四點共圓問題 (數(shù)學(xué)競賽)

1、四點共圓問題 四點共圓是平面幾何證題中一個十分有利的工具，四點共圓這類問題一般有以下兩種形式：（1） 證明某四點共圓或者以四點共圓為基礎(chǔ)證明若干點共圓；（2） 通過某四點共圓得到一些重要結(jié)論，進而解決問題下面給出與四點共圓有關(guān)的一些基本知識（1） 若干個點與某定點的距離相等，則這些點在一個圓上；（2） 在若干個點中有兩點，其他點對這兩點所成線段的視角均為直角，則這些點共圓；（3） 若四點連成的四邊形對角互補或有一外角等于它的內(nèi)對角，則這四點共圓；（4） 若點在線段的同側(cè)，且，則四點共圓；（5） 若線段交于點，且，則四點共圓；（6） 若相交線段上各有一點，且，則四點共圓。 四點共圓問題不但是平面

2、幾何中的重要問題，而且是直線形和圓之間度量關(guān)系或者位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的媒介。例1、已知是圓內(nèi)接四邊形，過點作的垂線，垂足分別為點求證：平分例2、給定銳角，以為直徑的圓與邊上的高線及其延長線交于點，以為直徑的圓與上的高線及其延長線交于點。證明：四點共圓。例3、在等腰中，為底邊上任意一點，過點做兩腰的平行線分別與交于點，又點是點關(guān)于直線的對稱點。求證：點在的外接圓上。分析： G例4、是圓內(nèi)接四邊形，是圓的直徑，與的交點為，點在的延長線上，連結(jié)，點在的延長線上，使得，點在的延長線上，. 證明：四點共圓。例5、在的邊上分別取點，使得。求證：例6、在梯形中，且，求的長例7、在銳角中,是高，是上一點，聯(lián)結(jié)并

3、延長交于點，聯(lián)結(jié)并延長交于，已知四點共圓，問：點是否一定是的垂心？證明你的結(jié)論例8、已知的重心關(guān)于邊的對稱點是，證明：四點共圓的充要條件是例9、若過一點的三個圓的三個不同的交點共線，則三個圓的圓心和它們的公共點共圓。 例10、已知凸五邊形中，且滿足，求證：五點共圓例11、已知和相交于，延長交于，延長交于，試證：是的內(nèi)心課后思考題：1、設(shè)是等腰底邊的中點，過兩點（但不過點）任作一圓交直線于，聯(lián)結(jié)，交此圓于點，求證：2、為的直徑，點在上且，為上一點，位于點之間，直線與的延長線交于點，過作直線與垂直，交直線于點，求證：AHPCEQBD3、如圖，在中，與交于點，為邊的中點，過點作，垂足為，求證：4、凸

4、四邊形的內(nèi)切圓，切邊的切點分別為，聯(lián)結(jié)，點分別為的中點，求證：四邊形為矩形的充分必要條件是四點共圓5、如圖，在銳角ABC中，ABAC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點。過P作PEAC，垂足為E，做PFAB，垂足為F。O1、O2分別是BDF、CDE的外心。求證：O1、O2、E、F四點共圓的充要條件為P是ABC的垂心。（2007全國高中聯(lián)賽）四點共圓問題 四點共圓是平面幾何證題中一個十分有利的工具，四點共圓這類問題一般有以下兩種形式：（3） 證明某四點共圓或者以四點共圓為基礎(chǔ)證明若干點共圓；（4） 通過某四點共圓得到一些重要結(jié)論，進而解決問題下面給出與四點共圓有關(guān)的一些基本知識（7） 若干個

5、點與某定點的距離相等，則這些點在一個圓上；（8） 在若干個點中有兩點，其他點對這兩點所成線段的視角均為直角，則這些點共圓；（9） 若四點連成的四邊形對角互補或有一外角等于它的內(nèi)對角，則這四點共圓；（10） 若點在線段的同側(cè)，且，則四點共圓；（11） 若線段交于點，且，則四點共圓；（12） 若相交線段上各有一點，且，則四點共圓。 四點共圓問題不但是平面幾何中的重要問題，而且是直線形和圓之間度量關(guān)系或者位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的媒介。例1、已知是圓內(nèi)接四邊形，過點作的垂線，垂足分別為點求證：平分證法一：利用四點共圓從而得出然后得出進而證明證法二：利用四點共圓得出四點共圓進而有四邊形為矩形例2、給定銳角，以

