斷裂力學(xué)基礎(chǔ)

1、3 斷裂力學(xué)基礎(chǔ),韌、脆兩類材料在有、無裂紋存在時(shí)，強(qiáng)度指標(biāo)有所不同，其描述的理論和失效判據(jù)也不同。,由此可見，材料中是否存在裂紋，對(duì)材料強(qiáng)度、斷裂方式有很大影響，甚至影響到工程結(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)方法。,斷裂力學(xué)分析方法及本章內(nèi)容,斷裂力學(xué)分析方法： 局部參數(shù)法：著眼于裂紋尖端附近的應(yīng)力場和位移場，以表征其特征的參數(shù)來描述斷裂問題，其參數(shù)有：K、COD、J 積分 能量法：裂紋的擴(kuò)展會(huì)導(dǎo)致含裂紋體的應(yīng)變能或勢能隨之發(fā)生變化，可通過能量變化關(guān)系來確定斷裂發(fā)生條件。其參數(shù)有：G、R 本章內(nèi)容 裂紋尖端應(yīng)力場強(qiáng)度因子 K 及臨界值 Kc 裂紋擴(kuò)展能量釋放率 G及臨界值 Gc 裂紋尖端張開位移 （CTOD）及

2、臨界值 c J 積分及臨界值 Jc,斷裂力學(xué)局部參數(shù)法基本內(nèi)容,線彈性斷裂,彈塑性斷裂,應(yīng)用：結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、材料選擇、安全校核,基本步驟,3.1 裂紋尖端應(yīng)力場強(qiáng)度因子及斷裂韌度,3.1.1 裂紋尖端應(yīng)力場強(qiáng)度因子,對(duì)含裂紋體，沿裂紋線平面上 y 方向應(yīng)力y 與所研究點(diǎn)到裂紋尖端距離 r 有如下關(guān)系：,或,當(dāng) r 0 時(shí)， y ，表明裂紋尖端前沿應(yīng)力場具有 階奇異性。參數(shù) K 表征了應(yīng)力場奇異性程度，稱為“應(yīng)力場強(qiáng)度因子”。 K 的形式和數(shù)值取決于裂紋幾何以及外加應(yīng)力，通常由下列方法得到： 解析法僅對(duì)形狀和受力狀況簡單的場合適用； 數(shù)值外插法針對(duì)邊界條件復(fù)雜的情況； 有限元法； 柔度試驗(yàn)法。,無限

3、大平板含中心穿透裂紋的裂紋尖端應(yīng)力場,模型：含2a長中心穿透裂紋無限大平板受均勻拉伸應(yīng)力,裂尖前沿應(yīng)變場、位移場（平面應(yīng)變）,應(yīng)變場,位移場,裂紋尖端應(yīng)力場強(qiáng)度因子通式,單位： 或,式中，Y裂紋形狀系數(shù)，取決于裂紋類型，可查表。,K綜合反映了外加應(yīng)力和裂紋幾何（包括裂紋長度、位置、形狀）對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場大小的影響。,通式：,特例含2a長中心穿透裂紋的無限大平板受遠(yuǎn)場均勻拉伸應(yīng)力,3.1.2 斷裂韌度KC及斷裂判據(jù),材料的 KC 越高，則裂紋體的斷裂應(yīng)力或者臨界裂紋尺寸越大，表明材料難以斷裂。故 KC 是一個(gè)材料參數(shù)，表征材料抵抗斷裂的能力。因此，含裂紋構(gòu)件斷裂與否的判據(jù)即為：,當(dāng)名義應(yīng)力和裂紋

4、尺寸單獨(dú)或者共同增大時(shí)，K和裂紋尖端各應(yīng)力也隨之增大，當(dāng)名義應(yīng)力增加到臨界值c 或裂紋尺寸增大到臨界值 ac時(shí)，裂紋尖端前沿足夠大的范圍內(nèi)應(yīng)力達(dá)到了材料的解理斷裂應(yīng)力，裂紋便失穩(wěn)擴(kuò)展而導(dǎo)致材料斷裂。對(duì)應(yīng)于這個(gè)臨界或者失穩(wěn)狀態(tài)的 K值記做 KC 或者 KC，稱為斷裂韌度:,斷裂韌度與板厚度的關(guān)系,一般隨板厚增加， KC 先升、后降、再達(dá)到一定厚度后保持不變。因此，工程上 KC 是指達(dá)到一定厚度后（平面應(yīng)變）斷裂韌度。,常用工程材料的斷裂韌度,復(fù)合型裂紋斷裂判據(jù),在很多實(shí)際情況下，裂紋所受載荷常常是幾種形式的復(fù)合，或者裂紋擴(kuò)展方向與應(yīng)力方向呈一定的角度。我們把這一類裂紋歸結(jié)為復(fù)合型裂紋。 在斷裂力

