,記號,數(shù)表,表達式 稱為由該 數(shù)表所確定的二階行列式，即,其中， 稱為元素.,i 為行標(biāo)，表明元素位于第i 行； j 為

3、列標(biāo)，表明元素位于第j 列.,原則：橫行豎列,二階行列式的計算,主對角線,副對角線,即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積,對角線法則,二元線性方程組,若令,(方程組的系數(shù)行列式),則上述二元線性方程組的解可表示為,例1,求解二元線性方程組,解,因為,所以,二、三階行列式,定義 設(shè)有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表,原則：橫行豎列,引進記號,稱為三階行列式.,主對角線,副對角線,二階行列式的對角線法則并不適用！,三階行列式的計算,對角線法則,注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式.,實線上的三個元素的乘積冠正號， 虛線上的三個元素的乘積冠負(fù)號.,例2 計算行列式,解,按對角線法則，有,方程左端

4、,解,由 得,例3 求解方程,2 全排列及其逆序數(shù),引例,用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3種放法,十位,1,2,3,1,個位,1,2,3,2種放法,1種放法,種放法.,共有,問題 把 n 個不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？,定義 把 n 個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素的全排列. n 個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn 表示.,顯然,即n 個不同的元素一共有n! 種不同的排法.,所有6種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前. 因此大部

5、分的排列都不是“順序”，而是“逆序”.,3個不同的元素一共有3! =6種不同的排法,123，132，213，231，312，321,20,對于n 個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序. n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.,定義 當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時， 就稱這兩個元素組成一個逆序.,例如 在排列32514中，,3 2 5 1 4,思考題：還能找到其它逆序嗎？,答：2和1，3和1也構(gòu)成逆序.,定義 排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).,排列 的逆序數(shù)通常記為 .,奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.,偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.,思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶

6、排列？,答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列.,計算排列的逆序數(shù)的方法,則此排列的逆序數(shù)為,設(shè) 是 1, 2, , n 這n 個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 先看有多少個比 大的數(shù)排在 前面，記為 ； 再看有多少個比 大的數(shù)排在 前面，記為 ; 最后看有多少個比 大的數(shù)排在 前面，記為 ;,例1：,求排列 32514 的逆序數(shù).,解：,練習(xí)：,求排列 453162 的逆序數(shù).,解：,3 n 階行列式的定義,一、概念的引入,規(guī)律： 三階行列式共有6項，即3!項 每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積 每一項可以寫成 （正負(fù)號除外），其中 是1、2

7、、3的某個排列. 當(dāng) 是偶排列時，對應(yīng)的項取正號； 當(dāng) 是奇排列時，對應(yīng)的項取負(fù)號.,所以，三階行列式可以寫成,其中 表示對1、2、3的所有排列求和.,二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形.,二、n 階行列式的定義,n 階行列式共有 n! 項 每一項都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積 每一項可以寫成 （正負(fù)號除外），其中 是1, 2, , n 的某個排列. 當(dāng) 是偶排列時，對應(yīng)的項取正號； 當(dāng) 是奇排列時，對應(yīng)的項取負(fù)號.,簡記作 ， 其中 為行列式D的(i, j)元,思考題： 成立嗎？,答：符號 可以有兩種理解： 若理解成絕對值，則 ； 若理解成一階行列式，則 .,注意：

8、當(dāng)n = 1時，一階行列式|a| = a，注意不要與絕對值的記號相混淆. 例如：一階行列式 .,例：,寫出四階行列式中含有因子 的項.,例：,計算行列式,解：,和,解：,其中,四個結(jié)論：,(1) 對角行列式,(2),(3) 上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為0）,(4) 下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為0）,思考題：用定義計算行列式,解：用樹圖分析,-1,1,3,3,1,2,3,-1,-2,-2,-1,故,35,思考題,已知 ，求 的系數(shù).,故 的系數(shù)為1.,解,含 的項有兩項，即,對應(yīng)于,4 對換,一、對換的定義,定義,在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的

9、手續(xù)叫做對換,將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換,例如,備注 相鄰對換是對換的特殊情形. 一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn). 如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了.,二、對換與排列奇偶性的關(guān)系,定理1對換改變排列的奇偶性.,證明,先考慮相鄰對換的情形,注意到除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變.,當(dāng) 時， ， ， .,當(dāng) 時， ， ， .,因此相鄰對換改變排列的奇偶性.,既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么,因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變.,推論,奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)， 偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).,由定理1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次

