高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)練習(xí)第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、第四章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算 基礎(chǔ)盤查一向量的有關(guān)概念 (一)循綱憶知 1了解向量的實(shí)際背景； 2理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義； 3理解向量的幾何表示 (二)小題查驗(yàn) 1判斷正誤 (1)向量與向量是相等向量() AB BA (2)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小() (3)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量() (4)|a|與|b|是否相等與 a，b 的方向無關(guān)() 答案：(1)(2)(3)(4) 2.(人教 A 版教材例題改編)如圖， 設(shè) O 是正六邊形 ABCDEF 的中心， 分 別寫出圖中與，相等的向量

2、OA OB OC 解：； OA CB DO ； OB DC EO . OC AB ED FO 基礎(chǔ)盤查二向量的線性運(yùn)算 (一)循綱憶知 1掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義； 2掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義； 3了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義 (二)小題查驗(yàn) 1判斷正誤 (1)兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量() (2) () BA OA OB (3)向量 ab 與 ba 是相反向量() (4)兩個(gè)向量相加就是兩個(gè)向量的模相加() 答案：(1)(2)(3)(4) 2(人教 A 版教材習(xí)題改編)化簡： (1)()_. AB MB BO OM (2)_. NQ QP MN MP 答案：(1)

3、(2)0 AB 基礎(chǔ)盤查三共線向量定理 (一)循綱憶知 理解兩個(gè)向量共線的含義，掌握向量的共線定理及應(yīng)用 (二)小題查驗(yàn) 1判斷正誤 (1)若向量 a，b 共線，則向量 a，b 的方向相同() (2)若 ab，bc，則 ac() (3)向量與向量是共線向量，則 A，B，C，D 四點(diǎn)在一條直線上() AB CD (4)當(dāng)兩個(gè)非零向量 a，b 共線時(shí)，一定有 ba，反之成立() 答案：(1)(2)(3)(4) 2已知 a 與 b 是兩個(gè)不共線的向量，且向量 ab 與(b3a)共線，則 _. 答案：1 3 |(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)考點(diǎn)一 向量的有關(guān)概念 必備知識 (1)向量：既有大小，又有方向的

4、量叫向量；向量的大小叫做向量的模 (2)零向量：長度為 0 的向量，其方向是任意的 (3)單位向量：長度等于 1 個(gè)單位的向量 (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0 與任一向量共線 (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量 (6)相反向量：長度相等且方向相反的向量 題組練透 1給出下列命題： 若|a|b|，則 ab； 若 A，B，C，D 是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要 AB DC 條件； 若 ab，bc，則 ac； ab 的充要條件是|a|b|且 ab； 若 ab，bc，則 ac. 其中正確命題的序號是() AB C D 解析：選 A不正確

5、兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不一定相同 正確，|且， AB DC AB DC AB DC 又 A，B，C，D 是不共線的四點(diǎn)， 四邊形 ABCD 為平行四邊形； 反之，若四邊形 ABCD 為平行四邊形， 則且|，因此，. AB DC AB DC AB DC 正確ab，a，b 的長度相等且方向相同， 又 bc，b，c 的長度相等且方向相同， a，c 的長度相等且方向相同，故 ac. 不正確當(dāng) ab 且方向相反時(shí)，既使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要條件，而是必要不充分條件 不正確考慮 b0 這種特殊情況 綜上所述，正確命題的序號是.故選 A. 2設(shè) a0

6、為單位向量，下列命題中：若 a 為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則 a|a|a0；若 a 與 a0平行，則 a|a|a0；若 a 與 a0平行且|a|1，則 aa0.假命題的個(gè)數(shù)是() A0 B1 C2 D3 解析：選 D向量是既有大小又有方向的量，a 與|a|a0的模相同，但方向不一定相同， 故是假命題；若 a 與 a0平行，則 a 與 a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí) a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是 3. 類題通法 平面向量有關(guān)概念的核心 (1)向量定義的核心是方向和長度 (2)非零共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制 (3)相等向量的核心是方向相同且長度相

7、等 (4)單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個(gè)單位長度 (5)零向量的核心是方向沒有限制，長度是 0，規(guī)定零向量與任何向量共線 |(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)考點(diǎn)二 向量的線性運(yùn)算 必備知識 1向量的加法 定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖 運(yùn)算律：(1)交換律：abba； (2)結(jié)合律：(ab)ca(bc) 2向量的減法 定義：向量 a 加上向量 b 的相反向量，叫做 a 與 b 的差，即 a(b)ab.求兩個(gè)向量 差的運(yùn)算叫做向量的減法 運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖 3向量的數(shù)乘 定義：實(shí)數(shù) 與向量 a 的積運(yùn)算，即 a. 運(yùn)算法則(幾何意義)：如圖，a 的長度與方向

