第三講2.2 拉普拉斯變換

1、工程控制原理2。數(shù)學(xué)模型和交付函數(shù)2.2拉普拉斯變換，演講：彭炎辦公室：機械建筑205室電子郵件：辦公電話：56334137，上節(jié)課內(nèi)容審查系統(tǒng)微分方程建立，系統(tǒng)的物理本質(zhì)差異很大，但描述他們動態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型相似。2.2拉普拉斯變換系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)分析方法：時域方法、頻域方法。2 .數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)、頻域分析是經(jīng)典控制理論的核心，廣泛應(yīng)用于間接使用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應(yīng)。2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)函數(shù)復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)形式s=j(一個實數(shù)和一個虛擬部，都是實數(shù))的兩個復(fù)數(shù)是相同的。僅當(dāng)實際部分和虛擬部分各不相同時。復(fù)數(shù)是0。只有在實際部分和虛擬部分都為零的情況下才能實現(xiàn)。2.

2、2拉普拉斯變換(稱為虛擬單位)，復(fù)數(shù)表示是復(fù)數(shù)s=j復(fù)合平面。由橫坐標(biāo)(實際軸)、坐標(biāo)(虛擬軸)組成的平面稱為雙平面或S平面。復(fù)數(shù)s=j可以在復(fù)平面S中表示為點(，)。復(fù)數(shù)形式對應(yīng)于蒙面的一點。2.2.1多個和復(fù)合函數(shù)，多個矢量表示多個s=j可以表示為從原點指向點(，)的矢量。矢量的長度是復(fù)數(shù)模：2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)函數(shù)，矢量和軸的角度是復(fù)數(shù)s的復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)三角函數(shù)表示和金志洙表示可以根據(jù)蒙面的圖標(biāo)獲得。=r cos，=r sin復(fù)數(shù)三角函數(shù)表示法：s=r (cos j ss復(fù)數(shù)金志洙表示法：復(fù)變數(shù)，極點，零點的概念是復(fù)變由復(fù)數(shù)s=j組成的函數(shù)G(s):G(s)=U JV表示式中，2.2.1復(fù)數(shù)

3、和復(fù)數(shù)函數(shù)，s=-zi，G(s)=0，si=-zi被稱為G(s)的零點。一般來說，在線性控制系統(tǒng)中，復(fù)合函數(shù)G(s)是多個S的單值函數(shù)。也就是說，它對應(yīng)于S的給定值，G(s)具有對應(yīng)的唯一值。如果復(fù)合函數(shù)顯示為，則(b) s=-pj，G(s)，sj=-pj稱為G(s)的極點。例如，s=j時，查找變形函數(shù)G(s)=s2 1的實際u和虛擬v。2.2.1多個和復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的實數(shù)，復(fù)合函數(shù)的虛擬部分，解決方案：g (s) S2 1 (j) 2 1 2j (2)-2 1 (2-2 1) j(，2.2拉普拉斯變換，復(fù)合變量，時間函數(shù)f(t)、t 0、f(t)0；在T0處定義函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換

4、為：是否有拉普拉斯變換取決于定義的積分是否收斂。拉氏變換存在的條件：在t0處，f(t)段連續(xù)且僅有間斷點。t中f(t)的增長率不超過指數(shù)函數(shù)，即2.2.2拉普拉斯變換的定義。在復(fù)雜平面中，Res a的所有多個s (Res表示S的substance)絕對收斂積分表達式，因此Res a是拉普拉斯變換的定義域。格式：m，a是實數(shù)常數(shù)。2.2.3一般時間函數(shù)的拉普拉斯變換(1)單位步長函數(shù)單位步長函數(shù)定義：2.2拉普拉斯變換，(2)單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)定義：2.2.3一般時間函數(shù)的拉普拉斯變換，以及：(3，(5)正弦信號函數(shù)正弦信號函數(shù)定義：2.2.3正常時間函數(shù)的拉普拉斯變換，Euler公式，正

5、弦表示：(6)馀弦信號函數(shù)馀弦信號函數(shù)定義：2.2.3正常時間函數(shù)的拉普拉斯變換，Euler公式拉普拉斯變換摘要(續(xù)1)，2.2.3正常時間函數(shù)的lauer同樣，對于二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：(3)微分定理擴展到n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換。2.2.4拉普拉斯變換的基本特征；證明：(4)與積分定理一樣，N中積分的拉普拉斯變換：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，函數(shù)f(t)角積分的初始值都為零，注：利用積分定理，可以求出時間函數(shù)，利用微分定理和積分定理，把微分積分方程換成代數(shù)方程。(5)最終值定理：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，是，左積分寫，(6)初值定理，2.2.

6、4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)，格式：2.2公式：2.2拉普拉斯變換，拉普拉斯逆變換計算有多種茄子方法。如果是簡單的大象函數(shù)，可以直接確認拉普拉斯變換表。對于復(fù)雜性，可以使用部分分?jǐn)?shù)擴展方法。將f(t)的拉普拉斯變換F(s)除以各部分的和，即2.2.5拉普拉斯逆變換，F(xiàn)1(s)，F(xiàn)2(s)，F(xiàn)n(s)的rases，(2)在部分分?jǐn)?shù)展開法系統(tǒng)分析問題中的F，將分母B(s)寫成收購分解：2.2.5拉普拉斯逆變換，表達式中的P1，p2，pn稱為B(s)的根或F(s)的極值點，可能是實數(shù)。如果是復(fù)仇，就必須負一對軛。如果A(s)的階比B(s)高，則先用分母B(s)去除分子A(s)，得到s的多項式，再加上分?jǐn)?shù)

7、形式的余數(shù)，分子s多項式的階小于分母s多項式的階數(shù)。(1)分母B(s)無重根時，F(xiàn)(s)始終可以展開為簡單部分分?jǐn)?shù)的和。也就是說，在表達式中，ak(k=1，2，n)是常數(shù)，系數(shù)ak稱為極s=-pk的除數(shù)。，2.2.5拉普拉斯逆變換，AK的值可以通過等式兩邊乘以(s PK)并賦予s=-pk的方法來求出。也就是說，2.2.5拉普拉斯逆變換，在所有展開的項目中，除了包含AK的項目外，所有其他項目都消失了，因此f(t)時間的實際函數(shù)(例如P1和p2是共軛復(fù)數(shù))必須是共軛復(fù)數(shù)。在牙齒的情況下，常識可以原封不動地適用。軛上的復(fù)數(shù)只需計算一個復(fù)數(shù)1(或2)，其他復(fù)數(shù)2(或1)當(dāng)然知道。2.2.5拉普拉斯逆變

8、換，示例1 F(s)的拉氏逆變換，已知，解析，作為油水計算公式的2.2.5拉普拉斯逆變換，察氏變換表，2，2示例2 L-1F(s)，已知2.2.5拉普拉斯逆變換.2.2.5拉普拉斯逆變換，2.2.5拉普拉斯逆變換等P1牙齒K中根的系數(shù)為，示例3已知的F(s)，L-1F(s)。2.2.5拉普拉斯逆變換，上述公式，2.2.5拉普拉斯逆變換，查拉氏變換表，是，2.2.5拉普拉斯逆變換，因此結(jié)果：使用拉普拉斯變換解微分方程的步驟：整理以(1 (2) S為變換的代數(shù)方程，以解為微分方程的變量的拉氏表達式對牙齒變量求拉氏逆變換，可以得到時間周期(以時間T為參數(shù))微分方程的解。利用拉氏逆變換法，可以求出線性常微分方程的電解(補解和特有)。要求解微分方程