5、學(xué)中，對(duì)每一種單獨(dú)的裂紋類型，都有相應(yīng)的應(yīng)力場強(qiáng)度因子 K、K、K，以及相應(yīng)的臨界應(yīng)力場強(qiáng)度因子 KC、KC、KC。因此在混合模態(tài)下，可采用“橢球法則”來確定裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展臨界條件：,此法則雖然形式簡單，但很不適用，材料參數(shù)過多，如 KC、KC 對(duì)一般材料而言均為未知。故有效判據(jù)應(yīng)該只含有一個(gè)基本參數(shù) KC，例如： 應(yīng)變能密度準(zhǔn)則（S判據(jù)）； 最大周向正應(yīng)力準(zhǔn)則（max判據(jù)）。,（1）應(yīng)變能密度準(zhǔn)則（S判據(jù)）,復(fù)合型裂紋在其最小應(yīng)變能密度因子 Smin 等于某一臨界值Scr 時(shí)，沿 Smin 方向擴(kuò)展，記為：,（1）,（1）應(yīng)變能密度準(zhǔn)則（續(xù)1）,將（3）式代入（2）式，得到裂紋尖端處應(yīng)變能密度

6、：,（4）,（平面應(yīng)變）,（平面應(yīng)力）,式中，切變模量；泊松比。,（1）應(yīng)變能密度準(zhǔn)則（續(xù)2）,令：,（5）,將（9）式代入（7）式得：,（2）最大周向正應(yīng)力準(zhǔn)則（max判據(jù)）,兩個(gè)假設(shè)： 裂紋開始擴(kuò)展沿著周向正應(yīng)力達(dá)到最大的方向； 當(dāng)這個(gè)方向的應(yīng)力場強(qiáng)度因子達(dá)到臨界值KC時(shí)，裂紋開始失穩(wěn)擴(kuò)展：,（1）,+復(fù)合型裂紋尖端應(yīng)力場為：,（2）,（2）最大周向正應(yīng)力準(zhǔn)則（續(xù)）,根據(jù)假設(shè)（1），裂紋擴(kuò)展方向應(yīng)滿足： ，則有：,（3）,故可認(rèn)為 Kmax實(shí)際上相當(dāng)于型裂紋應(yīng)力場強(qiáng)度因子，則斷裂判據(jù)為：,3.1.3 裂紋尖端塑性區(qū)及 K修正,Von Mises屈服判據(jù):,由材料力學(xué)原理可知一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力

7、為：,塑性區(qū)形狀及尺寸,塑性區(qū)邊界方程：,Irwin修正為：,應(yīng)力松弛后的塑性區(qū),局部塑性變形會(huì)造成應(yīng)力松弛，這樣還會(huì)使塑性區(qū)尺寸進(jìn)一步增大。從能量上考慮，陰影區(qū)面積應(yīng)等于矩形BDEC的面積，由此可求出松弛后塑性區(qū)寬度為：,平面應(yīng)力,平面應(yīng)變,三維塑性區(qū)形狀及塑性區(qū)內(nèi)應(yīng)力分布,K的修正（等效裂紋）,等效裂紋修正后的應(yīng)力場強(qiáng)度因子：,修正條件：,3.1.4 斷裂韌度在工程中的應(yīng)用,結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) 對(duì)于給定的材料，根據(jù)已知的斷裂韌度，計(jì)算結(jié)構(gòu)許用應(yīng)力，針對(duì)要求的承載量，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的形狀。 材料選擇 根據(jù)結(jié)構(gòu)的承載要求以及可能出現(xiàn)的裂紋類型，計(jì)算可能的最大應(yīng)力場強(qiáng)度因子，選擇能滿足斷裂韌度要求的材料。 安全