8、規(guī)定如下： (1)|a|a|. (2)當(dāng) 0 時(shí)，a 與 a 的方向相同； 當(dāng) 0 時(shí)，a 與 a 的方向相反； 當(dāng) 0 時(shí)，a0. 運(yùn)算律：(a)()a； ()aaa； (ab)ab. 提醒(1)實(shí)數(shù)和向量可以求積，但不能求和或求差； (2)0 或 a0a0. 典題例析 1(2014新課標(biāo)全國卷)設(shè) D，E，F(xiàn) 分別為ABC 的三邊 BC，CA，AB 的中點(diǎn)，則 EB () FC A B. AD 1 2 AD C D. BC 1 2 BC 解析：選 A () () EB FC 1 2 AB CB 1 2 AC BC ()，故選 A. 1 2 AB AC AD 2(2013江蘇高考)設(shè) D，E

9、 分別是ABC 的邊 AB，BC 上的點(diǎn)，AD AB，BE BC. 1 2 2 3 若12 (1，2為實(shí)數(shù))，則 12的值為_ DE AB AC 解析： ()，所以 1 DE DB BE 1 2 AB 2 3 BC 1 2 AB 2 3 BA AC 1 6 AB 2 3 AC ，2 ，即 12 . 1 6 2 3 1 2 答案：1 2 類題通法 1向量線性運(yùn)算的解題策略 (1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法 則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則 (2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形 或三角形

10、中求解 2兩個(gè)結(jié)論 (1)P 為線段 AB 的中點(diǎn) ()； OP 1 2 OA OB (2)G 為ABC 的重心0. GA GB GC 演練沖關(guān) 1(2015聊城二模)在ABC 中，c，b.若點(diǎn) D 滿足2，則 AB AC BD DC AD () A. b cB. c b 2 3 1 3 5 3 2 3 C. b c D. b c 2 3 1 3 1 3 2 3 解析 ： 選 A如圖，可知 ()c AD AB BD AB 2 3 AC AB 2 3 (bc) b c.故選 A. 2 3 1 3 2若典例 2 條件變?yōu)椋喝?，則 AD DB CD 1 3 CA CB _. 解析：， CD CA

11、AD CD CB BD 2. CD CA CB AD BD 又2， AD DB 2 CD CA CB 1 3 AB () CA CB 1 3 CB CA . 2 3 CA 4 3 CB ，即 . CD 1 3 CA 2 3 CB 2 3 答案：2 3 |(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)全面發(fā)掘)考點(diǎn)三 共線向量定理的應(yīng)用 必備知識 共線向量定理 向量 a(a0)與 b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得 ba. 提醒限定 a0 的目的是保證實(shí)數(shù) 的存在性和唯一性 一題多變 典型母題 設(shè)兩個(gè)非零向量 e1和 e2不共線 如果e1e2，2e13e2，3e1ke2， 且 AB BC AF A，C，F(xiàn) 三點(diǎn)共線，

12、求 k 的值 解e1e2，2e13e2， AB BC 3e12e2. AC AB BC A，C，F(xiàn) 三點(diǎn)共線， ，從而存在實(shí)數(shù) ，使得. AC AF AC AF 3e12e23e1ke2， 又 e1，e2是不共線的非零向量， Error!因此 k2.實(shí)數(shù) k 的值為 2. 題點(diǎn)發(fā)散 1在本例條件下，試確定實(shí)數(shù) k，使 ke1e2與 e1ke2共線 解：ke1e2與 e1ke2共線， 存在實(shí)數(shù) ，使 ke1e2(e1ke2)， 即 ke1e2e1ke2， Error!解得 k1. 題點(diǎn)發(fā)散 2在本例條件下，如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求 AB BC CD 證：A，C，D 三點(diǎn)共線

13、證明：e1e2，3e12e2， AB BC 4e1e2，又8e12e2， AC AB BC CD 2，與共線 CD AC AC CD 又與有公共點(diǎn) C，A，C，D 三點(diǎn)共線 AC CD 類題通法 1共線向量定理及其應(yīng)用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值 (2)若 a，b 不共線，則 ab0 的充要條件是 0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用 非常廣泛 2證明三點(diǎn)共線的方法 若，則 A，B，C 三點(diǎn)共線 AB AC 一、選擇題 1給出下列命題： 兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量 兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小 a0( 為實(shí)數(shù))，則 必為零 ， 為實(shí)數(shù)

