2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第51講 雙曲線(xiàn)學(xué)案

1、第51講雙曲線(xiàn)考綱要求考情分析命題趨勢(shì)1.了解雙曲線(xiàn)的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2了解圓錐曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用、了解雙曲線(xiàn)的實(shí)際背景3理解數(shù)形結(jié)合的思想.2017全國(guó)卷，152017全國(guó)卷，92017北京卷，92017天津卷，52017江蘇卷，81.求解與雙曲線(xiàn)定義有關(guān)的問(wèn)題；利用雙曲線(xiàn)的定義求軌跡方程；求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；確定雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)的位置2求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)；求解與雙曲線(xiàn)的范圍、對(duì)稱(chēng)性有關(guān)的問(wèn)題；求解雙曲線(xiàn)的離心率.分值：5分1雙曲線(xiàn)的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的_距離的差的絕對(duì)值_等于常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)這兩個(gè)定點(diǎn)叫做_雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)_，兩焦點(diǎn)間的距離叫做_雙

2、曲線(xiàn)的焦距_集合P，2c，其中a，c為常數(shù)，且a0，c0.(1)當(dāng)_ac_時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線(xiàn)；(2)當(dāng)_ac_時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線(xiàn)；(3)當(dāng)_ac_時(shí)，點(diǎn)P不存在2雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yRya或ya，xR對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：_坐標(biāo)軸_，對(duì)稱(chēng)中心：_原點(diǎn)_頂點(diǎn)A1_(a,0)_，A2_(a,0)_A1_(0，a)_，A2_(0，a)_漸近線(xiàn)yxyx離心率e_，e(1，)a，b，c的關(guān)系c2_a2b2_實(shí)虛軸線(xiàn)段A1A2叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)軸，它的長(zhǎng)_2a_；線(xiàn)段B1B2叫做雙曲線(xiàn)的虛軸，它的長(zhǎng)_2b_；a叫做雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫

3、做雙曲線(xiàn)的虛半軸長(zhǎng)3常用結(jié)論(1)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)0(a0，b0)的距離為b.如右圖OFH是分別以邊a，b，c為邊長(zhǎng)的直角三角形(2)如下圖：1(ab0)1(a0，b0)則有：P1，P2兩點(diǎn)坐標(biāo)都為，即.1思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1 (0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)()(2)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)()(3)方程1(mn0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)()(4)雙曲線(xiàn)方程(m0，n0，0)的漸近線(xiàn)方程是0，即0.()解析 (1)錯(cuò)誤由雙曲線(xiàn)的定義知，應(yīng)為雙曲線(xiàn)的一支，而非雙曲線(xiàn)的全部(2

4、)錯(cuò)誤因?yàn)?，表示的軌跡為兩條射線(xiàn)(3)錯(cuò)誤當(dāng)m0，n0時(shí)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，而m0，n0時(shí)則表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)(4)正確因?yàn)?(a0，b0)的漸近線(xiàn)方程為yx，即0，所以當(dāng)0時(shí)，1(m0，n0)的漸近線(xiàn)方程為0，即0，即0，同理當(dāng)0時(shí)，仍成立，故結(jié)論正確2過(guò)雙曲線(xiàn)x2y28的左焦點(diǎn)F1有一條弦PQ在左支上，若7，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，則PF2Q的周長(zhǎng)是(C)A28B148C148D8解析 由雙曲線(xiàn)定義知，4，4，()8.又7，78.PF2Q的周長(zhǎng)為148.3雙曲線(xiàn)2x2y28的實(shí)軸長(zhǎng)是(C)A2B2C4D4解析 雙曲線(xiàn)2x2y28的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，所以實(shí)軸長(zhǎng)2a4，故選C4設(shè)雙曲線(xiàn)

5、1(a0)的漸近線(xiàn)方程為3x2y0，則a的值為(C)A4B3C2D1解析 雙曲線(xiàn)1的漸近線(xiàn)方程為0.整理得3xay0，故a2，故選C5(2017北京卷)若雙曲線(xiàn)x21的離心率為，則實(shí)數(shù)m_2_.解析 由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a21，b2m，所以a1，c，所以，解得m2.一雙曲線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程中的注意點(diǎn)(1)在解決與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)有關(guān)的距離問(wèn)題時(shí)，通?？紤]利用雙曲線(xiàn)的定義(2)在運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義解題時(shí)，應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”，弄清楚是指整條雙曲線(xiàn)還是雙曲線(xiàn)的一支(3)求雙曲線(xiàn)方程時(shí)一是標(biāo)準(zhǔn)形式的判斷；二是注意a，b，c的關(guān)系易錯(cuò)易混【例1】 (1)已知中心在原

