2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程疑難規(guī)律方法學(xué)案 蘇教版選修1-1

1、第二章 圓錐曲線與方程1圓錐曲線定義的妙用1求動(dòng)點(diǎn)軌跡例1一動(dòng)圓與兩圓：x2y21和x2y26x50都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為_(kāi)解析x2y21是圓心為原點(diǎn)，半徑為1的圓，x2y26x50化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y24，是圓心為A(3,0)，半徑為2的圓設(shè)所求動(dòng)圓圓心為P，動(dòng)圓半徑為r，如圖，則PAPO1b0)的離心率等于，其焦點(diǎn)分別為A，B，C為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則在ABC中，的值等于_解析在ABC中，由正弦定理得，因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以由橢圓定義知CACB2a，而AB2c，所以3.答案33求離心率例3如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓C1：y21與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A、B分別是C1、C2

2、在第二、四象限的公共點(diǎn)若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是_解析由橢圓可知AF1AF24，F(xiàn)1F22.因?yàn)樗倪呅蜛F1BF2為矩形，所以AFAFF1F12，所以2AF1AF2(AF1AF2)2(AFAF)16124，所以(AF2AF1)2AFAF2AF1AF21248，所以AF2AF12.因此對(duì)于雙曲線有a，c，所以C2的離心率e.答案例4已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且PF14PF2，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析由雙曲線的定義有PF1PF22a.又PF14PF2，PF1a，PF2a.在PF1F2中，應(yīng)有PF1PF2F1F2，即

3、a2c，e，又e1，離心率e的取值范圍是(1，答案(1，4求最值例5線段AB4，PAPB6，M是AB的中點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PM的長(zhǎng)度的最小值是_解析由于PAPB64AB，故由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是以M為原點(diǎn)，A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且a3，c2，b.于是PM的長(zhǎng)度的最小值是b.答案例6已知F是雙曲線y21的右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(4,2)，求PMPF的最小值解設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F，如圖所示，則F(2,0)由雙曲線的定義知，PFPF2a2，所以PFPF2，所以PMPFPMPF2，要使PMPF取得最小值，只需PMPF取得最小值，由圖可知，當(dāng)P、F、M三點(diǎn)共線時(shí)，PMPF最小

4、，此時(shí)MF2，故PMPF的最小值為22.2拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)例1過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交，兩交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，證明：(1)ABx1x2p；(2)通徑長(zhǎng)為2p；(3)x1x2，y1y2p2；(4)若直線AB的傾斜角為，則AB；(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；(6).證明(1)由定義可得ABAFFBx1x2x1x2p.(2)過(guò)焦點(diǎn)F(，0)與x軸垂直的直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為2p.(3)當(dāng)ABx軸時(shí)，易得A(，p)，B(，p)，y1y2p2，x1x2.當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)為k(k0)，則直線AB的方程為yk(x)，代入拋物線方程y22px，

5、消元得y22p()，即y2p20，y1y2p2，x1x2.綜合知，x1x2，y1y22p2.(4)當(dāng)90時(shí)，k不存在，易得A(，p)，B(，p)，AB2p.當(dāng)90時(shí)，ktan ，直線AB方程為ytan (x)，聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系，得ABpx1x2.(5)如圖，MM1，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(6)AFx1，BFx2，.例2過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)證明：(1)若AO交準(zhǔn)線于C，則直線CB平行于拋物線的對(duì)稱軸；(2)過(guò)B作BC準(zhǔn)線l，垂點(diǎn)為C，則AC過(guò)原點(diǎn)O.證明(1)設(shè)直線AB的方程為xmy，代入y22px，得y2

6、2pmyp20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2p2.由yx，x聯(lián)立，得C(，)，yCy2，BCx軸(2)設(shè)直線AB的方程為xmy，代入y22px，得y22pmyp20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2p2.BCx軸，C(，y2)，即C(，)，kOCkOA，OO且公共點(diǎn)為O，直線AC過(guò)點(diǎn)O.例3設(shè)F為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若0，則|_.解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)由0，知(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.答案63 巧解直線和橢圓位置關(guān)系問(wèn)題“設(shè)而不求”