10、數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為零)，因此可知推論成立.,證明,因為數(shù)的乘法是可以交換的，所以 n 個元素相乘的次序是可以任意的，即,每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列 與 都同時作一次對換，即 與 同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.,于是 與 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù).,即 是偶數(shù).,因為對換改變排列的奇偶性， 是奇數(shù)， 也是奇數(shù).,設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 .,所以 是偶數(shù)，,因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.,設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為,經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多

11、次對換還是如此. 所以，在一系列對換之后有,定理2 n 階行列式也可定義為,定理3 n 階行列式也可定義為,例1 試判斷 和,是否都是六階行列式中的項.,所以 是六階行列式中的項.,行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和,所以 不是六階行列式中的項.,例2 用行列式的定義計算,解,1. 對換改變排列奇偶性,2. 行列式的三種表示方法,三、小結(jié),5 行列式的性質(zhì),一、行列式的性質(zhì),行列式 稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式.,若記 ，則 .,記,性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即 .,性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,證明,根據(jù)行列式的定義，有,若記 ，則,行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的

12、對列也同樣成立.,性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）,行列式變號.,驗證,于是,推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.,證明,互換相同的兩行，有 ，所以 .,備注：交換第 行（列）和第 行（列），記作 .,性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù) ，等于用數(shù) 乘以此行列式.,驗證,我們以三階行列式為例. 記,根據(jù)三階行列式的對角線法則，有,備注：第 行（列）乘以 ，記作 .,推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面,備注：第 行（列）提出公因子 ，記作 .,驗證,我們以4階行列式為例.,性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列

13、式為零,性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和, 例如：,則,驗證,我們以三階行列式為例.,性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變,則,驗證,我們以三階行列式為例. 記,備注：以數(shù) 乘第 行（列）加到第 行（列）上，記作 .,例,二、應(yīng)用舉例,計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為 上三角形行列式，從而算得行列式的值,解,例2 計算 階行列式,解,將第 列都加到第一列得,例3 設(shè),證明,證明,對 作運算 ，把 化為下三角形行列式,設(shè)為,對 作運算 ，把 化為下三角形行列式,設(shè)為,對 D 的前 k 行作運算 ，再對后 n 列

14、作運算 ， 把 D 化為下三角形行列式,故,(行列式中行與列具有同等的地位, 凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立).,計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值,三、小結(jié),行列式的6個性質(zhì),計算4階行列式,思考題,思考題解答,解,6 行列式按行(列)展開,對角線法則只適用于二階與三階行列式. 本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.,一、引言,結(jié)論 三階行列式可以用二階行列式表示.,思考題 任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？,例如,把 稱為元素 的代數(shù)余子式,在n 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃后，留下來的n1階

15、行列式叫做元素 的余子式，記作 .,結(jié)論 因為行標(biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列 式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式.,引理 一個n 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘積，即 ,例如,即有,又,從而,下面再討論一般情形.,分析,當(dāng) 位于第1行第1列時,（根據(jù)P.14例10的結(jié)論）,我們以4階行列式為例.,思考題：能否以 代替上述兩次行變換？,思考題：能否以 代替上述兩次行變換？,答：不能.,被調(diào)換到第1行，第1列,二、行列式按行（列）展開法則,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,

16、同理可得,例（P.12例7續(xù)）,證明 用數(shù)學(xué)歸納法,例 證明范德蒙德(Vandermonde)行列式,所以n=2時(1)式成立.,假設(shè)(1)對于n1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行 減去前行的 倍：,按照第1列展開，并提出每列的公因子 ，就有,n1階范德蒙德行列式,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,分析 我們以3階行列式為例.,把第1行的元素?fù)Q成第2行的對應(yīng)元素，則,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即,綜上所述，

17、有,同理可得,例 計算行列式,解,例 設(shè) , 的 元的余子式和 代數(shù)余子式依次記作 和 ，求,分析 利用,及,解,7 克拉默法則,二元線性方程組,若令,(方程組的系數(shù)行列式),則上述二元線性方程組的解可表示為,一、克拉默法則,如果線性方程組,的系數(shù)行列式不等于零，即,其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即,那么線性方程組(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成,定理中包含著三個結(jié)論：,方程組有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 解可以由公式(2)給出.,這三個結(jié)論是有聯(lián)系的. 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)

18、行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論.,關(guān)于克拉默法則的等價命題,定理4 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的 .,定理4 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.,設(shè),例 解線性方程組,解,線性方程組,常數(shù)項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線性方程組.,齊次線性方程組總是有解的，因為(0,0, 0)就是一個解，稱為零解. 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解.,我們關(guān)心的問題是，齊次線性方程組除零解以外是否存在著非零解.,齊次線性方程組的相關(guān)定理,定理5 如果齊次線性方程組的系數(shù)行列