8、校核 根據(jù)結(jié)構(gòu)承載能力、材料斷裂韌度，計(jì)算材料的臨界裂紋尺寸，與實(shí)測裂紋尺寸相比較，校核結(jié)構(gòu)的安全性，判斷材料脆斷傾向。 材料開發(fā) 根據(jù)斷裂韌度的影響因素，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)材料的成分、晶體結(jié)構(gòu)、組織形態(tài)，開發(fā)新材料。,基本原理：,（1）選擇材料,從承載和安全角度選擇材料，要求材料具有高的s和KIC。但是s和KIC之間的關(guān)系一般為此消彼長。因此： 對(duì)低s材料，屈服和塑性變形是主要失效危險(xiǎn)； 對(duì)高s材料，缺陷造成低應(yīng)力破壞是主要的危險(xiǎn)。,對(duì)以脆斷為主要失效形式的結(jié)構(gòu)，（KIC/ s ）比值是選材的主要依據(jù)。由于在強(qiáng)度設(shè)計(jì)中經(jīng)常選擇工作應(yīng)力是屈服強(qiáng)度的一個(gè)固定分?jǐn)?shù)（），則根據(jù)斷裂力學(xué)概念，有：,此式表

9、明，（KIC/ s ）比值大的材料，臨界裂紋尺寸大，材料容許的缺陷尺寸大，即裂紋容限大。,（1）選擇材料（續(xù)1）,在依據(jù)（KIC/ s ）比值選擇材料時(shí)，構(gòu)件厚度 B 是不可忽視的因素，因?yàn)楹穸葧?huì)影響材料的斷裂韌度。,如果選擇高KIC、低s 的材料，在承受同樣載荷要求下，必須增加厚度，這往往導(dǎo)致KIC降低，甚至低于低KIC、高s 材料的斷裂韌度，如圖所示,例子： 不同強(qiáng)度、韌度材料的裂紋容限,計(jì)算構(gòu)件中的臨界裂紋尺寸，可以評(píng)價(jià)材料的脆性。一般構(gòu)件中，較常見的是表面半橢圓裂紋，從安全角度取 Y = 2，如果不考慮塑性區(qū)的影響，則裂紋臨界尺寸可由下式估算：, 中、低強(qiáng)度鋼,這類鋼具有低溫脆性，易發(fā)

10、生韌脆轉(zhuǎn)變。 在韌性區(qū)（高溫）：KC高達(dá)150 MPa.m1/2； 在脆性區(qū)（低溫）： KC則只有3040 MPa.m1/2，甚至更低。,這類鋼的設(shè)計(jì)工作應(yīng)力很低，往往在200MPa以下。若取工作應(yīng)力為200MPa。, 球墨鑄鐵,這是一種廉價(jià)且易于加工的材料，具有與45鋼相當(dāng)?shù)膹?qiáng)度，設(shè)計(jì)工作應(yīng)力很低，僅1050 MPa。若取 KC = 25 MPa.m1/2，則 ac = 401000mm。因此，用球墨鑄鐵制造的小型零件，如小型柴油機(jī)的曲軸、聯(lián)桿等，不致發(fā)生低應(yīng)力脆斷。但若在大型零件的制造過程中，形成大的鑄造缺陷或高的殘余拉應(yīng)力，發(fā)生低應(yīng)力脆斷仍是可能的。,（2）全厚度屈服準(zhǔn)則,全屈服厚度：指

11、構(gòu)件始終處于平面應(yīng)力狀態(tài)，在斷裂前可發(fā)生大量塑性變形。該準(zhǔn)則提供了使構(gòu)件免于災(zāi)難性平面應(yīng)變斷裂的條件。 按ASTM標(biāo)準(zhǔn)，為保證平面應(yīng)變斷裂韌性，厚度 B 應(yīng)滿足：,（單位：m）,上式也可寫為：,表明發(fā)生平面應(yīng)變斷裂所需斷裂韌度隨材料屈服強(qiáng)度及厚度的平方根線性增加,關(guān)于平面應(yīng)力斷裂所需斷裂韌度應(yīng)比上式為大，推薦的關(guān)系為：,（3）破裂前滲漏原則,設(shè)計(jì)思想：壓力容器在服役中，由于腐蝕或交變應(yīng)力作用，在內(nèi)表面可能產(chǎn)生不穿透裂紋，如果在裂紋造成災(zāi)難性破壞以前，總是先穿透壁厚，使容器內(nèi)流體滲漏，則可能被檢測出來，及時(shí)采取措施，避免事故發(fā)生。,Irwin準(zhǔn)則：假定內(nèi)表面裂紋是半圓狀，當(dāng)裂紋穿透外表面時(shí)，成為