6、點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是(B)A1B1C1D1(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)x21的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且34，則PF1F2的面積等于(C)A4B8C24D48(3)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)1的左、右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線(xiàn)內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上，則|AP|AF2|的最小值為(C)A4B4C2D2解析 (1)由曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為F(3,0)，知c3，由離心率e，知，則a2，故b2c2a2945，所以雙曲線(xiàn)C的方程為1.(2)雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為2510.據(jù)題意和雙曲線(xiàn)的定義知2，6，8，222，PF1PF2.SPF1F26824.(3)|AP|AF

7、2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，則|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|AP|AF1|2a2.二雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用雙曲線(xiàn)中一些幾何量的求解方法(1)求雙曲線(xiàn)的離心率(或范圍)依據(jù)題設(shè)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線(xiàn)中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程(3)求雙曲線(xiàn)的方程依據(jù)題設(shè)條件求出a，b的值或依據(jù)雙曲線(xiàn)的定義求雙曲線(xiàn)的方程(4)求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)(虛)軸的長(zhǎng)依題設(shè)條件及a，b

8、，c之間的關(guān)系求解【例2】 (1)已知雙曲線(xiàn)C：1(a0，b0)的離心率為，則C的漸近線(xiàn)方程為(C)AyxByxCyxDyx(2)(2017全國(guó)卷)若雙曲線(xiàn)C：1(a0，b0)的一條漸近線(xiàn)被圓(x2)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為(A)A2BCD(3)若雙曲線(xiàn)1(a0，b0)右頂點(diǎn)為A，過(guò)其左焦點(diǎn)F作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于M，N兩點(diǎn)，且0，則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為(B)A(2，)B(1,2)CD解析 (1)e，e2，a24b2，漸近線(xiàn)方程為yx，即yx.(2)依題意，雙曲線(xiàn)C：1(a0，b0)的一條漸近線(xiàn)方程為bxay0.因?yàn)橹本€(xiàn)bxay0被圓(x2)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，所

9、以，所以3a23b24b2，所以3a2b2，所以e2.故選A(3)由題意，可得M，N，A(a,0)，.0，(ac)20，ac0，2a2acc20，即e2e20，又e1，解得1e2，故選B三直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系的解決方法(1)解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法是設(shè)出直線(xiàn)方程或雙曲線(xiàn)方程，然后把直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，整體代入(2)與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題常用點(diǎn)差法(3)根據(jù)直線(xiàn)的斜率與漸近線(xiàn)的斜率的關(guān)系來(lái)判斷直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系【例3】 若雙曲線(xiàn)E：y21(a0)的離心率等于，直線(xiàn)ykx1與雙曲線(xiàn)E的右支交于A，B兩點(diǎn)(1)求

10、k的取值范圍；(2)若6，點(diǎn)C是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且m()，求k，m的值解析 (1)由得故雙曲線(xiàn)E的方程為x2y21.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.因?yàn)橹本€(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于A，B兩點(diǎn)，故即所以1k，即k的取值范圍是(1，)(2)由得x1x2，x1x2，26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k，k，x1x24，y1y2k(x1x2)28，設(shè)C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)，點(diǎn)C是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，80m264m21，得m，故k，m.1已知l是雙曲線(xiàn)C：1的一條漸近線(xiàn)，點(diǎn)P是l上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩

11、個(gè)焦點(diǎn)，若0，則點(diǎn)P到x軸的距離為(C)ABC2D解析 F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，不妨設(shè)l的方程為yx，則可設(shè)P(x0，x0)，由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故P到x軸的距離為2，故選C2過(guò)雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的右焦點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線(xiàn)與漸近線(xiàn)交于兩點(diǎn)A，B，若OAB的面積為，則雙曲線(xiàn)的離心率為(D)ABCD解析 由題意可求得，所以SOABc，整理得，即e，故選D3已知雙曲線(xiàn)C：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，若6a，且PF1F2最小內(nèi)角的大小為30，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為(B)Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0解析 由題意不妨設(shè)2a，6

12、a，4a，2a，2c2a，PF1F2最小內(nèi)角為PF1F230，在PF1F2中，由余弦定理得4a24c216a222c4acos 30，解得ca，ba，故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為yxx，即xy0，故選B4(2017全國(guó)卷)已知雙曲線(xiàn)C：1(a0，b0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)若MAN60，則C的離心率為.解析 雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為A(a,0)，一條漸近線(xiàn)的方程為yx，即bxay0，圓心A到此漸近線(xiàn)的距離d，因?yàn)镸AN60，圓的半徑為b，所以bcos30，即，所以e.易錯(cuò)點(diǎn)求曲線(xiàn)方程時(shí)，忽略定義的應(yīng)用錯(cuò)因分析：不能利用平面幾何知識(shí)和雙曲線(xiàn)定義解題，