19、式 ，則齊次 線性方程組只有零解，沒有非零解.,定理5 如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.,備注 這兩個結(jié)論說明系數(shù)行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件. 在第三章還將證明這個條件也是充分的. 即： 齊次線性方程組有非零解 系數(shù)行列式等于零,練習(xí)題：問 取何值時，齊次方程組,有非零解？,解,如果齊次方程組有非零解，則必有 .,所以 時齊次方程組有非零解.,思考題,當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為何？,答：當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時，不能用克拉默法 則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解.,1. 用克拉默

20、法則解線性方程組的兩個條件,(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；,(2)系數(shù)行列式不等于零.,2. 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解 和已知的系數(shù)以及常數(shù)項之間的關(guān)系它主要適用于 理論推導(dǎo),三、小結(jié),第二章 矩陣及其運算,1 矩陣,一、矩陣概念的引入 二、矩陣的定義 三、特殊的矩陣 四、矩陣與線性變換,例 某航空公司在 A、B、C、D 四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.,B,A,C,D,城市間的航班圖情況常用表格來表示:,一、矩陣概念的引入,為了便于計算，把表中的改成1，空白地方填上0，就得到一個數(shù)表：,A B C D,A B C D,這個

21、數(shù)表反映了四個城市之間交通聯(lián)接的情況.,其中aij 表示工廠向第 i 家商店 發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可 用數(shù)表表示為：,這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,由 mn 個數(shù) 排成的 m 行 n 列的數(shù)表,稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣,記作,二、矩陣的定義,簡記為,元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.,這 mn 個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.,行數(shù)不等于列數(shù) 共有mn個元素 本質(zhì)上就是一個數(shù)表,行數(shù)等于列數(shù) 共有n2個元

22、素,矩陣,行列式,行數(shù)與列數(shù)都等于 n 的矩陣，稱為 n 階方陣可記作 . 只有一行的矩陣 稱為行矩陣(或行向量) . 只有一列的矩陣 稱為列矩陣(或列向量) . 元素全是零的矩陣稱為零距陣可記作 O .,例如：,三、特殊的矩陣,形如 的方陣稱為對角陣 特別的，方陣 稱為單位陣,記作,記作 ,同型矩陣與矩陣相等的概念,兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時，稱為同型矩陣.,例如,為同型矩陣.,兩個矩陣 與 為同型矩陣，并且對應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣 A 與 B 相等，記作 A = B .,注意：不同型的零矩陣是不相等的.,例如,表示一個從變量 到變量 線性變換， 其中 為常數(shù).,四、矩陣與線性變換,

23、n 個變量 與 m 個變量 之間的 關(guān)系式,系數(shù)矩陣,線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.,例 線性變換,稱為恒等變換.,單位陣 En,投影變換,例 2階方陣,以原點為中心逆時針 旋轉(zhuǎn)j 角的旋轉(zhuǎn)變換,例 2階方陣,2 矩陣的運算,例 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店 發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：,試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量,其中aij 表示上半年工廠向第 i 家 商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,其中cij 表示工廠下半年向第 i 家 商店發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量,一、矩陣的加法,定義：設(shè)有兩個 mn 矩陣 A = (aij

24、)，B = (bij) ，那么矩陣 A 與 B 的和記作 AB，規(guī)定為,說明：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.,知識點比較,矩陣加法的運算規(guī)律,設(shè) A、B、C 是同型矩陣,設(shè)矩陣 A = (aij) ，記A = (aij)，稱為矩陣 A 的負(fù)矩陣 顯然,設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各 l 件，試求：工廠向該商 店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量,例（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價及單件重量可列成數(shù)表：,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,解：工廠向該商店發(fā)送第 j 種貨物的總值及總重量,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價， bi 2

25、表示第 i 種貨物的單件重量,二、數(shù)與矩陣相乘,定義：數(shù) l 與矩陣 A 的乘積記作 l A 或 A l ，規(guī)定為,數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律,設(shè) A、B是同型矩陣，l , m 是數(shù),矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.,知識點比較,其中aij 表示工廠向第 i 家商店 發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,例（續(xù)） 某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物 數(shù)量可用數(shù)表表示為：,這四種貨物的單價及單件重量也可列成數(shù)表：,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量,解：,以 ci1， ci2 分別表示工廠向第 i 家商