12、長度為壁厚兩倍的穿透裂紋（見圖）。倘若長度為 2B 裂紋的失穩(wěn)應(yīng)力等于屈服應(yīng)力s ，則壓力容器可近似為平面應(yīng)力狀態(tài)。因此，若該材料平面應(yīng)力斷裂韌度 KC 不小于長度為 2B 裂紋的有效應(yīng)力強(qiáng)度因子，即可防止災(zāi)難性破壞。這一準(zhǔn)則要求：,3.2 裂紋擴(kuò)展能量釋放率 G 及臨界值 Gc,3.2.1 裂紋擴(kuò)展力G,一含有單邊穿透裂紋的板，受拉力 P 的作用，如右圖所示。 可以設(shè)想，在裂紋前緣線上的單位長度上有一作用力 G，它將驅(qū)使裂紋前緣向前運(yùn)動(dòng)，故可稱為裂紋擴(kuò)展力,材料有抵抗裂紋擴(kuò)展的能力，即阻力 R，僅當(dāng)GR 時(shí)，裂紋才會(huì)向前擴(kuò)展。,3.2.2 裂紋擴(kuò)展能量釋放率概念,設(shè)裂紋在G的作用下向前擴(kuò)展一

13、段距離a ，則裂紋擴(kuò)展力作功為 G a ； 若外力對(duì)裂紋體作功為 W ，并使裂紋擴(kuò)展了a ，則外力作功的一部分消耗于裂紋擴(kuò)展，剩余部分以彈性能的形式儲(chǔ)存于體內(nèi)Ue，故有：,若外力作功 W = 0，則有：,這表明在外力作功為零的情況下，裂紋擴(kuò)展單位面積所需的功，要依靠裂紋體內(nèi)彈性能的釋放來補(bǔ)償。因此， G又可稱為裂紋擴(kuò)展的能量釋放率。,由上式解得：,裂紋擴(kuò)展能量釋放率概念的進(jìn)一步解釋,（a）緩慢加載至載荷 P 及位移處，且假設(shè)加載過程中裂紋不擴(kuò)展，則外力作功（P/2）全部轉(zhuǎn)為彈性能儲(chǔ)存起來； （b）將下端固定，即保持位移不變，于是系統(tǒng)與環(huán)境無能量交換，并使裂紋擴(kuò)展 2 a ； （c）由于裂紋擴(kuò)展

14、使裂紋體剛度下降（即柔度升高），在位移不變的情況下，裂紋體的彈性內(nèi)力下降P，因而彈性能下降，釋放出的彈性能（陰影區(qū)面積）即為裂紋擴(kuò)展所需的功。,3.2.3 能量法的普遍分析,aac，穩(wěn)態(tài)擴(kuò)展； aac，失穩(wěn)擴(kuò)展；,設(shè)：有一裂紋體，裂紋面積為A，當(dāng)外力作用下裂紋擴(kuò)展dA面積時(shí)，有四種能量發(fā)生變化： （1）外力做功dW； （2）系統(tǒng)彈性應(yīng)變能釋放dU； （3）裂紋表面能增加d； （4）消耗塑性功dP 。 則根據(jù)能量守恒和轉(zhuǎn)換定律體系內(nèi)能的增加等于外力做功之和，有：,裂紋擴(kuò)展能量釋放率G,Irwin定義： 裂紋擴(kuò)展單位面積時(shí)，系統(tǒng)釋放的能量稱為裂紋擴(kuò)展能量釋放率，用G 表示：,在恒載荷加載時(shí)： 稱為

