高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量第8講立體幾何中的向量方法(二)——求空間角課件理新人教版.ppt

1、第8講立體幾何中的向量方法(二)求空間角,最新考綱1.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題；2.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用.,知 識 梳 理,1.異面直線所成的角 設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則,|cosa，n|,3.求二面角的大小 (1)如圖，AB，CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小_.,(2)如圖，n1，n2 分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos |_，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角).,|cosn1，n2|,診 斷 自 測,1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)

2、 精彩PPT展示 (1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.() (2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.() (3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角.(),答案(1)(2)(3)(4),2.(選修21P104練習(xí)2改編)已知兩平面的法向量分別為m(0，1，0)，n(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為() A.45 B.135 C.45或135 D.90,答案C,答案C,答案30,5.(2017鄭州預(yù)測)過正方形ABCD的頂點A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為_.,解析如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)ABP

3、A1，則A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0， 0，1)，由題意，AD平面PAB，設(shè)E為PD的中點，連接AE，則AEPD，,答案45,解(1)因為PA底面ABCD，CD平面ABCD， 所以PACD.又ADCD，PAADA， 所以CD平面PAD，,圖1,圖2,考點二利用空間向量求直線與平面所成的角 【例2】 (2016全國卷)如圖，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點，AM2MD，N為PC的中點. (1)證明MN平面PAB； (2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.,規(guī)律方法利用向量法求線面角的方法： (1)分別求出斜線和它在平

4、面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)； (2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.,【訓(xùn)練2】 (2017福州質(zhì)檢)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160. (1)證明：ABB1C； (2)若B1C2，求AC1與平面BCB1所成角的正弦值.,又ABC為等腰直角三角形，且ABAC， ACAB，ACAB1A， AB平面AB1C.又B1C平面AB1C，ABB1C.,考點三利用空間向量求二面角(易錯警示) 【例3】 (2017商丘模擬)如圖，

5、在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D為AC的中點，ABB1D. (1)求證：平面ABB1A1平面ABC； (2)求直線B1D與平面ACC1A1所成角的正弦值； (3)求二面角BB1DC的余弦值.,(1)證明取AB中點為O，連接OD，OB1， B1BB1A，OB1AB. 又ABB1D，OB1B1DB1， AB平面B1OD，OD平面B1OD，ABOD. B1BC90，即BCBB1， 又ODBC，ODBB1，又ABBB1B， OD平面ABB1A1，又OD平面ABC， 平面ABC平面ABB1A1.,規(guī)律方法利用向量計算二面角大小的常用方法： (1)找法向量法：分別求出二

6、面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小. (2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.,易錯警示對于：用線面垂直的判定定理易忽視面內(nèi)兩直線相交； 對于：建立空間直角坐標系，若垂直關(guān)系不明確時，應(yīng)先給出證明；,對于：求出法向量夾角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值還是負值，確定二面角余弦值正負有兩種方法： 1通過觀察二面角是銳角還是鈍角來確定其余弦值的正負； 2當不易觀察二面角是銳角還是鈍角時可判斷兩半平面的法向量與二面角

7、的位置關(guān)系來確定.,【訓(xùn)練3】 (2016蘭州模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAB底面ABCD，底面ABCD為矩形，PAPB，O為AB的中點，ODPC. (1)求證：OCPD； (2)若PD與平面PAB所成的角為30，求二面角DPCB的余弦值.,(1)證明如圖，連接OP. PAPB，O為AB的中點， OPAB. 側(cè)面PAB底面ABCD， OP平面ABCD，OPOD，OPOC.,ODPC，OD平面OPC， ODOC，又OPOC，OPODO， OC平面OPD，OCPD.,法二取CD的中點E，以O(shè)為原點，OE，OB，OP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系Oxyz.在矩形ABCD中

8、，由(1)得ODOC，AB2AD，不妨設(shè)AD1，則AB2. 側(cè)面PAB底面ABCD，底面ABCD為矩形，,DA平面PAB，CB平面PAB，DPACPB， DPA為直線PD與平面PAB所成的角，,思想方法 1.利用空間向量求空間角，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點、線、面的位置關(guān)系的判定和計算程序化、簡單化.主要是建系、設(shè)點、計算向量的坐標、利用數(shù)量積的夾角公式計算. 2.合理建立空間直角坐標系 (1)使用空間向量解決立體幾何問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一就是建立空間直角坐標系，建系方法的不同可能導(dǎo)致解題的簡繁程度不同.,(2)一般來說，如果已知的空間幾何體中含有兩兩垂直且交于一點的三條直線時，就以這三條直線為坐標軸建立空間直角坐標系；如果不存在這樣的三條直線，則應(yīng)盡可能找兩條垂直相交的直線，以其為兩條坐標軸建立空間直角坐標系，即坐標系建立時以其中的垂直相交直線為基本出發(fā)點. (3)建系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系，在沒有現(xiàn)成的垂直關(guān)系時要通過其他已知條件得到垂直關(guān)系，在此基礎(chǔ)上選擇一個合理的位置建立空間直角坐標系.,易錯防范 1.異面直線所成的角與其方向向量的夾角：當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角；否則向量夾角的補角是異面直線所成的角. 2.線面角的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成