26、店所發(fā)貨物的總值及 總重量，其中 i = 1, 2, 3于是,其中aij 表示工廠向第 i 家商店 發(fā)送第 j 種貨物的數(shù)量,其中bi 1 表示第 i 種貨物的單價， bi 2 表示第 i 種貨物的單件重量,可用矩陣表示為,一般地，,一、矩陣與矩陣相乘,定義：設(shè) ， ，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個 mn 矩陣 ，其中,并把此乘積記作 C = AB,例：設(shè),則,知識點比較,有意義.,沒有意義.,只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù) 等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.,例 P.35例5,結(jié)論： 矩陣乘法不一定滿足交換律. 矩陣 ，卻有 ， 從而不能由 得出 或 的結(jié)論,矩陣乘法的運算規(guī)律,

27、(1) 乘法結(jié)合律,(3) 乘法對加法的分配律,(2) 數(shù)乘和乘法的結(jié)合律 （其中 l 是數(shù)）,(4) 單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即,推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣 lE 與任何同階方陣都是可交換的.,純量陣不同于對角陣,(5) 矩陣的冪 若 A 是 n 階方陣，定義,顯然,思考：下列等式在什么時候成立？,A、B可交換時成立,四、矩陣的轉(zhuǎn)置,定義：把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT .,例,轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì),例：已知,解法1,解法2,定義：設(shè) A 為 n 階方陣，如果滿足 ，即 那么 A 稱為對稱陣.,如果滿足 A = AT，那么

28、A 稱為反對稱陣.,對稱陣,反對稱陣,例：設(shè)列矩陣 X = ( x1, x2, , xn )T 滿足 X T X = 1，E 為 n 階單位陣，H = E2XXT，試證明 H 是對稱陣，且 HHT = E.,證明：,從而 H 是對稱陣,五、方陣的行列式,定義：由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 A 的行列式，記作|A|或detA.,運算性質(zhì),證明：要使得 |AB| = |A| |B| 有意義，A、B 必為同階方陣， 假設(shè) A = (aij)nn，B = (bij)nn .,我們以 n= 3 為例，構(gòu)造一個6階行列式,令 ，則 C = (cij)= AB ,從而 ,定義：行列式 |A|

29、 的各個元素的代數(shù)余子式 Aij 所構(gòu)成的如下矩陣 稱為矩陣 A 的伴隨矩陣.,元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第 i 列,性質(zhì),性質(zhì),證明,（設(shè)A，B 為復(fù)矩陣，l 為復(fù)數(shù)，且運算都是可行的）：,六、共軛矩陣,運算性質(zhì),當(dāng) 為復(fù)矩陣時，用 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記， 稱為 的共軛矩陣.,3 逆矩陣,矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運算. 矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運算呢？ 這就是本節(jié)所要討論的問題. 這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是 n 階方陣.,從乘法的角度來看，n 階單位矩陣 E 在同階方陣中的地位類似于 1 在復(fù)數(shù)中的地位 一個復(fù)數(shù) a 0的倒數(shù) a1可以用等式 a a1

30、 = 1 來刻劃. 類似地，我們引入,對于 n 階單位矩陣 E 以及同階的方陣 A，都有,定義： n 階方陣 A 稱為可逆的，如果有 n 階方陣 B，使得,這里 E 是 n 階單位矩陣.,根據(jù)矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式. 對于任意的 n 階方陣 A，適合上述等式的矩陣 B 是唯 一的（如果有的話）.,定義： 如果矩陣 B 滿足上述等式，那么 B 就稱為 A 的逆矩陣， 記作 A1 .,下面要解決的問題是： 在什么條件下，方陣 A 是可逆的？ 如果 A 可逆，怎樣求 A1 ？,結(jié)論： ，其中,定理：若 ，則方陣A可逆，而且,推論：若 ，則 .,元素 的代數(shù)余子式 位于第 j 行第

31、i 列,例：求二階矩陣 的逆矩陣.,例：求3階方陣 的逆矩陣.,解：| A | = 1，,則,方陣A可逆,此時，稱矩陣A為非奇異矩陣,定理：若方陣A可逆，則 ,推論： 如果 n 階方陣A、B可逆，那么 、 、 與AB也可逆，且,線性變換,的系數(shù)矩陣是一個n 階方陣 A ，若記,則上述線性變換可記作 Y = AX .,例：設(shè)線性變換的系數(shù)矩陣是一個 3 階方陣,記,則上述線性變換可記作 Y = AX 求變量 y1, y2, y3 到變量 x1, x2, x3的線性變換相當(dāng)于求方陣 A 的逆矩陣.,已知 ，于是 ，即,4 矩陣分塊法,前言,由于某些條件的限制，我們經(jīng)常會遇到大型文件無法上傳的情況，

