極點(diǎn)、極線,配極原則.ppt

1、時間：10月12日 授課老師：劉小輝 Tel:6188199 E-mail:,5.3極點(diǎn)、極線，配極原則,教案再現(xiàn):,數(shù)學(xué)科學(xué)對于經(jīng)濟(jì)競爭是必不可少的，數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵性的、普遍的、可實行的技術(shù)。 引自：數(shù)學(xué)科學(xué).技術(shù)與經(jīng)濟(jì)競爭力, 5.3 極點(diǎn)、極線，配極原則,一、引入,在二次曲線理論中十分重要, 二次曲線的大部分重要性質(zhì)均與配極有關(guān). 只討論二階曲線, 總假定：非退化.,設(shè),定義1 兩點(diǎn)P, Q關(guān)于共軛. (如圖),定理1 點(diǎn)P關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線Sp=0.,證明 設(shè)P(pi), Q(qi). 則PQ與: S=0的交點(diǎn)M(pi+qi)滿足,設(shè)其兩根為1, 2. 則交點(diǎn)為Mj( pi+

2、jqi), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2)=1 1/2=1 1+2=0,將qi改為流動坐標(biāo)xi, 得P關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡為直線Sp=0., 5.3 極點(diǎn)、極線，配極原則,二、極點(diǎn)與極線,定理1 點(diǎn)P關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線Sp=0.,推論1 兩點(diǎn)P, Q關(guān)于共軛Spq=0. 即,注2. P在上, 則Spp=0, 由推論1, 上的點(diǎn)關(guān)于自共軛.,注1. 驗證兩點(diǎn)P, Q關(guān)于共軛, 只要驗證上式.,2. 極點(diǎn)與極線,定義2 對于點(diǎn)P, 若,則稱P關(guān)于的,共軛點(diǎn)軌跡p,切線p,為P關(guān)于的極線, 方程為Sp=0. 反之, 稱P為直線p關(guān)于的極點(diǎn).,注. 由定義2及推論1, 有 定義2:

3、相互在對方極線上的兩點(diǎn)稱為關(guān)于的共軛點(diǎn).,1. 問題提出, 5.3 極點(diǎn)、極線，配極原則,一、極點(diǎn)與極線,推論2 平面上任一點(diǎn)P關(guān)于的極線存在唯一, 方程為Sp=0. 反之, 平面上任一直線p關(guān)于的極點(diǎn)存在唯一.,證明 只要證后半. 設(shè)直線u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u關(guān)于的極點(diǎn).設(shè)P(pi)為其一個極點(diǎn), 由于P(pi)的極線唯一存在為Sp=0, 從而u與Sp=0為同一直線, 由此可以推知,因為|aij|0, 故(4.17)對于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的極點(diǎn)P唯一存在.,(*)表示直線u與它的極點(diǎn)P之間的關(guān)系, 稱為極點(diǎn)方程組.,3. 主要結(jié)論, 5.3 極點(diǎn)、極

4、線，配極原則,二、極點(diǎn)與極線,4. 極點(diǎn)與極線的計算,(1). 已知P(pi), 求極線, 直接求Sp=0.,(2). 已知uui, 求極點(diǎn), 將ui代入(*), 解出(pi). (注：在實際計算時, 可取=1, 見教材),注：(*)是一個非奇異線性變換, 是由: S=0通過關(guān)于它的極點(diǎn)極線關(guān)系規(guī)定的同底點(diǎn)場與線場之間的一個雙射.,定義3 相互通過對方極點(diǎn)的直線稱為關(guān)于的共軛直線.,注. 利用Maclaurin定理及對偶原則, 有: 兩直線ppi, qqi關(guān)于: S=0共軛Tpq=0,根據(jù)推論2, 可以對偶地給出下列定義, 5.3 極點(diǎn)、極線，配極原則,二、極點(diǎn)與極線,對于,點(diǎn)P(pi)關(guān)于的

5、極線(P關(guān)于的共軛點(diǎn)的軌跡)方程：Sp=0.,點(diǎn)P(pi), Q(qi)關(guān)于共軛,直線uui關(guān)于的極點(diǎn)：下列極點(diǎn)方程組的解,例1,求點(diǎn)(1,-1,0)關(guān)于二階曲線 的極線?,例2,求直線 關(guān)于 的極點(diǎn).,(3,-1,-1), 5.3 極點(diǎn)、極線，配極原則,三、配極變換,1. 配極變換,定義4 稱由,決定的同底點(diǎn)場與線場之間的變換為關(guān)于非退化二階曲線: S=0的配極變換.,注1. 任一非退化二階曲線都決定了平面上的一個配極變換.,注2. 配極變換是異素變換, 是一個雙射.,注. 本定理給出了配極變換的最基本的幾何性質(zhì).,定理2 (配極原則)點(diǎn)P關(guān)于的極線p通過點(diǎn)Q點(diǎn)Q關(guān)于的極線q通過點(diǎn)P.,定理

