面包烘烤論文 烤箱烘烤面包問題

1、2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： a 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報

2、名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2012 年 07 月 28 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2011高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：a題：烤箱烘烤面包問題摘要本文針對如何使烤箱工作時間最短為最優(yōu)化選擇條件,根據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出面包的總?cè)萘縱為690,首先按最小目標法算出所需烘

3、烤次數(shù)n為17.25,因為此題屬于整數(shù)規(guī)劃問題,故取n=18。對于問題一，首先按所需烘焙時間對51組數(shù)據(jù)進行了排序,這樣很容易找到滿足兩面包所需烘烤時間之差小于5分鐘的組合，接下來按照題目的一般要求,給出了一個一般性方案,結(jié)果表明,所需烘烤次數(shù)n為18,所需時間為264分鐘, 根據(jù)實際情況，也為簡化模型，在以后的解題中，我們只考慮烘烤次數(shù)為18次的情形。最后建立模型與此一般性方案進行比較。評價的原則是烘烤方案使得烘烤時間越少越好。對于問題二，我們有兩種理解，一是認為題目要求的是設(shè)計一個方案使得三臺烤箱的工作時間之和最少，這種理解顯然與問題一的題目要求重復(fù)，不可取；二是認為題目要求設(shè)計的方案使得

4、三臺烤箱中工作時間最長的那臺烤箱的所用時間最短。經(jīng)過思考我們認為出題者的題意是我們的第二種理解，基于此種理解，我們建立了模型，設(shè)計出工作時間盡可能短的面包烘烤方案。對于問題三，我們也有兩種理解，一是認為在烘烤的同時面包烘烤前的準備不可以進行；二是在烘烤的同時面包烘烤前的準備可以進行。最終我們依據(jù)實際情況，認為第二種理解是合情合理的。然后我們再次按照所需烘烤時間的長短對三組整體數(shù)據(jù)進行了排序，抽取滿足題意的一組面包進行烘烤，獲得了一個一般性的烘烤方案,方案顯示烘烤次數(shù)n為18次，所需時間為293分鐘。然后建立模型，編寫程序，設(shè)計一個用時短，烘烤次數(shù)少的烘烤方案。建模過程中結(jié)合整體規(guī)劃思想和多目標

5、決策分析方法，運用0-1變量編寫lingo程序。對模型的優(yōu)缺點進行了評價。關(guān)鍵詞 ： 整數(shù)規(guī)劃模型 0-1變量 多目標決策分析方法 lingo一問題重述 一個面包房現(xiàn)有一些面包需要放入烤箱烘烤，烤箱的容量為40個單位，每個面包烘烤所需要的時間（分鐘）和所占用的烤箱容量（單位）如下表所示：烘烤所需時間（分鐘）101692116148101210911148131717所占烤箱容量（單位）129151020161012172414691071921烘烤所需時間（分鐘）910131481720151612810918101311所占烤箱容量（單位）12916851716891214111924141

6、216烘烤所需時間（分鐘）211615172422261218111516914121913所占烤箱容量（單位）96211510149221681415169142316面包的烘烤規(guī)則如下：大小不同，烘烤時間不同的面包可以同時烘烤，但是不能和比自己的烘烤時間大于5分鐘的放在一起烘烤，以免烤壞。一旦烤箱開始工作，中間不能打斷，也不允許移走正在烘烤的面包。（1） 請為面包房設(shè)計一個烘烤方案，使得烤箱的工作時間盡可能短；并且評價該方案的性能優(yōu)劣。（2） 假設(shè)現(xiàn)有另外兩臺烤箱可供同時使用，請另外為面包房設(shè)計一個烘烤方案，使得三臺烤箱的工作時間盡可能短；并且評價該方案的性能優(yōu)劣。（3） 假設(shè)各個面包在烘

7、烤前還需要一定的準備時間（制作，發(fā)酵），各個面包的準備好的時刻列表如下（對應(yīng)于上表的面包順序），只有在準備時間之后面包才可以開始烘烤?，F(xiàn)只有一臺烤箱可供使用，請為面包房設(shè)計一個烘烤方案。面包準備好的時刻（分鐘）61619314212281319263921343831727面包準備好的時刻（分鐘）9271630294322263311451724823332面包準備好的時刻（分鐘）825282336193512362739111723132431二問題分析2.1 問題一的分析2.1.1 針對問題一，首先對數(shù)據(jù)進行排序，按照各個面包所需烘烤時間長短,所需要烘烤單位量，結(jié)合題目給出的數(shù)據(jù)，依據(jù)題目

8、所給限制條件：大小不同，烘烤時間不同的面包可以同時烘烤，但是不能和比自己的烘烤時間不大于5分鐘的放在一起；每一爐最大烘烤單位量不大于40個單位量，由此運用excel將原始數(shù)據(jù)以所需時間降序排列如下表:表1所需時間容量所需時間容量所需時間容量269161511162410158118221415211012211015141012219141610242016149109192314810111824149101418161379151719131691417211312912171713169191715121791616912128101620122281016912148516611681