32、如何解決這個問題呢? 這時我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳. 家具的拆卸與裝配 問題一：什么是矩陣分塊法？ 問題二：為什么提出矩陣分塊法？,問題一：什么是矩陣分塊法？,定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，這種操作 稱為對矩陣進行分塊； 每一個小塊稱為矩陣的子塊； 矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.,這是2階方陣嗎？,思考題,伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？ 答：不是伴隨矩陣的元素是代數(shù)余子式（一個數(shù)），而不 是矩陣,問題二：為什么提出矩陣分塊法？,答：對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣 A，運算時采用分塊法， 可以使大矩陣的運算化成小矩陣的運算， 體現(xiàn)了化整為零的思想.,分塊

33、矩陣的加法,若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即,則有,形式上看成是普通矩陣的加法！,分塊矩陣的數(shù)乘,若l 是數(shù)，且,則有,形式上看成是普通的數(shù)乘運算！,分塊矩陣的乘法,一般地，設(shè) A為ml 矩陣，B為l n矩陣 ，把 A、B 分塊如下：,按行分塊以及按列分塊,mn 矩陣 A 有m 行 n 列，若將第 i 行記作 若將第 j 列記作 則,于是設(shè) A 為 ms 矩陣，B 為 s n 矩陣， 若把 A 按行分塊，把 B 按列塊，則,分塊矩陣的轉(zhuǎn)置,若 ，則 例如：,分塊矩陣不僅形式上進行轉(zhuǎn)置， 而且每一個子塊也進行轉(zhuǎn)置,分塊對角矩陣,定義：設(shè) A 是 n 階矩陣，若 A 的分塊矩陣只有在

34、對角線上有非零子塊， 其余子塊都為零矩陣， 對角線上的子塊都是方陣， 那么稱 A 為分塊對角矩陣 例如：,分塊對角矩陣的性質(zhì),| A | = | A1 | | A2 | | As | 若| As | 0，則 | A | 0，并且,例:設(shè) ，求 A1 解：,例：往證 Amn = Omn的充分必要條件是方陣ATA = Onn 證明：把 A 按列分塊，有 于是 那么 即 A = O ,第三章 矩陣的初等變換與線性方程組,知識點回顧：克拉默法則,結(jié)論 1 如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解,而且解是唯一的.（P. 24定理4）,結(jié)論 1如果線性方程組無解或有兩個不同的解，

35、則它的系數(shù)行列式必為零. （P.24定理4）,設(shè),用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：,(1) 方程個數(shù)等于未知量個數(shù)；,(2) 系數(shù)行列式不等于零.,線性方程組的解受哪些因素的影響？,1 矩陣的初等變換,一、初等變換的概念 二、矩陣之間的等價關(guān)系 三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系 四、初等變換的應(yīng)用,引例：求解線性方程組,一、矩陣的初等變換,2,2,3, 2,5,3,2,取 x3 為自由變量，則,令 x3 = c ，則,恒等式,三種變換：,交換方程的次序，記作 ；,以非零常數(shù) k 乘某個方程，記作 ；,一個方程加上另一個方程的 k 倍，記作 .,其逆變換是：,結(jié)論： 由于對原線性方程組施行的變換

36、是可逆變換，因此變換前后的方程組同解. 在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知數(shù)并未參與運算,定義：下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：,對調(diào)兩行，記作 ；,以非零常數(shù) k 乘某一行的所有元素，記作 ；,某一行加上另一行的 k 倍，記作 .,其逆變換是：,把定義中的“行”換成“列”，就得到矩陣的初等列變換的定義,矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換,初等變換,初等行變換,初等列變換,增廣矩陣,結(jié)論： 對原線性方程組施行的變換可以轉(zhuǎn)化為對增廣矩陣的變換.,B5 對應(yīng)方程組為,令 x3 = c ，則,備注,帶有運算符的矩陣運算，用“ = ”例如： 矩陣加法 數(shù)乘矩陣、矩陣

37、乘法 矩陣的轉(zhuǎn)置 T（上標(biāo)） 方陣的行列式| 不帶運算符的矩陣運算，用“”例如： 初等行變換 初等列變換,有限次初等行變換,有限次初等列變換,行等價，記作,列等價，記作,二、矩陣之間的等價關(guān)系,有限次初等變換,矩陣 A 與矩陣 B 等價，記作,矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)： 反身性 ； 對稱性 若 ，則 ； 傳遞性 若 ，則 ,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,行最簡形矩陣： 非零行的第一個非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,行最簡形矩陣： 非零行的第一個非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元