15、彈性應(yīng)變能增長率；,在恒位移加載時(shí)： 稱為彈性應(yīng)變能釋放率；,可以證明：,Griffith裂紋擴(kuò)展能量釋放率,裂紋長度 = 2a；B = 1；型裂紋恒位移加載，則： 平面應(yīng)力時(shí)： 平面應(yīng)變時(shí)：,則裂紋擴(kuò)展能量釋放率為：,平面應(yīng)力時(shí)：,平面應(yīng)變時(shí)：,可見，G與K相似，都是應(yīng)力和裂紋尺寸的復(fù)合參量。,G K關(guān)系,對(duì)于含2a長中心穿透裂紋無限大薄板受均勻拉伸應(yīng)力的情況，有：,（1）,裂紋擴(kuò)展阻力 R,定義： 裂紋擴(kuò)展單位面積所需消耗的能量為裂紋擴(kuò)展阻力，用R 表示：,只有當(dāng)GR時(shí)，裂紋才能擴(kuò)展。而R是隨裂紋尺寸而變化的，當(dāng)aaC時(shí)，RRC，即達(dá)到臨界擴(kuò)展阻力，此時(shí)RC也稱為斷裂韌度，記為GC。則裂紋

16、擴(kuò)展的能量判據(jù)為：,裂紋擴(kuò)展阻力曲線,R,a,韌性材料,脆性材料,3.3 裂紋尖端張開位移（CTOD）,對(duì)于大型中、低強(qiáng)度鋼構(gòu)件（如船體和壓力容器），曾發(fā)生不少低應(yīng)力脆斷事故，其斷口具有90以上的結(jié)晶狀特征；而從這些斷裂構(gòu)件上制取的小試樣，卻在整體屈服后發(fā)生纖維狀的韌性斷裂，由此推斷是由于構(gòu)件承受多向應(yīng)力，使裂紋尖端的塑性變形受到約束，當(dāng)應(yīng)變量達(dá)到某一臨界值，材料就發(fā)生斷裂。這就是斷裂的應(yīng)變判據(jù)的實(shí)踐基礎(chǔ)。不過，這個(gè)應(yīng)變量很小，難以準(zhǔn)確測量，于是人們提出用裂紋尖端的張開位移 CTOD （）來間接表示應(yīng)變量的大小，用臨界張開位移c 來表征材料的斷裂韌度。,3.3.1 裂紋尖端張開位移概念及特點(diǎn),

17、裂紋張開特點(diǎn)： 裂紋開裂過程為：彈性張開鈍化開裂； 開裂前COD能反映裂尖形變場強(qiáng)度； 存在一個(gè)臨界COD（c），當(dāng)滿足COD c 時(shí)材料開裂。,常見的中、低強(qiáng)度鋼，由于其塑性較好，裂紋體受載后，在裂紋尖端會(huì)產(chǎn)生較大的塑性區(qū)。設(shè)一無限大板中有型穿透裂紋，在平均應(yīng)力作用下，裂紋兩端出現(xiàn)塑性區(qū)。裂紋尖端因塑性鈍化在不增加裂紋長度 2a 的情況下，裂紋將沿方向產(chǎn)生張開位移。,3.3.2 斷裂韌度c,試驗(yàn)證明，對(duì)于一定材料和厚度的板材，不論其裂紋尺寸如何，當(dāng)裂紋尖端張開位移達(dá)到同一臨界值c 時(shí)，裂紋就開始擴(kuò)展。因此可將看作一種裂紋擴(kuò)展的動(dòng)力，而把c 看作材料阻止裂紋開始擴(kuò)展的能力，即材料的斷裂韌度。

18、根據(jù)和c 的相對(duì)大小關(guān)系，可建立斷裂 判據(jù)：,判據(jù)和 J 判據(jù)一樣，都是裂紋開始擴(kuò)展的斷裂判據(jù)，而不是裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的斷裂判據(jù)。顯然，按這種判據(jù)設(shè)計(jì)構(gòu)件是偏于保守的。,（1）小范圍屈服時(shí)的COD,由裂紋尖端位移場公式可得平面應(yīng)變條件下的COD為：,在臨界條件下：,由此可得到：,因?yàn)槭切》秶?，需修正為有效裂紋，即 r 應(yīng)自有效裂紋尖端算起，在原真實(shí)裂紋尖端處：,（2）大范圍屈服時(shí)的COD,Dugdale-Muskhelishvili模型： 設(shè)想將屈服區(qū)切開，在切開面上施加數(shù)值等于s 的壓力，則裂紋切開面仍然閉合，這樣就把一個(gè)2a長裂紋彈塑性轉(zhuǎn)化為一個(gè)2c虛擬裂紋的線彈性問題。,D-M模型處理及