14、，若 ab，則 a 與 b 共線 其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為() A1B2 C3 D4 解析：選 C錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn) 正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮。钟蟹较?，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)， 故可以比較大小 錯(cuò)誤，當(dāng) a0 時(shí)，不論 為何值，a0. 錯(cuò)誤，當(dāng) 0 時(shí)，ab0，此時(shí)，a 與 b 可以是任意向量故選 C. 2已知向量 a，b，c 中任意兩個(gè)都不共線，但 ab 與 c 共線，且 bc 與 a 共線，則向 量 abc() AaBb Cc D0 解析 ： 選 D依題意，設(shè) abmc，bcna，則有(ab)(bc)mcna，即 ac mcna.又 a 與 c 不共線

15、，于是有 m1，n1，abc，abc0，選 D. 3(2015福建四地六校聯(lián)考)已知點(diǎn) O，A，B 不在同一條直線上，點(diǎn) P 為該平面上一點(diǎn)， 且 22，則() OP OA BA A點(diǎn) P 在線段 AB 上 B點(diǎn) P 在線段 AB 的反向延長線上 C點(diǎn) P 在線段 AB 的延長線上 D點(diǎn) P 不在直線 AB 上 解析：選 B因?yàn)?22，所以 2，所以點(diǎn) P 在線段 AB 的反向延 OP OA BA AP BA 長線上，故選 B. 4設(shè) D，E，F(xiàn) 分別是ABC 的三邊 BC，CA，AB 上的點(diǎn)，且2， DC BD CE 2，2，則與 () EA AF FB AD BE CF BC A反向平行

16、B同向平行 C互相垂直 D既不平行也不垂直 解析：選 A由題意得， AD AB BD AB 1 3 BC ， BE BA AE BA 1 3 AC ， CF CB BF CB 1 3 BA 因此 () AD BE CF CB 1 3 BC AC AB ， CB 2 3 BC 1 3 BC 故與反向平行 AD BE CF BC 5 在平行四邊形 ABCD 中， 點(diǎn) E 是 AD 的中點(diǎn)， BE 與 AC 相交于點(diǎn) F， 若m EF AB n (m，nR)，則 的值為() AD m n A2 B1 2 C2 D.1 2 解析：選 A設(shè)a，b，則manb， ba，由向量 AB AD EF BE AE

17、 AB 1 2 與共線可知存在實(shí)數(shù) ，使得，即 manb ba，又 a 與 b 不共線， EF BE EF BE 1 2 則Error!，所以 2. m n 6設(shè) O 在ABC 的內(nèi)部，D 為 AB 的中點(diǎn)，且20，則ABC 的面積 OA OB OC 與AOC 的面積的比值為() A3 B4 C5 D6 解析：選 BD 為 AB 的中點(diǎn)， 則 ()， OD 1 2 OA OB 又20， OA OB OC ，O 為 CD 的中點(diǎn)， OD OC 又D 為 AB 中點(diǎn)， SAOC SADC SABC， 1 2 1 4 則4. S ABC S AOC 二、填空題 7設(shè)點(diǎn) M 是線段 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn)

18、A 在直線 BC 外， 216，| | BC AB AC AB AC |，則|_. AM 解析：由|可知， AB AC AB AC AB AC 則 AM 為 RtABC 斜邊 BC 上的中線， 因此，| |2. AM 1 2 BC 答案：2 8(2015江門模擬)已知 D 為三角形 ABC 邊 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 滿足0， PA BP CP ，則實(shí)數(shù) 的值為_ AP PD 解析：如圖所示，由且0，則 P 為以 AP PD PA BP CP AB，AC 為鄰邊的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，因此2，則 AP PD 2. 答案：2 9 已知 O 為四邊形 ABCD 所在平面內(nèi)一點(diǎn)， 且向量，滿足等式

19、OA OB OC OD OA ，則四邊形 ABCD 的形狀為_ OC OB OD 解析：， OA OC OB OD OA OB OD OC ，BA 綊 CD，四邊形 ABCD 為平行四邊形 BA CD 答案：平行四邊形 10已知 D，E，F(xiàn) 分別為ABC 的邊 BC，CA，AB 的中點(diǎn)，且a，b，給出 BC CA 下列命題： ab； AD 1 2 BE a b； a b；0. 1 2 CF 1 2 1 2 AD BE CF 其中正確命題的個(gè)數(shù)為_ 解析：a，b， ab，故錯(cuò)； BC CA AD 1 2 CB AC 1 2 a b， BE BC 1 2 CA 1 2 故正確； () (ab) a