7、法的應(yīng)用在直線和橢圓位置關(guān)系問(wèn)題中，設(shè)而不求、整體代換是常用的運(yùn)算技巧，在解題中要注意運(yùn)用當(dāng)直線和橢圓相交時(shí)要切記0是求參數(shù)范圍的前提條件，不要因忘記造成不必要的失分例已知橢圓方程為1(ab0)，過(guò)點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)的直線的傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)斜率大于零的直線過(guò)D(1,0)與橢圓分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若2，求直線EF的方程；(3)對(duì)于D(1,0)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線ykx2分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，且DPDQ，若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由思路點(diǎn)撥解(1)由，ab，得a，b1，所以橢圓的方程是y21.(2)設(shè)EF：xmy1(m0)，代入y

8、21，得(m23)y22my20.設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y，得()2，m1，m1(舍去)，直線EF的方程為xy1，即xy10.(3)記P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90，(*)x1，x2是此方程的兩個(gè)相異實(shí)根設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，則xM，yMkxM2.由DPDQ，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k.但k1，k均不能使方程(*)有兩相異實(shí)根，滿足條件的k不存在.4解析幾何中的定值與最值問(wèn)題1定點(diǎn)、定值問(wèn)題對(duì)于解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“

9、變”中尋求定值的“不變”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值，揭開(kāi)神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題，從而找到解決問(wèn)題的突破口例1已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，與a(3，1)共線設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 (，R)，求證：22為定值證明M是橢圓上任意一點(diǎn)，若M與A重合，則，此時(shí)1，0，221，現(xiàn)在需要證明22為定值1.設(shè)橢圓方程為1 (ab0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，得0，即，又kAB1，y0x0，直線ON的方向向量為.a，.a23b2，

10、橢圓方程為x23y23b2.又直線方程為yxc，聯(lián)立方程得得4x26cx3c23b20.x1x2c，x1x2c2.又設(shè)M(x，y)，則由，得代入橢圓方程整理得2(x3y)2(x3y)2(x1x23y1y2)3b2.又x3y3b2，x3y3b2，x1x23y1y24x1x23c(x1x2)3c2c2c23c20，221，故22為定值例2已知橢圓1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.(1)求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是B，求PB的最小值及相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)(1)證明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.當(dāng)x1x

11、2時(shí)，由得.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(1，n)，kPQ，線段PQ的垂直平分線方程為yn2n(x1)，(2x1)ny0，該直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A(，0)；當(dāng)x1x2時(shí)，線段PQ的中垂線也過(guò)定點(diǎn)A(，0)綜上，線段PQ的垂直平分線恒過(guò)定點(diǎn)A(，0)(2)解由于點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，故點(diǎn)B(，0)2x12，2x22，x12x20,2，PB2(x1)2y(x11)2，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)時(shí)，PBmin.2最值問(wèn)題解決圓錐曲線中的最值問(wèn)題，一般有兩種方法：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解非常巧妙；二是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù))，然

12、后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等，求解最大或最小值例3已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A，B，l2與軌跡C相交于點(diǎn)D，E，求的最小值解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有|x|1.化簡(jiǎn)得y22x2|x|.當(dāng)x0時(shí)，y24x；當(dāng)x0時(shí)，y0.所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y24x (x0)和y0 (x0)，則圓的方程可設(shè)為(xp)2(yp)28，由于O(0,0)在圓上，p2p28，解得p2，圓C的方