6、2(配極原則) 直線p關(guān)于的極點(diǎn)P在直線q上直線q關(guān)于的極點(diǎn)Q在直線p上., 4.3 配極變換,二、配極變換,1. 配極變換,推論1 兩點(diǎn)連線的極點(diǎn)為此二點(diǎn)極線的交點(diǎn)；兩直線交點(diǎn)的極線為此二直線極點(diǎn)的連線.,推論2 共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn)；共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線.,推論3 關(guān)于非退化二階曲線的配極變換使得點(diǎn)列對應(yīng)于線束, 線束對應(yīng)于點(diǎn)列；圖形對應(yīng)于其對偶圖形.,推論4 關(guān)于非退化二階曲線的配極變換使得共線四點(diǎn)的交比等于其對應(yīng)共點(diǎn)四直線的交比. 因此, 配極變換規(guī)定了一個點(diǎn)列與其對應(yīng)線束之間的一個射影對應(yīng).,綜上：,非退化二階曲線,配極變換,二維異素射影變換,二維異素射影變換,對偶變換,從而,配極原則,

7、特殊的對偶原則,探索3一個完全四點(diǎn)形的四個頂點(diǎn)在一個二階曲線上，則這個完全四點(diǎn)形的對邊三點(diǎn)形的頂點(diǎn)與對邊何關(guān)系？,結(jié)論：一個完全四點(diǎn)形的四個頂點(diǎn)在一個二階曲線上，則這個完全四點(diǎn)形的對邊三點(diǎn)形的頂點(diǎn)是其對邊的極點(diǎn), 5.3 配極變換,二、配極變換,2. 自極三點(diǎn)形(應(yīng)用性極強(qiáng)的重要概念),定義5 若一個三點(diǎn)形關(guān)于每個頂點(diǎn)是其對邊的極點(diǎn)(即每邊是其對頂?shù)臉O線), 則稱此三點(diǎn)形為關(guān)于的一個自極三點(diǎn)形.,定理2 內(nèi)接于非退化二階曲線的完全四點(diǎn)形的對邊三點(diǎn)形是關(guān)于的一個自極三點(diǎn)形.,注1. 自極三點(diǎn)形的任一頂點(diǎn)不在上.,注2. 自極三點(diǎn)形恰有一個頂點(diǎn)在的 “內(nèi)部”.,注3. 自極三點(diǎn)形任意兩頂點(diǎn)相互共軛

8、; 任意兩邊相互共軛.,例3. 給定不在上的一點(diǎn)P(pi), 任求的一個自極三點(diǎn)形PQR.,解. (i) 求P(pi)的極線p： Sp=0.,(ii) 在p上任取不屬于的一點(diǎn)Q(qi), 求Q的極線q： Sq=0.,(iii) 求p與q的交點(diǎn)R(ri), 則PQR必為的一個自極三點(diǎn)形., 5.3 配極變換,3. 配極變換的基本應(yīng)用,(1). 幾何證明題,靈活運(yùn)用配極原則以及自極三點(diǎn)形等概念,(2). 極點(diǎn)極線作圖,例4. 已知非退化二階曲線及不在上一點(diǎn)P, 求作P關(guān)于的極線p.,例5. 已知非退化二階曲線以及一直線p, 求作p關(guān)于的極點(diǎn)P.,作法. 在p上任取不在上兩相異點(diǎn)Q,R, 利用上例,

9、 作Q,R關(guān)于的極線q,r. 則qr=P.,例6. 已知非退化二階曲線及外一點(diǎn)P, 過P求作的兩切線.,作法一. 利用例4, 設(shè)p交于E,F, 連PE, PF即可.,作法二. 如圖. 過P任作三割線, 可得切線.,一、極點(diǎn)與極線,二、配極變換,1. 配極變換,2. 自極三點(diǎn)形,課堂小結(jié),關(guān)鍵詞：極線 ；極點(diǎn)；配極原則 熟練用配極原則解決幾何問題； 熟悉配極原則和對偶原則的關(guān)系，并感受和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美 。,作業(yè)布置,作業(yè)冊P115：3、4、5、6. 課題拓展與應(yīng)用： * 利用配極原則設(shè)計初等幾何命題；,文獻(xiàn)推介,白景華，配方法與配極變換法的聯(lián)系，開封大學(xué)學(xué)報，1998，2； 馮天祥，配極原則及其應(yīng)用，重慶三峽學(xué)院學(xué)報， 2002，4. 王永興，二次曲線極與極線理論的兩個結(jié)果，渭南師專學(xué)報，1999，5.,問題1:如何判定二點(diǎn)成共軛?,探究1:兩點(diǎn)關(guān)于某