38、素都為零.,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣： 左上角是一個單位矩陣，其它元素全為零.,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣由m、n、r三個參 數(shù)完全確定，其中 r 就是行階 梯形矩陣中非零行的行數(shù).,三者之間的包含關(guān)系,任何矩陣,行最簡形矩陣,行階梯形矩陣,標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,結(jié)論,定義：由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為 初等矩陣.,三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣. 對調(diào)單位陣的兩行（列）； (2)以常數(shù) k0 乘單位陣的某一 行（列）； (3)以 k 乘單位陣單位陣的某一 行（列）加到另一 行（列） ,三、初等變換與矩陣乘法的關(guān)系,(1) 對調(diào)單位陣的第 i, j 行（列），,記作 E5(3, 5),記作 Em( i, j ),(

39、2)以常數(shù) k0 乘單位陣第 i 行（列），,記作 E5(3(5),記作 Em(i(k),(3)以 k 乘單位陣第 j 行加到第 i 行,記作 E5(35(k),記作 Em(ij(k),以 k 乘單位陣第 i 列加到第 j 列,?,兩種理解！,結(jié)論,把矩陣A的第 i 行與第 j 行對調(diào)，即 .,把矩陣A的第 i 列與第 j 列對調(diào)，即 .,以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 行，即 .,以非零常數(shù) k 乘矩陣A的第 i 列，即 .,把矩陣A第 j 行的 k 倍加到第 i 行，即 .,把矩陣A第 i 列的 k 倍加到第 j 列，即 .,性質(zhì)1 設(shè)A是一個 mn 矩陣， 對 A 施行一次初等行變換，

40、相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣； 對 A 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.,口訣：左行右列.,初等變換,初等變換的逆變換,初等矩陣,?,因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,?,因為“對于n 階方陣A、B，如果AB = E，那么A、B都是 可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣”，,所以 ,一般地， ,?,初等變換,初等變換的逆變換,初等矩陣,初等矩陣的逆矩陣,

41、初等矩陣的逆矩陣是：,?,性質(zhì)2 方陣A可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣P1, P2, , Pl，使 A = P1 P2 , Pl ,這表明，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位陣. 其實，可逆矩陣的行最簡形矩陣也是單位陣,推論1 方陣 A 可逆的充要條件是 .,推論2 方陣 A 與 B 等價的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 及 n 階可逆矩陣 Q ，使 PAQ = B .,四、初等變換的應(yīng)用,解,例,即,初等行變換,例,解,2 矩陣的秩,一、矩陣的秩的概念,定義：在 mn 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k m，kn)， 位于這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處 的位置次

42、序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式,顯然，mn 矩陣 A 的 k 階子式共有 個,概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、余子式、代數(shù)余子式,與元素a12相對應(yīng)的余子式,相應(yīng)的代數(shù)余子式,矩陣 A 的一個 2 階子塊,矩陣 A 的一個 2 階子式,定義：設(shè)矩陣 A 中有一個不等于零的 r 階子式 D，且所有 r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A),規(guī)定：零矩陣的秩等于零,矩陣 A 的一個 3 階子式,矩陣 A 的 2 階子式,如果矩陣 A 中所有 2 階子式都等于零，那么這個 3 階子式也等于

43、零 ,定義：設(shè)矩陣 A 中有一個不等于零的 r 階子式 D，且所有 r +1 階子式（如果存在的話）全等于零，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記作 R(A),根據(jù)行列式按行（列）展開法則可知，矩陣 A 中任何一個 r +2 階子式（如果存在的話）都可以用 r +1 階子式來表示 如果矩陣 A 中所有 r +1 階子式都等于零，那么所有 r +2階子式也都等于零 事實上，所有高于 r +1 階的子式（如果存在的話）也都等于零 因此矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù),規(guī)定：零矩陣的秩等于零,矩陣 A 的秩就是 A 中非零子式的最高階數(shù),顯然， 若矩陣

44、 A 中有某個 s 階子式不等于零，則 R(A) s ； 若矩陣 A 中所有 t 階子式等于零，則 R(A) t 若 A 為 n 階矩陣，則 A 的 n 階子式只有一個，即|A| 當(dāng)|A|0 時， R(A) = n ; 可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱為滿秩矩陣 當(dāng)|A| = 0 時， R(A) n ; 不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱為降秩矩陣 若 A 為 mn 矩陣，則 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) ,矩陣 A 的一個 2 階子式,矩陣 AT 的一個 2 階子式,AT 的子式與 A 的子式對應(yīng)相等，從而 R(AT) = R(A) ,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解：在

