2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十三章 推理與證明、算法、復(fù)數(shù) 13.5 復(fù)數(shù)學(xué)案

1、13.5復(fù)數(shù)最新考綱考情考向分析1.理解復(fù)數(shù)的基本概念2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.本節(jié)主要考查復(fù)數(shù)的基本概念(復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模等)，復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，與向量結(jié)合考查復(fù)數(shù)及其加法、減法的幾何意義，突出考查運(yùn)算能力與數(shù)形結(jié)合思想一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度為低檔.1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位)(2)分類：滿足條件(a，b

2、為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類abi為實(shí)數(shù)b0abi為虛數(shù)b0abi為純虛數(shù)a0且b0(3)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)(5)模：向量的模叫做復(fù)數(shù)zabi的模，記作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR)2復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)zabi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系3復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè)z1abi，z2cdi，a，b，c，dR.(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即，.題

3、組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)方程x2x10沒(méi)有解()(2)復(fù)數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小()(4)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)()(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模()題組二教材改編2P106B組T1設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i，則|z|等于()A1 B.C. D2答案A解析1zi(1z)，z(1i)i1，zi，|z|i|1.3P112A組T2在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2i，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是13i，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A12i B12iC34i D34i答案D解

4、析13i(2i)34i.4P116A組T2若復(fù)數(shù)z(x21)(x1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()A1 B0C1 D1或1答案A解析z為純虛數(shù)，x1.題組三易錯(cuò)自糾5設(shè)a，bR，i是虛數(shù)單位，則“ab0”是“復(fù)數(shù)a為純虛數(shù)”的()A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件答案C解析復(fù)數(shù)aabi為純虛數(shù)，a0且b0，即a0且b0，“ab0”是“復(fù)數(shù)a為純虛數(shù)”的必要不充分條件故選C.6設(shè)i是虛數(shù)單位，若zcos isin ，且其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第二象限，則位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析zcos isin 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(cos ，si

5、n )，且點(diǎn)(cos ，sin )位于第二象限，為第二象限角，故選B.7i2 011i2 012i2 013i2 014i2 015i2 016i2 017_.答案1解析原式i3i4i1i2i3i4i1.題型一復(fù)數(shù)的概念1(2017全國(guó))設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：若復(fù)數(shù)z滿足R，則zR；p2：若復(fù)數(shù)z滿足z2R，則zR；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2R，則z12；p4：若復(fù)數(shù)zR，則R.其中的真命題為()Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4答案B解析設(shè)zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)對(duì)于p1，若R，即R，則b0，故zabi

6、aR，所以p1為真命題；對(duì)于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，則ab0.當(dāng)a0，b0時(shí)，zabibiR，所以p2為假命題；對(duì)于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，則a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因?yàn)閍1b2a2b10a1a2，b1b2，所以p3為假命題；對(duì)于p4，若zR，即abiR，則b0，故abiaR，所以p4為真命題故選B.2(2018長(zhǎng)春調(diào)研)若復(fù)數(shù)z滿足i(z3)13i(其中i是虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為()A6 B1C1 D6答案A解析iz3i13i，iz16i，z6i

7、，故z的實(shí)部為6.3(2017河南六市聯(lián)考)如果復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù))的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，則b_.答案解析由，得22bb4，得b.4已知復(fù)數(shù)z滿足z24，若z的虛部大于0，則z_.答案2i解析設(shè)zabi(a，bR，b0)，則z2a2b22abi4，因此a0，b24，b2，又b0，b2，z2i.思維升華 解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實(shí)部和虛部題型二復(fù)數(shù)的運(yùn)算命題點(diǎn)1復(fù)數(shù)的乘

8、法運(yùn)算典例 (1)(2018長(zhǎng)春質(zhì)檢)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z12i，則z1z2等于()A5 B5 C4i D4i答案A解析z12i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，又z1與z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)，即z22i，z1z2(2i)(2i)i245.(2)復(fù)數(shù)i(2i)等于()A12i B12iC12i D12i答案A解析i(2i)2ii212i.(3)(2017江蘇)已知復(fù)數(shù)z(1i)(12i)，其中i是虛數(shù)單位，則z的模是_答案解析方法一z(1i)(12i)12ii213i，|z|.方法二|z|1i|12i|.命題點(diǎn)2復(fù)

9、數(shù)的除法運(yùn)算典例 (1)(2017全國(guó))等于()A12i B12iC2i D2i答案D解析2i.(2)(2016全國(guó))若z12i，則等于()A1 B1 Ci Di答案C解析z12i，z5，i.(3)6_.答案1i解析原式6i61i.命題點(diǎn)3復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算典例 (1)(2017全國(guó))設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1i)z2i，則|z|等于()A. B. C. D2答案C解析方法一由(1i)z2i，得z1i，|z|.故選C.方法二2i(1i)2，由(1i)z2i(1i)2，得z1i，|z|.故選C.(2)(2016山東)若復(fù)數(shù)z滿足2z32i，其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A12i B12iC12i D12i答案