9、42.1.2根據(jù)題設(shè)條件列出約束不等式： ， 且服從模型: 依據(jù)上表很容易看出兩個面包時間差在5分鐘之內(nèi)的，在依據(jù)面包的容量單位值和不大于40個單位進行組合，根據(jù)題意建立整數(shù)規(guī)劃模型，利用數(shù)學(xué)軟件lingo求解最優(yōu)化烘烤方案。2.2 問題二的分析 針對問題二，在與問題一相比，面包的各個品類不變，面包的容量單位總和不變，增加兩臺烤箱，共計3臺烤箱，三臺烤箱在工作效率、烤箱容量近似相同，不受外界因素影響。同時滿足問題一所涉及的各個面包大小不同，烘烤時間不同的面包可以烘烤，但是不能和比自己的烘烤時間大于5分鐘的放在一起烘烤，以免燒壞；同時做到烤箱的容量相加不得大于40個基本單位。 對于問題二，三臺烘

10、烤箱同時參與烘烤，與問題一相比增加了單位時間烘烤工作量，提高工作效率。三臺烘烤機同時工作，以工作時間最長的作為目標函數(shù)最小工作時間，而非將問題一烘烤方案的分三次疊加，由以上分析重新建立整數(shù)規(guī)劃模型，從而達到三臺烘烤箱達到均合利用，且所用時間相差達到最小，繼而求得三臺烘烤箱同時工作最優(yōu)最短時間。2.3 問題三的分析針對問題三，在問題一、二的烘烤方式不變的情況下，引入實際條件，添加各種面包的準備時間，面包制作分為了準備時間與烘烤時間。怎樣更好處理準備時間與烘烤時間，從而達到整體時間最小，如果單一利用問題一、二的解決方案顯然所得烘烤時間不是最短時間，且浪費很多時間在面包的準備上。由題意，各個面包在烘

11、烤前需要一定的準備時間（制作，發(fā)酵），各個面包在烘烤前必須有一定的準備時間（各個面包準備時間如下表），考慮到從準備各個面包開始到所有面包出爐所用時間最少最為模型的基本評價標準。 欲要求得所用時間最小，必須合理安排滿足各個面包所用烘烤時間絕對值不大于分鐘；烘烤箱所容面包的單位量不大于40個單位，結(jié)合各個面包的準備時間長短，烘烤時間合理安排開始烘烤時間，即做到各個面包準備的同時，滿足條件便可進入烘烤箱烘烤。 由以上問題分析，并結(jié)合問題一、二重新建立整數(shù)規(guī)劃模型，運用lingo軟件來實現(xiàn)。三問題假設(shè)1 不同種面包組合烘烤時，要以烘烤時間最長的作為烘烤時間。2 烘烤箱最工作效率、容量及外部環(huán)境相等，不

12、影響烘烤效果。3 面包準備好便可烘烤，準備好以后的面可以放置較長時間。4 每爐烘烤完畢后，爐與爐之間裝爐時間不計。四符號說明各個面包的容量與對應(yīng)各個面包類別的所需烘烤時間任意面包烘烤時間相差絕對值一次烘烤的實際面包容量和全部面包的總?cè)萘克脮r間疊加總和每次烘烤實際單位量與烘烤箱最大容量只差方案中總之和烘烤一次所需時間單位量與容量差累加和面包種類數(shù)烘烤次數(shù)每次烘烤的面包數(shù)（）準備時間（不同種類的面包的準備時間）準備時間與烘烤時間的累加和時間緊湊度烤箱的容量利用度五建立整數(shù)規(guī)劃模型 5.1問題一模型對于問題一的模型建立，首先根據(jù)51種面包，它們的各個所需烘烤時間、烘烤的單位容量建立目標函數(shù)： ，每

13、烘烤一次時間為，總時間等于每次烘烤爐的和，要滿足上邊目標函數(shù)，則需在限制可行域里 ， 5.2 問題二模型針對于問題二的模型建立，結(jié)合問題一的模型，依據(jù)相同的模型思路，不同的是三臺烘烤箱同時烘烤，三臺烘烤箱同時、三臺烘烤箱作為三個個體單獨進行烘烤，每次的烘烤單位容量不是單一的，容量的疊加。針對問題二的實際問題，建立整數(shù)規(guī)劃模型，必須滿足，根據(jù)各組合所用烘烤時間，我們發(fā)現(xiàn)要想使得三臺烤箱的工作時間盡可能短，即工作時間最長的那臺的工作時間最短，應(yīng)該做到讓三臺烤箱的各自工作時間相差盡可能小。基于此種考慮我們重新對問題一中的面包的烘烤組合形式進行了安排，得出了三臺烤箱要烘烤的面包的烘烤組合形式。同樣必須