45、A 中，2 階子式 ,A 的 3 階子式只有一個，即|A|，而且|A| = 0，因此 R(A) = 2 ,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解（續(xù)）：B 是一個行階梯形矩陣，其非零行有 3 行，因此其 4 階子式全為零,以非零行的第一個非零元為對角元的 3 階子式,，因此 R(B) = 3 ,還存在其它3 階非零子式嗎？,例：求矩陣 A 和 B 的秩，其中,解（續(xù)）：B 還有其它 3 階非零子式，例如,結(jié)論：行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù),二、矩陣的秩的計算,例：求矩陣 A 的秩，其中 ,分析：在 A 中，2 階子式 ,A 的 3 階子式共有 (個)， 要從40個子式中找出一個非零子式是

46、比較麻煩的,一般的矩陣，當(dāng)行數(shù)和列數(shù)較高時，按定義求秩是很麻煩的 .,行階梯形矩陣的秩就等于非零行的行數(shù).,一個自然的想法是用初等變換將一般的矩陣化為行階梯形矩陣.,兩個等價的矩陣的秩是否相等？,定理：若 A B，則 R(A) = R(B) ,證明思路： 證明 A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則 R(A)R(B) B 也可經(jīng)由一次初等行變換變?yōu)?A，則 R(B)R(A)，于是 R(A) = R(B) 經(jīng)過一次初等行變換的矩陣的秩不變，經(jīng)過有限次初等行變換的矩陣的秩仍然不變 設(shè) A 經(jīng)過初等列變換變?yōu)?B，則 AT 經(jīng)過初等行變換變?yōu)?BT ，從而 R(AT) = R(BT) 又 R(A) =

47、R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ,第 1 步： A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則R(A)R(B) ,證明： 設(shè) R(A) = r ，且 A 的某個 r 階子式 D 0 當(dāng) 或 時， 在 B 中總能找到與 D 相對應(yīng)的 r 階子式 D1 由于D1 = D 或 D1 = D 或 D1 = kD，因此 D1 0 ，從而 R(B) r 當(dāng) 時，只需考慮 這一特殊情形,返回,第 1 步： A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)?B，則R(A)R(B) ,證明（續(xù)）：分兩種情形討論： (1) D 中不包含 r1 中的元素 這時 D 也是 B 的 r 階非零子式，故 R(B) r

48、 (2) D 中包含 r1 中的元素 這時 B 中與 D 相對應(yīng)的 r 階子式 D1 為,若p = 2，則 D2 = 0，D = D1 0 ，從而 R(B) r ； 若p2，則 D1kD2 = D 0 ， 因為這個等式對任意非零常數(shù) k 都成立， 所以 D1、D2 不同時等于零， 于是 B 中存在 r 階非零子式 D1 或 D2，從而 R(B) r ， 即R(A)R(B) ,定理：若 A B，則 R(A) = R(B) ,應(yīng)用：根據(jù)這一定理，為求矩陣的秩，只要用初等行變換把 矩陣化成行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是 該矩陣的秩,例：求矩陣 的秩，并求 A 的一個 最高階非零子式,解

49、：第一步先用初等行變換把矩陣化成行階梯形矩陣,行階梯形矩陣有 3 個非零行，故R(A) = 3 ,第二步求 A 的最高階非零子式選取行階梯形矩陣中非零行 的第一個非零元所在的列,，與之對應(yīng)的是選取矩陣 A 的第一、 二、四列,R(A0) = 3，計算 A0的前 3 行構(gòu)成的子式,因此這就是 A 的一個最高階非零子式,分析：對 B 作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣，設(shè) B 的行階梯 形矩陣為 ，則 就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從 中同時看出R(A)及 R(B) ,例：設(shè) ，求矩陣 A 及矩陣 B = (A, b) 的秩,解：,R(A) = 2 R(B) = 3,矩陣的秩的性質(zhì),若 A 為 mn

50、矩陣，則 0R(A)min(m, n) R(AT) = R(A) 若 A B，則 R(A) = R(B) 若 P、Q 可逆，則 R(PAQ) = R(B) maxR(A), R(B)R(A, B)R(A)R(B) 特別地，當(dāng) B = b 為非零列向量時，有 R(A)R(A, b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B) R(AB)minR(A), R(B) 若 Amn Bnl = O，則 R(A)R(B)n ,例：設(shè) A 為 n 階矩陣， 證明 R(AE)R(AE)n ,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C) ,附注： 當(dāng)一個矩陣的秩等于它的列數(shù)時，這樣的

