2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.7 解三角形應(yīng)用舉例學(xué)案 理 北師大版

1、4.7解決方案三角形的實(shí)際應(yīng)用示例最新的高射河鑒定考試方向分析。利用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法，可以解決與測(cè)量和幾何計(jì)算相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。以利用正弦定理、余弦定理測(cè)量距離、高度、角度等實(shí)際問(wèn)題為主，經(jīng)常與三角恒等式轉(zhuǎn)換、三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性。問(wèn)題型主要是選擇題和扣除問(wèn)題，中級(jí)難度。實(shí)際測(cè)量的一般問(wèn)題求AB圖形需要測(cè)量的因素解法求垂直高度底部可以接觸到ACB=、Bc=a直角三角形ab=atan 解底部達(dá)不到ACB=、ADB=beta，Cd=a兩個(gè)直角三角形ab=求水平距離山的兩邊ACB=、Ac=b，Bc=a馀弦定理ab=兩岸ACB=、ABC=beta，Cb=a正弦定理ab

2、=河對(duì)岸ADC=、BDC=beta，BCD=，ACD=，Cd=a在ADC中，AC=；在BDC中BC=；在ABC中，應(yīng)用余弦定理找到AB知識(shí)擴(kuò)展實(shí)際問(wèn)題中常用的術(shù)語(yǔ)1.仰角和突出度在垂直平面(如目標(biāo)線)內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的角度，目標(biāo)視線稱為水平視線上方的高度，目標(biāo)視線稱為水平視線下方的傾向性(圖1)。2.方向角相對(duì)于某一正向的水平角度，如東南30，西北45等。3.方位角指示從正北向順時(shí)針?lè)较蚓€的水平角度。例如，B點(diǎn)的方位角為(圖2)。4.坡度(也稱為坡率)坡度的垂直高度與水平長(zhǎng)度的比率。題組思想辨析1.判斷以下結(jié)論是否正確(括號(hào)中的“”或“”):(1)從A看B的仰角為alpha，從B看A的傾

3、向性為beta，alpha，beta的關(guān)系為 =180。（）(2)傾向性是由垂直線和視線組成的角度，范圍是()(3)方位角和方向角本質(zhì)上是相同的。全部確定觀測(cè)點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系。()(4)方位角大小的范圍為0，2，方向角大小的范圍通常為.()問(wèn)題組2教材改編2.如圖所示，通過(guò)將兩個(gè)點(diǎn)A，B放在河的兩岸，并在一個(gè)測(cè)量員在A所在的同側(cè)河岸上選擇一個(gè)點(diǎn)C，以50 m，ACB=45，CAB=105測(cè)量AC的距離，可以將兩個(gè)點(diǎn)A，B的距離計(jì)算為M。答案50在正弦定理中解釋=另外，b=30，ab=50(m)。3.如圖所示，從山腳A計(jì)算的山頂P的仰角為30，沿傾斜角度為15的斜坡從A米上升到B，從B計(jì)

4、算的山頂P的仰角為60，山高H=米。答案a解釋可以從主題圖中獲得。paq=30，Baq=15，在PAB中，PAB=-=15，另外PBC=60，BPA=-=-=30，=，Pb=a，pq=PC CQ=PBS inasin=asin60 asin15=a .問(wèn)題組3容易出錯(cuò)4.在一個(gè)測(cè)量中，B點(diǎn)的高程為60，C點(diǎn)的傾角為70，A測(cè)量相同的半平面方向，則BAC等于()。A.10b.50c.120d.130答案d5.如圖所示，如果點(diǎn)D、C、B 3位于地面上的同一條直線上，點(diǎn)DC=A、C、D 2處的點(diǎn)A的高程分別為60，30，則點(diǎn)A在地面上的高度為AB=。答案a解釋是已知DAC=30，ADC是等腰三角形，

5、ad=a，因此在RtADB中，ab=ad=a6.在防洪結(jié)構(gòu)中，一個(gè)救生艇引擎突然發(fā)生故障，停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇從洪水中漂走，此時(shí)風(fēng)向?yàn)闁|北30，風(fēng)速為20公里/h。水流為正東，流速為20公里/h，如果不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂浮的方向?yàn)闁|北，速度的大小為km/h。答案60 20圖， AOB=60，馀弦定理OC=20=202 202-800 COS 120=1 200，因此OC=20， Coy=30 30=60。問(wèn)題類型1距離，尋找高度問(wèn)題1.(2018吉林長(zhǎng)春檢察官)河岸上有炮臺(tái)高度30米，江上有兩艘船，船和炮臺(tái)底部在同一個(gè)水平面上，炮臺(tái)頂部各測(cè)量45和60的傾角，2倍和炮臺(tái)底部成

6、30角，2倍是m。答案10解釋圖片，Om=aotan 45=30 (m)、On=aotan 30=30=10 (m)，由MON中的余弦定理得到。Mn=10 (m)。2.(2017鄭州一中月試驗(yàn))如圖所示，在頂峰塔B，地面a的傾角為alpha，在塔C，a的傾角為beta。已知塔式BC部分的高度為H，行高CD=。答案解決方法已知為BCA=90 ，ABC=90-，BAC=-，CAD=。在ABC中，在正弦定理中=也就是說(shuō)=、AC=。在RtACD中，CD=ACS inCAD=ACS in=。所以高山光盤。3.(2018日照模擬)船以每小時(shí)15公里的速度向東航行，船在A處看到燈塔B在東北60方向，然后跑4