20、 b， CF 1 2 CB CA 1 2 1 2 1 2 故正確； b aa b b a0. AD BE CF 1 2 1 2 1 2 1 2 正確命題為. 答案：3 三、解答題 11已知 a，b 不共線，a，b，c，d，OEe，設(shè) tR，如 OA OB OC OD 果 3ac,2bd，et(ab)，是否存在實(shí)數(shù) t 使 C，D，E 三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出 實(shí)數(shù) t 的值，若不存在，請說明理由 解：由題設(shè)知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E 三點(diǎn)在一條直 CD CE 線上的充要條件是存在實(shí)數(shù) k，使得k，即(t3)atb3ka2kb， CE CD 整理得(t33k)a(2k

21、t)b. 因?yàn)?a，b 不共線，所以有Error! 解之得 t . 6 5 故存在實(shí)數(shù) t 使 C，D，E 三點(diǎn)在一條直線上 6 5 12.如圖所示，在ABC 中，D，F(xiàn) 分別是 BC，AC 的中點(diǎn)， AE ，a，b. 2 3 AD AB AC (1)用 a，b 表示向量，； AD AE AF BE BF (2)求證：B，E，F(xiàn) 三點(diǎn)共線 解：(1)延長 AD 到 G，使， AD 1 2 AG 連接 BG，CG，得到平行四邊形 ABGC， 所以ab， AG (ab)， AD 1 2 AG 1 2 (ab)， AE 2 3 AD 1 3 b， AF 1 2 AC 1 2 (ab)a (b2a)，

22、 BE AE AB 1 3 1 3 ba (b2a) BF AF AB 1 2 1 2 (2)證明：由(1)可知， BE 2 3 BF 又因?yàn)?，有公共點(diǎn) B， BE BF 所以 B，E，F(xiàn) 三點(diǎn)共線 第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 基礎(chǔ)盤查一平面向量基本定理 (一)循綱憶知 了解平面向量的基本定理及其意義 (二)小題查驗(yàn) 1判斷正誤 (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底() (2)在ABC 中，向量，的夾角為ABC() AB BC (3)同一向量在不同基底下的表示是相同的() (4)設(shè) a，b 是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù) 1，1，2，2滿足 1a1b2a2b，則 1 2，12()

23、答案：(1)(2)(3)(4) 2 (人教 A 版教材復(fù)習(xí)題改編)設(shè) M 是ABCD 的對角線的交點(diǎn)， O 為任意一點(diǎn)， 則 OA _. OB OC OD OM 答案：4 基礎(chǔ)盤查二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (一)循綱憶知 1掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示； 2會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算 (二)小題查驗(yàn) 1判斷正誤 (1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同() (2)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)() (3)已知點(diǎn) A(2,1)，B(1,3)，則(3,2)() AB 答案：(1)(2)(3) 2(人教 A 版教材例題改編)已知 a(2,1)，b

24、(3,4)，則 3a4b_. 答案：(6,19)基礎(chǔ)盤查三平面向量共線的坐標(biāo)表示 (一)循綱憶知 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件 (二)小題查驗(yàn) 1判斷正誤 (1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件可表示成 () x1 x2 y1 y2 (2)已知向量 a(4，x)，b(4,4)，若 ab，則 x 的值為4() 答案：(1)(2) 2O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，(k,12)，(4,5)，(10，k)，當(dāng) k_時(shí)，A，B， OA OB OC C 三點(diǎn)共線？ 答案：2 或 11 |(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)考點(diǎn)一 平面向量基本定理及其應(yīng)用 必備知識 平面向量基本定理 如果 e1，

25、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量 a，有且 只有一對實(shí)數(shù) 1，2，使 a1e12e2. 其中，不共線的向量 e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底 題組練透 1如果 e1，e2是平面 內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所 有向量的一組基底的是() Ae1與 e1e2Be12e2與 e12e2 Ce1e2與 e1e2 De13e2與 6e22e1 解析：選 D選項(xiàng) A 中，設(shè) e1e2e1，則Error!無解； 選項(xiàng) B 中，設(shè) e12e2(e12e2)，則Error!無解； 選項(xiàng) C 中，設(shè) e1e2(e1e2)，則Error!無解；

26、選項(xiàng) D 中，e13e2 (6e22e1)，所以兩向量是共線向量 1 2 2如圖，在梯形 ABCD 中，ADBC，且 AD BC，E，F(xiàn) 分別為線段 AD 與 BC 的中 1 3 點(diǎn)設(shè)a，b，試用 a，b 為基底表示向量，. BA BC EF DF CD 解： ba b ba， EF EA AB BF 1 6 1 2 1 3 b ba， DF DE EF 1 6 ( 1 3ba) 1 6 ba b. CD CF FD 1 2 ( 1 6ba) 2 3 類題通法 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向 量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算 (2)用向量基本定理解決問題的一