51、矩陣稱為列滿秩矩陣 特別地，當(dāng)一個矩陣為方陣時，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣 本題中，當(dāng) C = O，這時結(jié)論為： 設(shè) AB = O，若 A 為列滿秩矩陣，則 B = O ,例：設(shè) A 為 n 階矩陣， 證明 R(AE)R(AE)n ,證明：因為 (AE) (EA) = 2E， 由性質(zhì)“R(AB)R(A)R(B) ”有 R(AE)R(EA)R(2E) = n 又因為R(EA) = R(AE)，所以 R(AE)R(AE)n ,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C) ,解：因為 R(A) = n， 所以 A 的行最簡形矩陣為 ， 設(shè) m 階可逆矩

52、陣 P ，滿足 于是 因為 R(C) = R(PC)，而 ，故R(B) = R(C) ,行階梯形矩陣： 可畫出一條階梯線，線的下方全為零； 每個臺階只有一行； 階梯線的豎線后面是非零行的第一個非零元素.,行最簡形矩陣： 非零行的第一個非零元為1; 這些非零元所在的列的其它元素都為零.,分析：若 R(A) = n，則 A 的行最簡形矩陣應(yīng)該 有 n 個非零行； 每個非零行的第一個非零元為 1 ； 每個非零元所在的列的其它元素都為零 于是 A 的行最簡形中應(yīng)該包含以下 n 個列向量：,又因為 A 是 mn 矩陣，所以 A 的行最簡形矩陣為 ,前 n 行,后 m - n 行,例：若 Amn Bnl

53、= C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C) ,返回,例：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n，則R(B) = R(C) ,附注： 當(dāng)一個矩陣的秩等于它的列數(shù)時，這樣的矩陣稱為列滿秩矩陣 特別地，當(dāng)一個矩陣為方陣時，列滿秩矩陣就成為滿秩矩陣，也就是可逆矩陣 因此，本例的結(jié)論當(dāng) A 為為方陣時，就是性質(zhì) 本題中，當(dāng) C = O，這時結(jié)論為： 設(shè) AB = O，若 A 為列滿秩矩陣，則 B = O ,3 線性方程組的解,一、線性方程組的表達式,一般形式 向量方程的形式 方程組可簡化為 AX = b ,增廣矩陣的形式 向量組線性組合的形式,二、線性方程組的解的判定,設(shè)有 n 個

54、未知數(shù) m 個方程的線性方程組,定義：線性方程組如果有解，就稱它是相容的；如果無解， 就稱它是不相容的,問題1：方程組是否有解？ 問題2：若方程組有解，則解是否唯一？ 問題3：若方程組有解且不唯一，則如何掌握解的全體？,m、n 不一定相等！,定理：n 元線性方程組 Ax = b 無解的充分必要條件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有無限多解的充分必要條件是 R(A) = R(A, b) n ,分析：只需證明條件的充分性，即 R(A) R(A, b) 無解； R(A) = R(A, b) = n 唯一解； R(A) = R(A,

55、b) n 無窮多解 那么 無解 R(A) R(A, b) ； 唯一解 R(A) = R(A, b) = n ； 無窮多解 R(A) = R(A, b) n ,證明：設(shè) R(A) = r ，為敘述方便，不妨設(shè) B = (A, b) 的行最 簡形矩陣為 第一步：往證 R(A) R(A, b) 無解 若 R(A) R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)1，則 dr+1 = 1 于是 第 r +1 行對應(yīng)矛盾方程 0 = 1，故原線性方程組無解,R(A) R(A, b) R(A)1,前 r 列,后 n - r 列,前 n 列,前 r 列,第二步：往證 R(A) = R(A, b) = n

56、唯一解 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原線性方程組有唯一解,后 n - r 列,則 dr+1 = 0 且 r = n，,對應(yīng)的線性方程組為,從而 bij 都不出現(xiàn).,前 r 列,n 列,第二步：往證 R(A) = R(A, b) = n 唯一解 若 R(A) = R(A, b) = n， 故原線性方程組有唯一解,則 dr+1 = 0 且 bij 都不出現(xiàn).,即 r = n，,前 r 行,后 mr 行,后 n - r 列,n 行,對應(yīng)的線性方程組為,后 mn 行,第三步：往證 R(A) = R(A, b) n 無窮多解 若 R(A) = R(A, b) n ， 對應(yīng)的線性方程組為,前 r 列,則 dr+1 = 0 .,后