2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)學(xué)案北師大版必修5

1、3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的有關(guān)性質(zhì)解題.2.會(huì)用錯(cuò)位相減法求和知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征思考若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n1，那么數(shù)列an是不是等比數(shù)列？若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n11呢？梳理當(dāng)公比q1時(shí)，設(shè)A，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是SnA(qn1)當(dāng)公比q1時(shí)，因?yàn)閍10，所以Snna1，Sn是n的正比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)思考若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列嗎？梳理等比數(shù)列an前n項(xiàng)和的三個(gè)常用性質(zhì)(1)數(shù)列an為公比不為1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2nSn，S

2、3nS2n仍構(gòu)成等比數(shù)列(2)若an是公比為q的等比數(shù)列，則SnmSnqnSm(n，mN)(3)若an是公比為q的等比數(shù)列，S偶，S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和，則在其前2n項(xiàng)中，q；在其前2n1項(xiàng)中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)知識(shí)點(diǎn)三錯(cuò)位相減法思考在上一節(jié)，我們是如何求公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sna1a2an的？梳理如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是公比不為1的等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，一般使用如下方法：Sna1b1a2b2anbn，qSna1b1qa2b2qanbnq a1b2a2b3anbn1，得(1q)Sna1b1(a2a1)b2(a3a2)b

3、3(anan1)bnanbn1a1b1d(b2b3bn)anbn1a1b1danbn1，Snd.上述方法稱為“錯(cuò)位相減法”類型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的函數(shù)特征應(yīng)用例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snan1(a是不為零且不等于1的常數(shù))，則數(shù)列an()A一定是等差數(shù)列B一定是等比數(shù)列C是等差數(shù)列或等比數(shù)列D既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列反思與感悟(1)已知Sn，通過(guò)an求通項(xiàng)an，應(yīng)特別注意n2時(shí)，anSnSn1.(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，則an是等比數(shù)列跟蹤訓(xùn)練1若an是等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為Sn3n1t，則t_.類型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)命題角度1連續(xù)n項(xiàng)之和

4、問(wèn)題例2已知等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為Sn，S2n，S3n，求證：SSSn(S2nS3n)反思與感悟處理等比數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)問(wèn)題的常用方法：(1)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，要注意公比q1和q1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時(shí)，通常用約分或兩式相除的方法進(jìn)行消元(2)靈活運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.命題角度2不連續(xù)n項(xiàng)之和問(wèn)題例3已知等比數(shù)列an的公比q，則等于()A3 BC3 D.反思與感悟注意觀察序號(hào)之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)解題契機(jī)；整體思想能使問(wèn)題解決過(guò)程變得簡(jiǎn)潔明快跟蹤訓(xùn)練3設(shè)數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，1為公差的等

5、差數(shù)列；數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則ba1ba2ba3ba6_.類型三錯(cuò)位相減法求和例4求數(shù)列的前n項(xiàng)和反思與感悟一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法跟蹤訓(xùn)練4求和：Snx2x23x3nxn (x0)1一個(gè)七層的塔，每層所點(diǎn)的燈的盞數(shù)都等于上面一層的2倍，一共點(diǎn)381盞燈，則底層所點(diǎn)燈的盞數(shù)是()A190 B191 C192 D1932已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snx3n1，則x的值為()A. B C. D3一個(gè)等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為48，前14項(xiàng)和為60，則前21項(xiàng)和為()A180 B108 C75 D634在數(shù)列an中

6、，an1can(c為非零常數(shù))，且前n項(xiàng)和為Sn3nk，則實(shí)數(shù)k_.1一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減的方法求和2等比數(shù)列中用到的數(shù)學(xué)思想：(1)分類討論的思想：利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要分公比q1和q1兩種情況討論；研究等比數(shù)列的單調(diào)性時(shí)應(yīng)進(jìn)行討論：當(dāng)a10，q1或a10,0q1時(shí)為遞增數(shù)列；當(dāng)a11或a10,0q1時(shí)為遞減數(shù)列；當(dāng)q0且q1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系；等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn(qn1)(q1)設(shè)A，則SnA(qn1)也與指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，常把qn，當(dāng)成整體求解答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

7、知識(shí)點(diǎn)一思考當(dāng)Sn2n1時(shí)，annN，是等比數(shù)列；當(dāng)Sn2n11時(shí)，annN，不是等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)二思考設(shè)an的公比為q，則Sna1a2an，S2nSnan1an2a2na1qna2qnanqnqnSn，S3nS2na2n1a2n2a3nan1qnan2qna2nqnqn(S2nSn)，Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列，公比為qn.知識(shí)點(diǎn)三思考在等式兩端乘以公比，兩式會(huì)出現(xiàn)大量的公共項(xiàng)，通過(guò)相減消去即可題型探究例1B當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(a1)an1；當(dāng)n1時(shí)，a1a1，滿足上式，an(a1)an1，nN.a，數(shù)列an是等比數(shù)列跟蹤訓(xùn)練1解析顯然q1，此時(shí)應(yīng)有SnA(qn1)，又Sn

8、3nt，t.例2證明方法一設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，當(dāng)q1時(shí)，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13na1)5n2a，SSSn(S2nS3n)當(dāng)q1時(shí)，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)跟蹤訓(xùn)練2解因?yàn)镾2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.將代入得64，所以S3n6463.例3Aa2a4a6a8a1qa3qa5qa7qq(a1a3a5a7)3.跟蹤訓(xùn)練3126解析qan1an2，ban是首項(xiàng)為b2，公比為2的等比數(shù)列ba1ba2ba6272126.例4解