14、滿足限制條件： ， 每臺烘烤爐烘烤的各種面包所需要的時間滿足：當三臺烘烤爐同時工作時，在滿足以上條件下前提下，應(yīng)遵循題意最短時間為三臺烘烤爐最后結(jié)束工作時所用時間為最長的一臺，其工作的總時間為所求時間，即問題二模型所求的最佳組合時間。 5.3 問題三模型問題三與問題一相比，在滿足基本限制條件外，面包在入爐烘烤之前增加了準備時間，各個面包的準時間不同，準備結(jié)束之后便可入爐烘烤，各面包之間互不影響。各個面包準備的時間為，由于各面包準備時間不同，且準備好之后便可入爐，要想模型所用時間最小，必須部分面包準備完畢后便要入爐，即做到邊準備邊烘烤。六模型求解6.1問題一的解答跟據(jù)已知條件得出一個烘烤方案如下

15、： 由上述的三維圖可以清晰看出各類面包烘烤所需時間和所占容量的差別，使用lingo軟件根據(jù)所建立的模型，編寫程序進行求解，得出結(jié)果如下：組合用時容量和殘差組合用時容量和殘差2691316241012172110116133912192638212222214111612382192322373121220161214182420400101412400171911817211740010121816109171510111140016918400102417171012103641620173739151699141668109391161581415816382916152181094001

16、51415355912141691914985936414813714400690149264131630131214373上表中的結(jié)果即為能使得烤箱工作時間盡可能短的一個烘烤方案。該方案為51種面包的烘烤找到了最省時間的烘烤方法，保證了各類面包的烘烤時間在該面包的烘烤時間要求范圍內(nèi)。但是該方案沒有考慮51種面包的各類需求量，和各類面包的保質(zhì)時間，以及要求人們對這51種面包非常熟悉，能夠在烘烤時準確的分類，所以該方案未必具有可行性。6.2問題二的解答現(xiàn)有三臺烘烤箱可以使用，為了使三臺烘烤箱的工作時間盡可能短，在問題一的基礎(chǔ)上，使用lingo編寫程序，得到如下結(jié)果：對問題的面包烘烤組合進行重排得

17、出以下最優(yōu)解：a烤箱b烤箱c烤箱111269221420162410192318242110219222171918161717172117151620169333152114161691514149166148161513715844412221316149111612171316116131255591512121189141214101281010141091011666814912102491691910128108588(分鐘)88(分鐘)88(分鐘)上表的結(jié)果即為在保證了各類面包的烘烤時間的基礎(chǔ)上得到的能使三臺烘烤箱工作時間盡可能短的方案 該模型具在有方案一的缺點的同時，沒有考慮三

18、臺烘烤箱的不同工作效率，所以也不具有可行性。6.3問題三的解答 ：由于各類面包在烘烤前還需要一定的準備時間，而且準備所需時間也不相同，在保證烘烤面包前等待時間盡可能短的情況下，使用lingo軟件，求得能使烘烤箱工作時間盡可能短的方案，如下表：烘烤順序123456容量313739403939時間2691091010烘烤順序789101112容量393934393937時間111213141415烘烤順序131415161718容量404039403524時間161718202126烘烤順序19容量16時間22總時間293七模型評價7.1模型評價指標模型的好壞依據(jù)烤箱所需時間的長短來判斷，時間越短

19、，模型越好；反之則不好。怎樣說明時間的長短，有何標準，我們注意到，如果個組合中每個面包所需烘烤時間越集中，則總的用時就越少。即較大的所學(xué)時間與較大的所需時間組合，這樣不會使得較大的所需時間對較小的所需時間進行干擾，造成時間的等待。在這里我們定義了時間緊湊度這一概念：其中越小越好，定義了的同時還需定義烤箱容量的利用度，即每一烤箱實際盛放面包的容量與烤箱的容量之比。根據(jù)面包的總?cè)萘繛?90單位，690/40=17.25，即最低烘烤次數(shù)為18次，此時最大。我們還找到了一個一般的方案，烘烤的次數(shù)是18，因此為簡化模型我們認為烘烤的次數(shù)固定為18次。此時才具有實際的評判意義。7.2 三個問題的評鑒 在所

20、建立的模型中，都未考慮各類面包的需求量，所以所建立的模型不具有普遍性，要想得到更加使用的模型，必須考慮各類面包的需求量，即需要對模型進行優(yōu)化。 八參考文獻1 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用m，北京：高等教育出版社，20052 謝金星，優(yōu)化建模與lindo/lingo軟件，北京：清華大學(xué)出版社，2005.73 盛驟，謝式千，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，北京：高等教育出版社，20034 姜啟源，數(shù)學(xué)模型（第五版），北京：高等教育出版社，19925 費業(yè)泰，誤差理論與數(shù)據(jù)處理（第五版），北京：機械工業(yè)出版社，2004.66 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，2005.67 董希琳，趙智鍵.核電

21、站核事故核素污染評估模式j(luò).火災(zāi)科學(xué)，1999，8(2).九、附錄：所需時間容量所需時間容量所需時間容量2691615111624101581182214152110122110151410122191416102420161491091923148101118241491014181613791517191316914172113129121717131691917151217916169121281016201222810169121485166116814組合用時容量和殘差組合用時容量和殘差26913162410121721101161339121926382122222141116123821923223731212201612141824204001014124001719118172117400101218161091715101111400169184001024171710121036416201737391516991416681093911