27、般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié) 論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決 |(基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)自主練透)考點(diǎn)二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 必備知識 (1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab(x1x2，y1y2); (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)； AB (3)若 a(x，y)，則 a(x，y)；|a|.x2y2 題組練透 1已知平面向量 a(1,1)，b(1，1)，則向量 a b() 1 2 3 2 A(2，1)B(2,1) C(1,0) D(1,2) 解析：選 D a， b， 1 2 ( 1 2， 1 2 ) 3 2 ( 3

28、2， 3 2) 故 a b(1,2) 1 2 3 2 2(2015昆明一中摸底)已知點(diǎn) M(5，6)和向量 a(1，2)，若3a，則點(diǎn) N MN 的坐標(biāo)為() A(2,0)B(3,6) C(6,2) D(2,0) 解析：選 A3a3(1，2)(3,6)， MN 設(shè) N(x，y)，則(x5，y6)(3,6)， MN 所以Error!即Error!選 A. 3已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且 AB BC CA CM 3c，2b， CN (1)求 3ab3c； (2)求滿足 ambnc 的實(shí)數(shù) m，n； (3)求 M，N 的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo) MN 解：由已知得 a(5，

29、5)，b(6，3)，c(1,8) (1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324)(6，42) (2)mbnc(6mn，3m8n)， Error!解得Error! (3)設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c， CM OM OC 3c(3,24)(3，4)(0,20) OM OC M(0,20) 又2b， CN ON OC 2b(12,6)(3，4)(9,2)， ON OC N(9,2)，(9，18) MN 類題通法 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向 線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo) (2)解題過程中，常

30、利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解 |(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)全面發(fā)掘)考點(diǎn)三 平面向量共線的坐標(biāo)表示 必備知識 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.則 abx1y2x2y10. 一題多變 典型母題 平面內(nèi)給定三個(gè)向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1) (1)求滿足 ambnc 的實(shí)數(shù) m，n； (2)若(akc)(2ba)，求實(shí)數(shù) k. 解(1)由題意得(3,2)m(1,2)n(4,1)， 所以Error!得Error! (2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)， 由題意得 2(34k)(5)(2k)0. k. 16 13 題點(diǎn)發(fā)散 1在本例條

31、件下，若 d 滿足(dc)(ab)，且|dc|，求 d.5 解：設(shè) d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2,4)， 由題意得Error! 得Error!或Error! d(3，1)或 d(5,3) 題點(diǎn)發(fā)散 2在本例條件下，若 manb 與 a2b 共線，求 的值 m n 解：manb(3mn,2m2n)，a2b(5，2)， 由題意得2(3mn)5(2m2n)0. . m n 1 2 題點(diǎn)發(fā)散 3若本例條件變?yōu)椋阂阎?A(3,2)，B(1,2)，C(4,1)，判斷 A，B，C 三點(diǎn)能 否共線 解：(4,0)，(1，1)， AB AC 4(1)010，不共線 AB AC A，B，C 三點(diǎn)不共

32、線 類題通法 1向量共線的兩種表示形式 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)：abab(b0)；abx1y2x2y10.至于使用哪 種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用. 2兩向量共線的充要條件的作用 判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點(diǎn)共線的問題；另外，利用兩向量共線的充要條 件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值 一、選擇題 1.如圖， 在平行四邊形 ABCD 中， E 為 DC 邊的中點(diǎn)， 且a， AB AD b， 則() BE Ab aBb a 1 2 1 2 Ca b Da b 1 2 1 2 解析：選 Aab ab a. BE BA AD DE 1 2 1 2

33、2已知平行四邊形 ABCD 中，(3,7)，(2,3)，對角線 AC 與 BD 交于點(diǎn) O， AD AB 則的坐標(biāo)為() CO A.B. ( 1 2，5) ( 1 2，5 ) C. D. ( 1 2，5) ( 1 2，5) 解析：選 D(2,3)(3,7)(1,10) AC AB AD . OC 1 2 AC ( 1 2，5 ) .故選 D. CO ( 1 2，5) 3在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，四邊形 ABCD 的邊 ABDC，ADBC.已知 A(2,0)， B(6,8)，C(8,6)，則 D 點(diǎn)的坐標(biāo)為() A(0，2) B(4,2) C(16,14) D(0,2) 解析：選 A設(shè) D(

34、x，y)，由題意知， BD BA BC 即(x6，y8)(8，8)(2，2)(6，10)， Error!Error!故選 A. 4設(shè)向量 a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量 4a,4b2c,2(ac)，d 的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量 d() A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6) 解析 ： 選 D設(shè) d(x，y)，由題意知 4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4， 2)，又 4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解 得 x2，y6，所以 d(2，6) 5已知向量(1，3)，(2，1)