13、使解題無(wú)從入手【例1】 已知ABC的頂點(diǎn)A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線(xiàn)x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)解析 如圖，8，2，.所以826.根據(jù)雙曲線(xiàn)定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線(xiàn)的右支，方程為1(x3)答案 1(x3)【跟蹤訓(xùn)練1】 (2016全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)E：1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin MF2F1，則E的離心率為(A)ABCD2解析 由MF1x軸上，得M，|MF1|，由雙曲線(xiàn)的定義可得|MF2|2a|MF1|2a，又sin MF2F1，化簡(jiǎn)得ab，e.故選A課時(shí)達(dá)標(biāo)第51講解密考綱對(duì)雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性

14、質(zhì)的考查，通常與平面向量、解三角形方程或不等式綜合在一起，以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，或在解答題中以第一問(wèn)作考查的第一步一、選擇題1已知雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線(xiàn)的離心率等于，則該雙曲線(xiàn)的方程為(D)A5x2y21B1C1D5x2y21解析 拋物線(xiàn)y24x的焦點(diǎn)為 F(1,0)，c1，e，得a2，b2c2a2，則雙曲線(xiàn)的方程為5x2y21，故選D2已知實(shí)數(shù)1，m,9成等比數(shù)列，則圓錐曲線(xiàn)y21的離心率為(C)AB2C或2D或解析 根據(jù)條件可知m29，m3.當(dāng)m3時(shí)，e；當(dāng)m3 時(shí)，e2，故選C3雙曲線(xiàn)2y21的漸近線(xiàn)與圓x2(ya)21相切，則正實(shí)數(shù)a(

15、C)ABCD解析 雙曲線(xiàn)2y21的漸近線(xiàn)方程為yx，圓心為(0，a)，半徑為1，由漸近線(xiàn)和圓相切，得1，解得a.4若實(shí)數(shù)k滿(mǎn)足0k9，則曲線(xiàn)1與曲線(xiàn)1的(D)A離心率相等B虛半軸長(zhǎng)相等C實(shí)半軸長(zhǎng)相等D焦距相等解析 因?yàn)?k0，b0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過(guò)F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行于雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)，則雙曲線(xiàn)的方程為(B)A1B1C1D1解析 由e知，雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，則其漸近線(xiàn)方程為yx，由P(0,4)知左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)，所以c4，則a2b28.故選B6已知ab0，橢圓C1的方程為1，雙曲線(xiàn)C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線(xiàn)方程為(A)Axy0B

16、xy0Cx2y0D2xy0解析 由已知得，解得，故選A二、填空題7已知雙曲線(xiàn)C：1(a0，b0)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)l：xy0垂直，C的一個(gè)焦點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為1，則C的方程為_(kāi)x21_.解析 雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)l：xy0垂直，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為，即.由題意知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得1，c2，即a2b24.聯(lián)立，解得a21，b23 ，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.8若雙曲線(xiàn)x21(b0)的一條漸近線(xiàn)與圓x2(y2)21至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是_(1,2_解析 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為ybx，則有1，解得b23，則

17、e21b24，所以10，b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線(xiàn)x22py(p0)交于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)yx_.解析 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線(xiàn)的定義可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.kAB.由得kAB，則，所以，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為yx.三、解答題10已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(4，)(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線(xiàn)上，求證：點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上解析 (1)離心率e，雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，可設(shè)其方

18、程為x2y2(0)，則由點(diǎn)(4，)在雙曲線(xiàn)上，可得42()26，雙曲線(xiàn)方程為x2y26.(2)證明：點(diǎn)M(3，m)在雙曲線(xiàn)上，32m26，m23，又雙曲線(xiàn)x2y26的焦點(diǎn)為F1(2， 0)，F(xiàn)2(2，0)， (23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，MF1MF2，點(diǎn)M在以F1F2為直徑的圓上11設(shè)A，B分別為雙曲線(xiàn)1(a0，b0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)已知直線(xiàn)yx2與雙曲線(xiàn)的右支交于M，N兩點(diǎn)，且在雙曲線(xiàn)的右支上存在點(diǎn)D，使t，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)解析 (1)由題意知a2，焦點(diǎn)(c,0)到漸近線(xiàn)bxay0的距離，即b，雙曲線(xiàn)方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1x2tx0，y1y2ty0.將直線(xiàn)方程代入雙曲線(xiàn)方程得x216x840，則x1x216，y1y212.由t，得(16，12)(4t,3t)，t4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3)12已知雙曲線(xiàn)C：x2y21及直線(xiàn)l：y