6、為直徑的圓與邊上的高線及其延長線交于點，以為直徑的圓與上的高線及其延長線交于點。證明：四點共圓。證法一：設(shè)交于點則,又易知四點共圓則故四點共圓。證法二：利用射影定理有，；又易知四點共圓則,又,故，故四點共圓證法三：，；而；以下同證法二例3、在等腰中，為底邊上任意一點，過點做兩腰的平行線分別與交于點，又點是點關(guān)于直線的對稱點。求證：點在的外接圓上。分析：此題即證明四點共圓，于是只需證明。證法一：先證、；由此 ；從而點在的外接圓上。G例4、是圓內(nèi)接四邊形，是圓的直徑，與的交點為，點在的延長線上，連結(jié)，點在的延長線上，使得，點在的延長線上，.證明：四點共圓。提示：由及得，又；故故于是四點共圓例5、在

7、的邊上分別取點，使得。求證：提示：四點共圓；再又得；于是說明：和是對線段的兩個視角，當(dāng)點在的兩側(cè)時四點共圓；當(dāng)點在的同側(cè)時，常常做對稱點，然后便有四點共圓了，這會給解題帶來極大的方便例6、在梯形中，且，求的長提示：設(shè)； ；由四點共圓得；設(shè)；則；又；故；因此；故；又由角平分線性質(zhì)；故可解得例7、在銳角中,是高，是上一點，聯(lián)結(jié)并延長交于點，聯(lián)結(jié)并延長交于，已知四點共圓，問：點是否一定是的垂心？證明你的結(jié)論提示：一定是的垂心；在延長線上取一點使得，再證明重合例8、已知的重心關(guān)于邊的對稱點是，證明：四點共圓的充要條件是提示：四點共圓則四點共圓，在上取一點使得四點共圓，再證明四點共圓然后便得出，反之，在

8、延長線上取一點使得,然后證明四點共圓即可例9、若過一點的三個圓的三個不同的交點共線，則三個圓的圓心和它們的公共點共圓。提示：如圖， 故四點共圓例10、已知凸五邊形中，且滿足，求證：五點共圓提示：如圖， 于是四點共圓；故于是四點共圓；于是五點共圓例11、已知和相交于，延長交于，延長交于，試證：是的內(nèi)心提示：如圖，故，四點共圓，同理，故五點共圓，于是于是是的內(nèi)心1、設(shè)是等腰底邊的中點，過兩點（但不過點）任作一圓交直線于，聯(lián)結(jié)，交此圓于點，求證：2、為的直徑，點在上且，為上一點，位于點之間，直線與的延長線交于點，過作直線與垂直，交直線于點，求證：AHPCEQBD3、如圖，在中，與交于點，為邊的中點，

9、過點作，垂足為，求證：提示：連結(jié)，易知注意到所以從而，易知四點共圓，所以,從而又，所以，故4、凸四邊形的內(nèi)切圓，切邊的切點分別為，聯(lián)結(jié)，點分別為的中點，求證：四邊形為矩形的充分必要條件是四點共圓提示：如圖，易知點在上，且，又由射影定理得，其中為內(nèi)切圓半徑，同理,于是，所以四點共圓，所以，類似的，將這四個式子相加得，所以四點共圓的充要條件是四點共圓，而熟知一個四邊形各邊中點圍成的四邊形是平行四邊形，平行四邊形為矩形的充要條件是該四邊形的四個頂點共圓，由此四邊形為矩形的充分必要條件是四點共圓5、如圖，在銳角ABC中，ABAC，AD是邊BC上的高，P是線段AD內(nèi)一點。過P作PEAC，垂足為E，做PF

10、AB，垂足為F。O1、O2分別是BDF、CDE的外心。求證：O1、O2、E、F四點共圓的充要條件為P是ABC的垂心。（2007全國高中聯(lián)賽）證明：連結(jié)BP、CP、O1O2、EO2、EF、FO1。因為PDBC，PFAB，故B、D、P、F四點共圓，且BP為該圓的直徑。又因為O1是BDF的外心，故O1在BP上且是BP的中點。同理可證C、D、P、E四點共圓，且O2是的CP中點。綜合以上知O1O2BC，所以PO2O1=PCB。因為AFAB=APAD=AEAC，所以B、C、E、F四點共圓。充分性：設(shè)P是ABC的垂心，由于PEAC，PFAB，所以B、O1、P、E四點共線，C、O2、P、F四點共線，F(xiàn)O2O1=FCB=FEB=FEO1，故O1、O2、E、F四點共圓。必要性：設(shè)O1、O2、E、F四點共圓，故O1O2E+EFO1=180。由于PO2O1=PCB=ACBACP，又因為O2是直角CEP的斜邊中點，也就是CEP的外心，所以PO2E=2ACP。因為O1是直角BFP的斜邊中點，也就是BFP的外心，從而PFO1=90BFO1=90ABP。因為B、C、E、F四點共圓，所以AFE=ACB，PFE=90ACB。于是，由O1O2E+EFO1=180得(ACBACP)+2ACP+(90ABP)+(90ACB)=180，即ABP=ACP。又因為ABAC，AD