7、 h，船到達(dá)C，看到牙齒燈塔在東北15方向。這時(shí)船和燈塔的距離是公里。答案30如所示，問(wèn)題中所示，BAC=30，ACB=105，b=45，AC=60，在正弦定理中=，BC=30(km)。事故升華距離，高度問(wèn)題注意事項(xiàng)(1)要選擇或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，請(qǐng)首先確定所需的楊怡三角形，如果已知其他楊怡，請(qǐng)直接解決。如果有未知的楊怡，就把未知的量放在其他水晶三角形里解決。(2)決定是使用正弦定理還是余弦定理，如果都可以的話，選擇容易計(jì)算的定理。問(wèn)題類型2尋找角度問(wèn)題如上所述，位于A的信息中心獲悉，在正東方向40海里外的B處有一艘漁船遇難，正在原地等待救援。信息中心立即向位于西南30，20海里外的C上的乙

8、線通報(bào)消息，目前乙線在東北東()方向沿直線CB向B方向前進(jìn)救援，COS 的值如下：答案在ABC中，ab=40，AC=20，BAC=120，用余弦定理得到Bc2=ab2 ac2-2 ABAC cos120=2 800，得到Bc=20。正弦定理，結(jié)果=，也就是說(shuō)，sin _ ACB=sin _ BAC=。Bac=120如果ACB是預(yù)壓印，則cos-ACB=。=從AC b 30獲得cos =cos (AC b 30)=cos/acbcos 30-sin/acbs in 30=。事故升華測(cè)量角度問(wèn)題解決時(shí)的注意事項(xiàng)(1)首先要明確方位角或方向角的含義。(2)分析問(wèn)題的意思，區(qū)分已知的和想要的，根據(jù)問(wèn)題

9、的意思畫出正確的示意圖，是最重要和最重要的步驟。(3)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，然后注意正弦，余弦定理的“聯(lián)合”的使用。追蹤訓(xùn)練已知兩個(gè)燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離相同，如圖所示，燈塔A位于觀測(cè)站C的東北40方向，燈塔B位于觀測(cè)站C的東南60方向。燈塔A在燈塔B的方向。答案是西北10解釋是已知的ACB=180-40-60=80、此外，AC=BC，a=AC=BC=50，60-50=10，燈塔a位于燈塔b的西北10方向。問(wèn)題三角形和三角函數(shù)的綜合問(wèn)題前例(2018石家莊模擬)在ABC中，A、B和C分別位于A、B和C的另一側(cè)，(2A-C) COS B-Bcos c=0。(1)球面b

10、的大?。?2)設(shè)置函數(shù)f(x)=2 sin xcos xcos b-cos 2x，以便函數(shù)f(x)的最大值和f(x)獲得最大值時(shí)得出x的值。解決方案(1)為(2a-c) cosb-bcos c=0。所以2 acos b-CCOs b-bcos c=0，在正弦定理中，我們得到了2 2 sin Acos B- sin Ccos B- cos Csin b=0 B=0。2 sin acos b-sin (c b)=0。另外，因?yàn)閏 b=-a，所以sin (c b)=sin a .因此，神a (2 cos b-1)=0。在ABC中，神a 0，所以cos B=，然后B(0，)，所以B=。(2) b=，所

11、以f (x)=sin2x-cos2x=sin，2x-=2k(kz)，x=k(kz)，也就是說(shuō)，當(dāng)x=k(kz)時(shí)，f(x)最多得到1。思維升華三角形和三角函數(shù)的綜合問(wèn)題需要將三角函數(shù)性質(zhì)的整體替代思想和數(shù)形結(jié)合起來(lái)，結(jié)合三角形角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理來(lái)解決問(wèn)題。追蹤訓(xùn)練設(shè)定f (x)=sinxcos x-cos 2。求(1) f(x)的單調(diào)間隔。(2)在銳角ABC中，如果每個(gè)a，b，c的另一側(cè)分別為a，b，C. f=0，a=1，則求出ABC面積的最大值。解決方案(1)是問(wèn)題，f (x)=-=-=sin2x-。-2k2x2k，kz中，可用性-kxk，kz；在2k2x2k，kz中，可用

12、kx k，kz所以f(x)的增量間隔(kz)；減小的間隔為(kz)。(2) f=Sina-=0時(shí)，Sina=，因?yàn)橹繟是銳角，所以cos A=。余弦定理a2=B2 C2-2 BC cos a可以獲得1 BC=B2 C2 2bc。也就是說(shuō)，只有在BC2，和B=C的情況下，等號(hào)才成立。所以是BCS in A。因此，ABC面積的最大值為：函數(shù)思想適用于求解三角形。前例(12分鐘)，某港口O需要將重要物品用小船送到正在航行的一艘船上。小船出發(fā)時(shí)，船位于港口O西北30，距該港口20海里，以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向以一定速度行駛(1)遇上時(shí)，小船的航行距離最小，那么小船的航行速度該有多大呢？(？(2)假設(shè)船的最大航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，設(shè)計(jì)航行方案(即決定航行方向和航行速度的大小)，以便船在最短的時(shí)間內(nèi)與船會(huì)合，說(shuō)明原因。在指導(dǎo)已知思維方式的兩邊和其中一方的對(duì)角解三角形時(shí)，可以設(shè)置第三個(gè)方面，用余弦定理列方程來(lái)解