定積分的背景—面積和路程問題課件

1、定積分的背景面積與路程問題,高二數(shù)學(xué) 選修2-1 第四章 定積分,1,學(xué)習(xí)交流PPT,以上由曲線圍成的圖形的面積該怎樣計算？,2,學(xué)習(xí)交流PPT,我們學(xué)過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的.那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題. 定積分在科學(xué)研究和實際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用.本節(jié)我們將了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念.,3,學(xué)習(xí)交流PPT,圖中陰影部分是由曲線段和直線段圍成的，通常稱這樣的平面圖形為曲邊梯形.,a,b,曲邊梯形定義：,我們把由直線 x = a，x =b (ab)， y = 0

2、和曲線y = f (x) 所圍成的圖形叫作曲邊梯形.,探究點1 曲邊梯形的定義,4,學(xué)習(xí)交流PPT,對曲邊梯形概念的理解：,（1）曲邊梯形是由曲線段和直線段所圍成的平面 圖形. （2）曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別在于前者有一邊是曲線段而“直邊圖形”的所有邊都是直線段.,5,學(xué)習(xí)交流PPT,探究點2 估計曲邊梯形的面積,我們曾經(jīng)用正多邊形逼近圓的方法 (即“以直代曲”的思想) 計算出了圓的面積，能否也用直邊形(如矩形)逼近曲邊梯形的方法求陰影部分的面積呢？,割圓術(shù),6,學(xué)習(xí)交流PPT,問題1 圖中陰影部分是由拋物線 ，直線 以及 x 軸所圍成的平面圖形，試估計這個曲邊梯形的面積 S .,7,

3、學(xué)習(xí)交流PPT,分析 首先，將區(qū)間0，15等分，如圖所示.,圖 (1) 中，所有小矩形的面積之和（記為S1)顯然大于所求的曲邊梯形的面積，我們稱S1為S的過剩估計值，有,（1）,8,學(xué)習(xí)交流PPT,圖 (2) 中，所有陰影小矩形的面積之和(記為s1)顯然小于所求曲邊梯形的面積，我們稱s1為S的不足估計值，有,.,（2）,9,學(xué)習(xí)交流PPT,思考：我們可以用S1或s1近似表示S，但是都存在 誤差，誤差有多大呢？ 提示：二者之差為S1-s1=0.2,如圖(3)中陰影所示，無論用S1還是用s1來表示曲邊梯形的面積，誤差都不會超過0.2.,（3）,10,學(xué)習(xí)交流PPT,1,(4),不足估計值為,二者的

4、差值為S2-s2=0.1，此時，無論用S2還是用s2來表示S，誤差都不超過0.1.,結(jié)論：區(qū)間分得越細(xì)，誤差越小.當(dāng)被分割成的小區(qū)間的長度趨于0時，過剩估計值和不足估計值都會趨于曲邊梯形的面積.,.,.,11,學(xué)習(xí)交流PPT,通過下面的演示我們?nèi)绾巫龅绞拐`差小于0.01.,輸入數(shù)字，點擊確定.,12,學(xué)習(xí)交流PPT,練一練：,求曲線y=x3與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積的估計值，并寫出估計誤差.（把區(qū)間0，1 5等分來估計）,13,學(xué)習(xí)交流PPT,解析 把區(qū)間 0，1 5等分，以每一個小區(qū)間 左右端點的函數(shù)值作為小矩形的高，得到不足 估計值 和過剩估計值 ，如下：,估計誤差不會超過

5、 - =0.2,14,學(xué)習(xí)交流PPT,探究點3 估計變速運動的路程,已知勻速運動物體的速度v和運動的時間t,我們可以求出它走過的路程s=vt,那么如何求非勻速運動的物體走過的路程呢？,問題2 想象這樣一個場景：一輛汽車的司機(jī)猛踩剎車，汽車滑行5s后停下，在這一過程中，汽車的速度 v （單位：m/s)是時間 t 的函數(shù)：,請估計汽車在剎車過程中滑行的距離 s .,15,學(xué)習(xí)交流PPT,分析：由已知，汽車在剛開始剎車時的速度是v(0)=25m/s,我們可以用這個速度來近似替代汽車在這段時間內(nèi)的平均速度，求出汽車的滑行距離： s=255=125(m) 但顯然，這樣的誤差太大了. 為了提高精確度，我們

6、可以采用分割滑行時間的方法來估計滑行距離. 首先，將滑行的時間5s平均分成5份. 我們分別用v(0),v(1),v(2),v(3),v(4) 近似替代汽車在01s、12s、23s、34s、45s內(nèi)的平均速度，求出滑行距離s1：,16,學(xué)習(xí)交流PPT,由于v是下降的，所以顯然s1大于s,我們稱它為汽 車在5 s內(nèi)滑行距離的過剩估計值. 用v(1),v(2),v(3),v(4),v(5)分別近似替代汽車 在01s、12s、23s、34s、45s內(nèi)的平均速 度，求出汽車在5s內(nèi)滑行距離的不足估計值 ：,17,學(xué)習(xí)交流PPT,不論用過剩估計值s1還是不足估計值 表示s，誤差都不超過：,要對區(qū)間多少等分

7、時，才能保證估計誤差小于0.1？,18,學(xué)習(xí)交流PPT,為了得到更加精確的估計值，可以將滑行時間分得更細(xì)些，因為我們知道，滑行時間的間隔越小，用其中一點的速度代替這段時間內(nèi)的平均值，其速度誤差就越小. 比如，將滑行時間5s平均分成10份. 用類似的方法得到汽車在5s內(nèi)滑行距離的過剩估計值s2：,19,學(xué)習(xí)交流PPT,結(jié)論 滑行時間等分得越細(xì)，誤差越小.當(dāng)滑行時間被等分后的小時間間隔的長度趨于0時，過剩估計值和不足估計值就趨于汽車滑行的路程.,汽車在5s內(nèi)滑行距離的不足估計值 ：,無論用s2還是 表示汽車的滑行距離s，誤差都不超過,20,學(xué)習(xí)交流PPT,抽象概括,前面，我們通過“以直代曲”的逼近

8、方法解決了求 曲邊梯形的面積的問題，對于變速運動路程的步驟：,分割區(qū)間,過剩估計值 不足估計值,逼近所求路程,所分區(qū)間長度趨于 0,估計值趨于所求值,21,學(xué)習(xí)交流PPT,變式練習(xí),汽車作變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)=-t2+2,（單位：km/h),那么它在0t1(單位：h)這段時間內(nèi)行駛的路程s是多少？（將行駛的時間1h平均分成10份）,22,學(xué)習(xí)交流PPT,解析 分別用v(0)， v(0.1)， v(0.2)， v(0.9)近似替代汽車在00.1h，0.10.2h，0.80.9h，0.91h的平均速度，求出汽車 在1h時行駛的路程的過剩估計值,= v(0)+ v(0.1)+ v(0.2)+ +v(0.9) 0.1 =1.715(km).,23,學(xué)習(xí)交流PPT,分別用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)， v(1)近似替代 汽車在00.1h，0.10.2h， 0.80.9h,0.9 1h的平均速度，求出汽車在1h時行駛的路程的不足 估計值,= v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+v(1) 0.1 =1.615(km),無論用 還是 估計汽車行駛的路程s,估計誤差都不會超過1.715-1.615=0.1（km）,24,學(xué)習(xí)