35、，(k1，k2)，若 A，B，C 三點(diǎn)不 OA OB OC 能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù) k 應(yīng)滿足的條件是() Ak2 Bk1 2 Ck1 Dk1 解析：選 C若點(diǎn) A，B，C 不能構(gòu)成三角形， 則向量，共線， AB AC (2，1)(1，3)(1,2)， AB OB OA (k1，k2)(1，3)(k，k1)， AC OC OA 1(k1)2k0，解得 k1. 6(2015山西四校聯(lián)考)在ABC 中，點(diǎn) D 在線段 BC 的延長線上，且3，點(diǎn) O BC CD 在線段 CD 上(與點(diǎn) C，D 不重合)，若x(1x)，則 x 的取值范圍是() AO AB AC A. B. ( 0，1 2 )( 0，1

36、 3 ) C. D. ( 1 2，0) ( 1 3，0) 解析 ： 選 D依題意，設(shè)，其中 1 ，則有 BO BC 4 3 AO AB BO AB BC ()(1). AB AC AB AB AC 又x(1x)，且，不共線，于是有 x1，即 x 的取 AO AB AC AB AC ( 1 3，0) 值范圍是. ( 1 3，0) 二、填空題 7設(shè) e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且 ae12e2，be1e2，則向量 e1e2可以表示 為另一組基向量 a，b 的線性組合，即 e1e2_a_b. 解析：由題意，設(shè) e1e2manb. 因?yàn)?ae12e2，be1e2， 所以 e1e2m(e12e2)n(

37、e1e2)(mn)e1(2mn)e2. 由平面向量基本定理，得Error! 所以Error! 答案： 2 3 1 3 8已知兩點(diǎn) A(1,0)，B(1,1)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) C 在第二象限，且AOC135，設(shè) OC (R)，則 的值為_ OA OB 解析：由AOC135知，點(diǎn) C 在射線 yx(x0)上，設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(a，a)，a0， 則有(a，a)(1，)，得 a1，a，消掉 a 得 . 1 2 答案：1 2 9在ABC 中，點(diǎn) P 在 BC 上，且2，點(diǎn) Q 是 AC 的中點(diǎn)，若(4,3)， BP PC PA PQ (1,5)，則_. BC 解析：(3,2)， AQ PQ PA

38、2(6,4) AC AQ (2,7)， PC PA AC 3(6,21) BC PC 答案：(6,21) 10(2015九江模擬)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，n R是兩個(gè)向量集合，則 PQ 等于_ 解析：P 中，a(1m,12m)， Q 中，b(12n，23n) 則Error!得Error! 此時(shí) ab(13，23) 答案：13，23 三、解答題 11已知 a(1,0)，b(2,1)求： (1)|a3b|； (2)當(dāng) k 為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab 與 a3b 平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？ 解：(1)因?yàn)?a(1,0)，b(2,1)，所以 a3b(7,3)

39、， 故|a3b|.723258 (2)kab(k2，1)，a3b(7,3)， 因?yàn)?kab 與 a3b 平行， 所以 3(k2)70，即 k . 1 3 此時(shí) kab(k2，1)， ( 7 3，1) a3b(7,3)，則 a3b3(kab)， 即此時(shí)向量 a3b 與 kab 方向相反 12已知點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，t1t2. OM OA AB (1)求點(diǎn) M 在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng) t11 時(shí)，不論 t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M 三點(diǎn)共線 解 ： (1)t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2) 當(dāng)點(diǎn) M 在第二或第三象限時(shí)， OM

40、 OA AB 有Error! 故所求的充要條件為 t20 且 t12t20. (2)證明：當(dāng) t11 時(shí)，由(1)知(4t2,4t22) OM (4,4)， AB OB OA (4t2,4t2)t2(4,4)t2， AM OM OA AB A，B，M 三點(diǎn)共線 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 基礎(chǔ)盤查一平面向量的數(shù)量積 (一)循綱憶知 1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； 2了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系 (二)小題查驗(yàn) 1判斷正誤 (1)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量() (2)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量() (3)

41、兩個(gè)向量的夾角的范圍是() 0， 2 答案：(1)(2)(3) 2 (人教 A 版教材例題改編)已知|a|5， |b|4， a 與 b 的夾角 120， 則 ab_ 答案：10 基礎(chǔ)盤查二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 (一)循綱憶知 1掌握數(shù)量積的性質(zhì)及坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算； 2能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系 (二)小題查驗(yàn) 1判斷正誤 (1)由 ab0，可得 a0 或 b0() (2)兩向量 ab 的充要條件：ab0 x1x2y1y20() (3)若 ab0，則 a 和 b 的夾角為銳角；若 ab0，則 a 和 b 的夾角為鈍角()