19、結(jié)果,虛擬裂紋尖端應(yīng)力場強(qiáng)度因子 K* 由兩個(gè)作用力決定：,由無限遠(yuǎn)處平均應(yīng)力引起：,由裂紋兩端段上的 s 引起：,由虛擬裂紋尖端應(yīng)力無奇異性得：,真實(shí)裂紋尖端張開位移：,/s 1 時(shí)，模型失效； /s 0.8 時(shí)，計(jì)算與實(shí)驗(yàn)相符； /s 0.5 時(shí)，有：,（3）全面屈服下的COD,當(dāng)外加應(yīng)力接近或超過s 時(shí)，裂紋尖端前沿很大區(qū)域處在全面屈服狀態(tài)，即其應(yīng)力和應(yīng)變都超過了s 和 es ，此時(shí)D-M模型已不適用。 由于全面屈服后，應(yīng)力增加很少，而變形大大增加，因而不再以應(yīng)力作為計(jì)算COD的參量，而改用應(yīng)變 e 來計(jì)算COD。,并求出COD與 e 的關(guān)系為：,理論上較粗糙； 用Wells公式進(jìn)行斷裂

20、安全設(shè)計(jì)的安全裕度過大。,Wells理論計(jì)算值,實(shí)測結(jié)果,小范圍屈服,陡升,凍結(jié),再度上升,Wells假定：塑性區(qū)應(yīng)變 e 與塑性區(qū)尺寸 ry 之間存在下列關(guān)系：,3.4 J 積分,3.4.1 J 積分概念,設(shè)：有一單位厚度（B = 1）的型裂紋體，自裂紋下表面逆時(shí)針取一任一回路達(dá)到裂紋上表面，其所包圍體積內(nèi)的應(yīng)變能密度為 w，回路上任一點(diǎn)的作用力為 T，位移為 u。 則：裂紋擴(kuò)展的能量釋放率為：,G的能量線積分,應(yīng)變能：,外力功：,勢 能：,則線彈性條件下G的能量線積分表達(dá)式為：,J 積分定義,在彈塑性條件下，將 w 定義為“彈塑性應(yīng)變能密度”，它包括了“彈性應(yīng)變能密度”和“單位體積塑性變形

21、功”兩項(xiàng)，也存在前式等號(hào)右邊的能量線積分，Rice將其定義為 J 積分：,J 積分特點(diǎn)： 在線彈性條件下， （平面應(yīng)變）； 具有守恒性，即 J 積分與路徑無關(guān)。,3.4.2 J 積分實(shí)測的物理意義,J 積分的含義是系統(tǒng)勢能變化率，但這與線彈性中的能量釋放率不同。J 主要用來克服塑性功，即勢能的變化量主要轉(zhuǎn)化為不可逆塑性功。 由于在塑性變形范圍內(nèi)，應(yīng)力-應(yīng)變不再是單值關(guān)系，為保證 J 作為一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，只能把討論的過程限制在加載過程，不允許有卸載的情況發(fā)生。因此，J 積分在原則上只能討論裂紋即將擴(kuò)展而尚未擴(kuò)展時(shí)。這樣， 不再是裂紋擴(kuò)展能量釋放率，而是兩個(gè)相同形狀、尺寸的試樣因裂紋長度有微小差異 da 所帶來的勢能差。,J 界分的物理意義： 兩個(gè)形狀、尺寸完全相同，但裂紋長度相差da的試樣，在加載到同一位移時(shí)的變形功之差：,3.4.3 J 積分與裂尖彈塑性應(yīng)力場的關(guān)系,要想 J 積分能成為斷裂判據(jù)有效參量，則彈塑性裂紋尖端的應(yīng)力場必須由 J 積分單值確定。 1968年，Hutchinson、Rice、Rosengren三人利用全增量理論，推導(dǎo)出了平面應(yīng)變裂紋尖端彈塑性應(yīng)力場，即著名的HRR場：,式中，