10、B解析設(shè)zabi(a，bR)，則abi，2(abi)(abi)32i，整理得3abi32i，解得z12i，故選B.(3)(2016全國(guó))若z43i，則等于()A1 B1C.i D.i答案D解析z43i，|z|5，i.思維升華 復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可(2)復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式. (3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為abi(a，bR)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答(4

11、)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為abi(a，bR)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答(5)復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，要先算乘除，后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的跟蹤訓(xùn)練 (1)等于()A1i B1iC1i D1i答案D解析方法一1i.故選D.方法二2(1i)i2(1i)(1i)(2)已知1i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z等于()A1i B1i C1i D1i答案D解析由1i，知z1i，故選D.(3)2 017_.答案i解析2 0171 008ii1 008(1i)i.題型三復(fù)數(shù)的幾何意義典例 (1)(2017北京)若復(fù)數(shù)(

12、1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)答案B解析(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，又復(fù)數(shù)(1i)(ai)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，解得a1.故選B.(2)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若復(fù)數(shù)z滿足|zz1|zz2|zz3|，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為ABC的()A內(nèi)心 B垂心C重心 D外心答案D解析由幾何意義知，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是ABC的外心(3)如圖所示，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0，32i，24i，試求：，所表示的復(fù)數(shù)；對(duì)角線所表示的復(fù)數(shù)；B

13、點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)解，所表示的復(fù)數(shù)為32i.，所表示的復(fù)數(shù)為32i.，所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)52i.，所表示的復(fù)數(shù)為(32i)(24i)16i，即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為16i.思維升華 因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論即可跟蹤訓(xùn)練 已知z是復(fù)數(shù)，z2i，均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由題意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由題意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)

14、8(a2)i，根據(jù)條件，可知解得2a6，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)1(2016全國(guó))設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|xyi|等于()A1 B. C. D2答案B解析由(1i)x1yi，得xxi1yi，由復(fù)數(shù)相等得解得所以|xyi|，故選B.2(2017濟(jì)寧一模)已知i為虛數(shù)單位，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析z，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限3(2017山東)已知aR，i是虛數(shù)單位若zai，z4，則a等于()A1或1 B.或C D.答案A解析z4，|z|24，即|z|2.zai，|z|2，a1.故選A.4(2017河北保定定興三中月考)

15、“復(fù)數(shù)z(aR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限”是“a0”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件答案A解析za3i.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，a0.“復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限”是“a0”的充分不必要條件故選A.5(2017河北省三市聯(lián)考)若復(fù)數(shù)za在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a可以是()A4 B3C1 D2答案A解析因?yàn)閦a(3a)ai在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以解得a3，故選A.6(2018棗莊模擬)設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A若|z1z2|0，則12B若z12，則1z2C若|z1|z2|，則z11z22D若

16、|z1|z2|，則zz答案D解析A中，|z1z2|0，則z1z2，故12，成立B中，z12，則1z2成立C中，|z1|z2|，則|z1|2|z2|2，即z11z22，C正確D不一定成立，如z11i，z22，則|z1|2|z2|，但z22i，z4，zz.7(2017天津)已知aR，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為_(kāi)答案2解析aR，i為實(shí)數(shù)，0，a2.8(2017浙江)已知a，bR，(abi)234i(i是虛數(shù)單位)，則a2b2_，ab_.答案52解析(abi)2a2b22abi.由(abi)234i.得解得a24，b21.所以a2b25，ab2.9已知集合M1，m,3(m25m6)i，N1,3

17、，若MN3，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)答案3或6解析MN3，3M且1M，m1,3(m25m6)i3或m3，m25m60且m1或m3，解得m6或m3，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意10(2018唐山質(zhì)檢)若1i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2bxc0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則b_，c_.答案23解析實(shí)系數(shù)一元二次方程x2bxc0的一個(gè)虛根為1i，其共軛復(fù)數(shù)1i也是方程的根由根與系數(shù)的關(guān)系知，b2，c3.11若abi(a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則ab_.答案3解析(3b)(3b)ii.解得ab3.12已知復(fù)數(shù)zxyi(x，yR)，且|z2|，則的最大值為_(kāi)答案解析|z2|，(x2)2y23.由圖可知max.13(2016天津)已知a，b

18、R，i是虛數(shù)單位，若(1i)(1bi)a，則的值為_(kāi)答案2解析因?yàn)?1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba,1b0，得a2，b1，所以2.14(2017遼寧朝陽(yáng)三校協(xié)作體聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z_.答案解析由zi，得i，所以z.15已知復(fù)數(shù)z112i，z21i，z334i，它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.若(，R)，則的值是_答案1解析由條件得(3，4)，(1,2)，(1，1)，根據(jù)，得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，解得1.16(2018廣州質(zhì)檢)已知復(fù)數(shù)zbi(bR)，是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)(mz)2所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)因?yàn)閦bi(bR)，所以i.又因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以0，所以b2，即z2i.(2)因?yàn)閦2i，mR，所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2(m24)4mi，又因?yàn)閺?fù)數(shù)(mz)2所表示的點(diǎn)在第一象限，所以解得m2，即m(，2)17若1bi，其中a，b都是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則|abi|_.答案解析a，bR，且1bi，則a(1bi)(1i)(1b)(1b)i，|abi|2i|.18定義運(yùn)算adbc.若