2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案 文 北師大版

1、5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示最新考綱考情考向分析1.了解平面向量基本定理及其意義2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.主要考查平面向量基本定理、向量加法、減法、數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量共線的坐標(biāo)表示，考查向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算推理能力、數(shù)形結(jié)合能力，常與三角函數(shù)綜合交匯考查，突出向量的工具性一般以選擇題、填空題形式考查，偶爾有與三角函數(shù)綜合在一起考查的解答題，屬于中檔題.1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)1，2

2、，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共線x1y2x2y10.知識(shí)拓展1若a與b不共線，ab0，則0.2設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果x20，y20，

3、則ab.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可用這組基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()(6)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變()題組二教材改編2已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_答案(1,5)解析設(shè)D(x，y)，則由，得(4

4、,1)(5x,6y)，即解得3已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則_.答案解析由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)由manb與a2b共線，得，所以.題組三易錯(cuò)自糾4設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，若1e12e20，則12_.答案05已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量_.答案(7，4)解析根據(jù)題意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)6(2016全國)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，則m_.答案6解析因?yàn)閍b，所以(2)m430，解得m6.題型一平面向量基本定理的應(yīng)用1在下列向量組中，可

5、以把向量a(3,2)表示出來的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析方法一設(shè)ak1e1k2e2，A選項(xiàng)，(3,2)(k2,2k2)，無解；B選項(xiàng)，(3,2)(k15k2,2k12k2)，解得故B中的e1，e2可以把a(bǔ)表示出來；同理，C，D選項(xiàng)同A選項(xiàng)，無解方法二只需判斷e1與e2是否共線即可，不共線的就符合要求2如圖，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為()A. B. C1 D3答案A解析因?yàn)閙，設(shè)t，而t()tt(1t)tt，所以即m.故選A.思維升華 平面向量基本定理應(yīng)用

6、的實(shí)質(zhì)和一般思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例 (1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，則c等于()A. B.C. D.答案D解析由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以c.(2)(2017北京西城區(qū)模擬)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若cab(，R)，則等于()A1 B2 C3 D4答案D解析以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直

7、角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長為1)，則A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即解得2，4.引申探究在本例(2)中，試用a，c表示b.解建立本例(2)解答中的平面直角坐標(biāo)系，則a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，設(shè)bxayc，則(6,2)x(1,1)y(1，3)即解得故b4a2c.思維升華 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則跟蹤訓(xùn)練 (1)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(1，2)

8、，C(3，1)，且2，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A. B.C(3,2) D(1,3)答案A解析設(shè)D(x，y)，(x，y2)，(4,3)，又2，故選A.(2)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，則向量ab等于()A(2，1) B(2,1)C(1,0) D(1,2)答案D解析a，b，故ab(1,2)題型三向量共線的坐標(biāo)表示命題點(diǎn)1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)典例 已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案(3,3)解析方法一由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為

9、(3,3)方法二設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則(x，y)，因?yàn)?4,4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且與共線，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)命題點(diǎn)2利用向量共線求參數(shù)典例 (2017鄭州模擬)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，則銳角_.答案45解析由ab，得(1sin )(1sin )，cos2，cos 或cos ，又為銳角，45.思維升華 平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比

10、較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為a(R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量跟蹤訓(xùn)練 (1)(2018屆沈陽東北育才學(xué)校一模)已知平面向量a(1，m)，b(3,1)且(2ab)b，則實(shí)數(shù)m的值為()A. BC. D答案B解析2ab(1,2m1)，由(2ab)b，可知3(2m1)1，可得m，故選B.(2)若三點(diǎn)A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_答案解析(a1,3)，(3,4)，根據(jù)題意，4(a1)3(3)0，即4a5，a.解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用典例 (12分)給定

11、兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上運(yùn)動(dòng)若xy，其中x，yR，求xy的最大值思想方法指導(dǎo) 建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，將向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題更加凸顯向量的代數(shù)特征規(guī)范解答解以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，B.4分設(shè)AOC，則C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，8分所以xycos sin 2sin，10分又，所以當(dāng)時(shí)，xy取得最大值2.12分1如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()Ae1與e1e2 Be12e2與

12、e12e2Ce1e2與e1e2 De12e2與e12e2答案D2(2018鄭州質(zhì)檢)設(shè)平面向量a(1,0)，b(0,2)，則2a3b等于()A(6,3) B(2，6) C(2,1) D(7,2)答案B解析2a3b(2,0)(0,6)(2，6)3(2018黃山模擬)若A(2,3)，B(3，2)，C三點(diǎn)共線，則m的值為()A. B C2 D2答案A解析(5，5)，A，B，C三點(diǎn)共線，和共線，5(m3)，解得m，故選A.4(2017安徽馬鞍山模擬)已知向量a(2,1)，b(3,4)，c(1，m)，若實(shí)數(shù)滿足abc，則m等于()A5 B6 C7 D8答案B解析由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得ab(5,5)

13、，c(，m)，據(jù)此有解得5，m1，m6.5已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a(1,2)，b(m，3m2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成cab(，為實(shí)數(shù))，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)答案D解析由題意知向量a，b不共線，故2m3m2，即m2.6(2018廈門調(diào)研)已知|1，|，0，點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且與的夾角為30，設(shè)mn(m，nR)，則的值為()A2 B. C3 D4答案C解析0，以所在直線為x軸，所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，(1,0)，(0，)，mn(m，n)tan 30，m3n，即3，故選C.7在ABCD中，AC為一條對(duì)角線

14、，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)8(2018雅安模擬)已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)，若a2b與c共線，則k_.答案1解析a2b(，3)，且a2bc，3k0，解得k1.9(2017福建四地六校聯(lián)考)已知A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且()，則|_.答案2解析由()()知，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，故D(2,2)，所以(2,2)，故|2.10(2018洛陽質(zhì)檢)在平行四邊形ABCD中，e1，e2，則_.(用e1，e2表示)答案e1e2解析如圖，2()e2(e2e1)e1e2.11已知A(1,1)，B(3，1)

15、，C(a，b)(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求a，b的關(guān)系式；(2)若2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三點(diǎn)共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，3)12已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)解(1)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，解得(3

16、)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)13(2018河南三市聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，1)，則與同方向的單位向量是_答案解析(4，1)(1,3)(3，4)，與同方向的單位向量為.14在矩形ABCD中，AB，BC，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且AP，若(，R)，則的最大值為_答案解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)，B(，0)，C(，)，D(0，)AP，x2y2.點(diǎn)P滿足的約束條件為(，R)，(x，y)(，0)(0，)，xy.xy ，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)，的最大值為.15(2018河北石家莊一模)如圖所示，A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點(diǎn)D，若mn，則mn的取值范圍是_答案(1,0)解析由題意得，k(k0)，又|k|1，1k0.又B，A