42、 答案：(1)(2)(3) 2(人教 A 版教材復(fù)習(xí)題改編)已知|a|，|b|2，a 與 b 的夾角為 30，則|ab|3 _. 答案：1 3已知向量 a(1,2)，向量 b(x，2)，且 a(ab)，則實(shí)數(shù) x 等于_ 答案：9 基礎(chǔ)盤查三平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (一)循綱憶知 掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算 (二)小題查驗(yàn) 1判斷正誤 (1)(ab)ca(bc)() (2)abac(a0)，則 bc() 答案：(1)(2) 2 (人教 A 版教材習(xí)題改編)已知單位向量 e1， e2的夾角為 60， 則向量 a2e1e2與 b 2e23e1的夾角為_ 答案：150 |(基礎(chǔ)送分型考

43、點(diǎn)自主練透)考點(diǎn)一 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 必備知識 1平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量 a 和 b，它們的夾角為 ，把數(shù)量|a|b|cos 叫做 a 和 b 的數(shù)量積(或內(nèi) 積)，記作 ab.即 ab|a|b|cos ，規(guī)定 0a0. 2向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)abba. (2)(a)b(ab)a(b) (3)(ab)cacbc. 3平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積 ab 等于 a 的模|a|與 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘積 提醒投影和兩向量的數(shù)量積都是數(shù)量， 不是向量 題組練透 1(2015云南統(tǒng)一檢測)設(shè)向量 a(1,2)，b(m,1)，如果向量 a2b 與 2

44、ab 平行， 那么 a 與 b 的數(shù)量積等于() A B 7 2 1 2 C. D. 3 2 5 2 解析：選 Da2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由題意得 3(12m)4(2 m)0，則 m ， 1 2 所以 ab121 . ( 1 2 ) 5 2 2.(2013湖北高考)已知點(diǎn) A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，則向量在方向 AB CD 上的投影為() A. B. 3 2 2 3 15 2 C D 3 2 2 3 15 2 解 析 ： 選 A (2,1) ， (5,5) ， 由 定 義 知在方 向 上 的 投 影 為 AB CD AB CD . AB CD |

45、CD | 15 5 2 3 2 2 3(2014重慶高考)已知向量 a 與 b 的夾角為 60，且 a(2，6)，|b|，則 ab10 _. 解析：因?yàn)?a(2，6)， 所以|a|2，226210 又|b|，向量 a 與 b 的夾角為 60，10 所以 ab|a|b|cos 602 10.1010 1 2 答案：10 4(2015東北三校聯(lián)考)已知正方形 ABCD 的邊長為 2，2， ( DE EC DF 1 2 DC )，則_. DB BE DF 解析：如圖，以 B 為原點(diǎn)，BC 所在直線為 x 軸，AB 所在直線為 y 軸建 立平面直角坐標(biāo)系 則 B(0,0) ，E，D(2,2) 由 ()

46、 知 F 為 BC 的中 ( 2，2 3 ) DF 1 2 DC DB 點(diǎn)，故，(1，2)， BE ( 2，2 3 ) DF 2 . BE DF 4 3 10 3 答案：10 3 類題通法 向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即 ab|a|b|cos a，b (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 abx1x2 y1y2. 提醒(1)在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若 abac(a0)，則不一定得到 bc. (2)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c 不 一定等于 a(bc)

47、|(?？汲Ｐ滦涂键c(diǎn)多角探明)考點(diǎn)二 平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 必備知識 已知非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)： 結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示 模|a| aa|a| x2 1y2 1 夾角cos ab |a|b| cos x1x2y1y2 x2 1y2 1 x2 2y2 2 ab 的充要條件ab0 x1x2y1y20 多角探明 平面向量的夾角與模的問題是高考中的?？純?nèi)容， 題型多為選擇題、 填空題， 難度適中， 屬中檔題歸納起來常見的命題角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夾角； (3)平面向量的垂直. 角度一：平面向量的模 1已知平面向量 a，b 的夾角為 ，且|a|，|b|2，在

48、ABC 中，2a2b， 6 3 AB AC 2a6b，D 為 BC 中點(diǎn)，則|等于() AD A2B4 C6 D8 解析 ： 選 A因?yàn)?() (2a2b2a6b)2a2b，所以|24(a AD 1 2 AB AC 1 2 AD b)24(a22bab2)44，則|2. ( 32 2 3 cos 64) AD 2(2014北京高考)已知向量 a，b 滿足|a|1，b(2,1)，且 ab0(R)，則| _. 解析：|a|1，可令 a(cos ，sin )， ab0. Error!即Error! 由 sin2cos21 得 25，得| . 5 答案： 5 角度二：平面向量的夾角 3向量 a，b 均