13、程為(x2)2(y2)28.(2)橢圓1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10，由橢圓的定義知，2a10，a5，橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0)假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m，n)，使QFOF，則有且m2n20，解得故圓C上存在滿足條件的點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.3直線存在型問(wèn)題例3已知橢圓P的中心O在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,2)，離心率為.(1)求橢圓P的方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)E(0，4)的直線l交橢圓P于點(diǎn)R，T，且滿足.若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)橢圓P的方程為1(ab0)，由題意，得b2，e，a2c，b2a2c23c2，則c24，c2，a4，橢圓P的方程

14、為1.(2)假設(shè)存在滿足題意的直線l.易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，12，不滿足題意故可設(shè)直線l的方程為ykx4，R(x1，y1)，T(x2，y2)，x1x2y1y2.由得(34k2)x232kx160，由0得(32k)24(34k2)160，解得k2.x1x2，x1x2，y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)16，故x1x2y1y216，解得k21，由解得k1，直線l的方程為yx4.故存在直線l：xy40或xy40滿足題意6圓錐曲線中的易錯(cuò)點(diǎn)剖析1忽視定義中的條件而致誤例1平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0,4)的距離之和為8，則點(diǎn)M的軌跡為_(kāi)錯(cuò)解根據(jù)橢圓的定義

15、知，點(diǎn)M的軌跡為橢圓錯(cuò)因分析在橢圓的定義中，點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和必須大于兩定點(diǎn)的距離，即MF1MF2F1F2，即2a2c.而在本題中MF1MF2F1F2，所以點(diǎn)M的軌跡不是橢圓，而是線段F1F2.正解因?yàn)辄c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為F1F2，所以點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2.答案線段2忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的特征而致誤例2設(shè)拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線與直線y1的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程錯(cuò)解拋物線ymx2 (m0)的準(zhǔn)線方程為y.又與直線y1的距離為3的直線為y2或y4.故2或4.所以m8或m16.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y8x2或y16x2.錯(cuò)因分析錯(cuò)解忽視了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù)，

16、應(yīng)位于一次項(xiàng)前這個(gè)特征，故本題應(yīng)先化為x2y的形式，再求解.正解方程ymx2 (m0)可化為x2y，其準(zhǔn)線方程為y.由題意知2或4，解得m或m.則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28y或x216y.3涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，忽視判別式0這一隱含條件而致誤例3正方形ABCD的A，B兩點(diǎn)在拋物線yx2上，另兩點(diǎn)C，D在直線yx4上，求正方形的邊長(zhǎng)錯(cuò)解AB與直線yx4平行，設(shè)直線AB的方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由x2xb0，得AB2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，AB3或AB5.錯(cuò)因分析在考慮直線AB與

17、拋物線相交時(shí)，必須有方程x2xb0的判別式0，以此來(lái)限制b的取舍.正解AB與直線yx4平行，設(shè)直線AB的方程為yxb，A(x1，x)，B(x2，x)，則由x2xb0，14b0，b.AB2(1k2)(x1x2)24x1x22(14b)AB與直線yx4間的距離為d，2(14b)，即b28b120，解得b2或b6，b2或b6都滿足0，b2或b6.AB3或AB5.7圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法1方程思想方程思想就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或解方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題得以解決在本章中，方程思想的應(yīng)用最為廣泛例1已知直線yx2和橢圓1 (ab0)相交于A，B兩點(diǎn)，且a2b，若AB2，求橢圓的方程解由消去y并整理，得x24x82b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x24，x1x282b2.AB2， 2，即2，解得b24，故a24b216.所求橢圓的方程為1.2函數(shù)思想很多與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題中的各個(gè)數(shù)量在運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，都是相互聯(lián)系、相互制約的，它們之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系這類(lèi)問(wèn)題若用函數(shù)思想來(lái)分析、尋找解題思路，會(huì)有很好的效果一些最值問(wèn)題常用函數(shù)思想，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦的中點(diǎn)和弦長(zhǎng)問(wèn)題，是經(jīng)常使用的方法例2若點(diǎn)(x，y)在1 (