49、為非零向量，(a2b)a，(b2a)b，則 a，b 的夾角為() A. B. 6 3 C. D. 2 3 5 6 解析 ： 選 B(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|2|b|2，即|a| |b|，故|a|22ab|a|22|a|2cos a，b0，可得 cosa，b ，又因?yàn)?0a，b 1 2 ，所以a，b . 3 4(2014江西高考)已知單位向量 e1與 e2的夾角為 ，且 cos ，向量 a3e12e2與 1 3 b3e1e2的夾角為 ，則 cos _. 解析 ： 因?yàn)?a2(3e12e2)29232cos 49，所以|a|3，b2(3e1e2)29 2

50、31cos 18，所以|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e 9e1e22e 92 2 12 2 911 28，所以 cos . 1 3 ab |a|b| 8 3 2 2 2 2 3 答案： 2 2 3 角度三：平面向量的垂直 5(2014重慶高考)已知向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù) k () A B0 9 2 C3 D.15 2 解析 ： 選 C因?yàn)?2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)6 0，解得 k3，選 C. 6 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 已 知 (2,3) ， (1 ， k) ， 則

51、k 的 值 為 AB AC _ 解析：當(dāng) A90時(shí)， ，0. AB AC AB AC 213k0，解得 k . 2 3 當(dāng) B90時(shí)， AB BC 又(1，k)(2,3)(1，k3)， BC AC AB 2(1)3(k3)0， AB BC 解得 k. 11 3 當(dāng) C90時(shí)， ，1(1)k(k3)0， AC BC 即 k23k10.k. 3 13 2 答案： 或或. 2 3 11 3 3 13 2 類題通法 平面向量數(shù)量積求解問題的策略 (1)求兩向量的夾角：cos ，要注意 0， ab |a|b| (2)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：abab0|ab|ab|. (3)求向量的

52、模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有： a2aa|a|2或|a|.aa |ab|.a b2a2 2abb2 若 a(x，y)，則|a|.x2y2 |(重點(diǎn)保分型考點(diǎn)師生共研)考點(diǎn)三 平面向量與三角函數(shù)的綜合 典題例析 (2013江蘇高考)已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0. (1)若|ab|，求證：ab；2 (2)設(shè) c(0,1)，若 abc，求 ， 的值 解：(1)證明：由題意得|ab|22， 即(ab)2a22abb22. 又因?yàn)?a2b2|a|2|b|21， 所以 22ab2，即 ab0，故 ab. (2)因?yàn)?ab(cos cos ，sin sin )(

53、0,1)， 所以Error! 由此得，cos cos ()， 由 0，得 0. 又 0， 1 2 所以 ， . 5 6 6 類題通法 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式， 運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等， 得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解 (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題 思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等 演練沖關(guān) 已知向量 a，b，c(，1)，其中 xR， ( cos 3x 2 ，sin 3x 2 )( cos x 2，sin x 2) 3 (1)當(dāng) ab 時(shí)，

54、求 x 的取值集合； 1 2 (2)設(shè)函數(shù) f(x)(ac)2，求 f(x)的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間 解：(1)abcos cos sin sin cos x ，x2k (kZ) 3x 2 x 2 3x 2 x 2 1 2 3 所求 x 的取值集合為 xx2k ，kZ. 3 (2)ac， ( cos 3x 2 3，sin 3x 2 1) f(x)(ac)2 22 ( cos 3x 2 3 )( sin 3x 2 1) 52cos 2sin 543 3x 2 3x 2 ( 1 2sin 3x 2 3 2 cos 3x 2 ) 54sin. ( 3x 2 3) 最小正周期為 T. 2 3 2

55、4 3 由 2k 2k (kZ)， 2 3x 2 3 2 得 x(kZ) 4k 3 9 4k 3 5 9 單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ) 4k 3 9， 4k 3 5 9 一、選擇題 1(2015惠州調(diào)研)已知向量 p(2，3)，q(x,6)，且 pq，則|pq|的值為() A.B.513 C5 D13 解析 ： 選 B由題意得 263x0 x4|pq|(2， 3)(4,6)|(2,3)|.13 2(2015長春調(diào)研)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若 為實(shí)數(shù)，(ba)c， 則 的值為() A B 3 11 11 3 C. D. 1 2 3 5 解析：選 Aba(1,0)(1,2)(1，2)，c(3,4)，又(ba)c，(ba)c 0，即(1，2)(3,4)3380，解得 ，故選 A. 3 11 3已知向量 a，b 滿足(a2b)(5a4b)0，且|a|b|1，則 a 與 b 的夾角 為() A. B. 3 4 4 C. D. 3 2 3 解析：選 C因?yàn)?a2b)(5a4b)0，|a|b