《分數(shù)的意義和性質(zhì)》重難點突破

1、分數(shù)的意義和性質(zhì)突破困難浙江省諸暨市實驗小學教育集團陳菊地(初稿)浙江省諸暨市教育局教研室唐吉(統(tǒng)一草案)首先，理解分數(shù)的含義突破性建議：1.從多個角度理解和揭示分數(shù)的來源，促進學生對分數(shù)本質(zhì)的理解。在小學數(shù)學中，認知分數(shù)是學習數(shù)概念的重要延伸。因此，在教學中，我們應該從揭示產(chǎn)生分數(shù)的現(xiàn)實背景入手，幫助學生理解分數(shù)的含義。從現(xiàn)實的角度來看，數(shù)字被用來表示數(shù)量。比如6支筆和8個人，可以用自然數(shù)6和8來表示。然而，除了上面列出的由一些單位量合成并可以用自然數(shù)表示的量之外，還有許多不能用自然數(shù)表示的可分量。從歷史上看，分數(shù)的引入是為了準確衡量需要分段的數(shù)量。此外，從數(shù)學的角度來看，分數(shù)的引入是為了解

2、決除法不能總是在整數(shù)集中實現(xiàn)的矛盾。例如，23不能在整數(shù)范圍內(nèi)計算，分數(shù)可以記錄為23=。在引入分數(shù)的概念后，通過分割蛋糕和月餅的例子抽象出分數(shù)與除法的關(guān)系，使學生認識到利用分數(shù)可以解決整數(shù)除法的無窮矛盾。也就是說，從數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的角度來看，它揭示了分數(shù)的起源。總之，教學從多個角度呈現(xiàn)了分數(shù)的來源，使學生認識到分數(shù)的產(chǎn)生是為了滿足客觀和實際的需要。同時，它為學生理解分數(shù)的含義提供了豐富的教材，從而為學生理解分數(shù)的本質(zhì)含義提供了一個堅實的學習平臺。2.充分利用學生現(xiàn)有的知識庫和學習經(jīng)驗，及時抽象和總結(jié)學習活動中分數(shù)的含義。本單元的教學是在三年級學生“對分數(shù)的初步理解”的基礎(chǔ)上進行的，也就是說，學

3、生已經(jīng)具備了通過平均一個數(shù)字、一個物體等來獲得分數(shù)的認知基礎(chǔ)。因此，本課程的研究對象是將一些對象作為一個整體。然而，在實際教學中，分數(shù)單位“1”的相對性和自然數(shù)“1”的確定性在學生現(xiàn)有的知識和經(jīng)驗中是矛盾的，這導致了分數(shù)的意義并沒有被他們現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)所接受和同化。也就是說，單位“1”不僅代表一個對象，而且是由多個對象組成的整體。例如，一個物體、一個圖形和一個度量單位可以稱為單位“1”，而由一些物體組成的整體也可以稱為單位“1”，即單位“1”所對應的量是動態(tài)的和相對的。當單位“1”表示為一個物體(如蘋果、圓、一米線段)時，它與學生以前的經(jīng)驗所確定的不變自然數(shù)“1”是一致的。當單位“1”表示為多

4、個對象(如10個蘋果、23個圓、35條一米長的線段)時，與自然數(shù)“1”相沖突，因此，本單元教學的主要任務是幫助學生重構(gòu)和拓展單位“1”的含義，進而揭示分數(shù)的本質(zhì)。因此，教學可能如下：(1)復習舊知識，引入新的課程說明：得分。黑板上寫著：你對這樣的分數(shù)了解多少？(每個零件的名稱、生產(chǎn)過程等。(你能找到表達它的方法嗎？有三種默認表示：(前兩個類別)為什么不同的圖形可以被表示？摘要：將一個數(shù)字平均分成4個部分，這樣一個部分用。(在黑板上寫字)第三類可以用語言表達嗎？引起猜測。(2)操作經(jīng)驗，一般意義這張圖片和之前的圖片有什么不同？(作為一個整體，提高代表性。(如果有更多的圓圈，你如何表達它們？你能畫

5、一幅畫嗎？(一個學生走到黑板前，用磁鐵擺動)形成：三個代表之間有什么區(qū)別？(總量不同，表示的量也不同)；為什么不同的量可以表達？整體?？偠灾阂皇撬?，二是八，三是十二。如何表達更多的圓？(平均分為4部分，表示為總結(jié)：部分是整體。如前一平面圖、線段、圓整體等。這些可以稱為單位“1”。(寫在黑板上)問：你為什么在1上加引號？(區(qū)別于自然數(shù)1，表示特定的標題)看下面的圖表。你看到多少分數(shù)？你是怎么得出這些分數(shù)的？整體是12，部分是4。為什么可以用不同的分數(shù)來表達？摘要：將單元“1”平均分成幾個部分，這樣一個或幾個部分可以用分數(shù)來表示。顯然，這一環(huán)節(jié)的教學無疑對學生的思維和認知有很好的促進作用。在創(chuàng)

6、造分數(shù)的過程中，學生不僅能深刻理解分數(shù)的含義，還能嘗到探索活動的樂趣，樹立良好的學習信心。3.在糾錯實踐中積累數(shù)學經(jīng)驗，正確體現(xiàn)分數(shù)的內(nèi)涵。分數(shù)概念的多重含義是指學生必須緊跟教學進度，不斷激發(fā)已有的分數(shù)學習體驗，逐步拓展，積極建構(gòu)新的分數(shù)體驗，不斷拓展和提高對分數(shù)內(nèi)涵和分數(shù)概念的認知和把握。在此基礎(chǔ)上，我們要善于引導學生從不同的角度和不同的意義情境中認識分數(shù)，理解它們不同的表現(xiàn)方式，理解它們不同的內(nèi)涵，正確樹立分數(shù)的概念。否則，學生很難靈活運用所學知識解決實際的分數(shù)問題。錯誤1在下面的數(shù)軸上，可以找到介于和之間的分數(shù)。錯誤2虛線框代表一根小棍子。請估計選項(b)代表一根小棍子。錯例1反映了學生

7、對分數(shù)缺乏數(shù)感，對分數(shù)密集的知識掌握不牢。他們只是把在數(shù)軸上和數(shù)軸之間可以看到的三個標記作為可以找到的分數(shù)。事實上，不管哪兩個分數(shù)存在，都有無數(shù)的分數(shù)。錯誤案例2中學生沒有選擇a，表明他們已經(jīng)意識到“小棍子”的長度肯定比“根”的長度長。實際調(diào)查還發(fā)現(xiàn)，一些學生知道他們想通過計算來長出“根”，但他們對“根”是誰卻非常模糊，所以他們把已知的根棒作為需要估計的單位“1”。因此，只有牢牢把握分數(shù)概念的不同表征，深刻理解分數(shù)概念的多重含義，才能達到舉一反三的學習效果，才能真正運用所學知識解決學習和生活中遇到的相關(guān)問題，提高我們的數(shù)學素養(yǎng)，發(fā)展我們的數(shù)學能力。第二，用公因數(shù)(公倍數(shù))和最大公因數(shù)(最小公倍

8、數(shù))解決實際問題突破性建議：1.引導學生體驗知識探索的過程，培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力。該教材改變了原實驗教材中問題解決和概念引入相結(jié)合的安排，主要是考慮到學生理解困難。因此，新版教材將這一部分的編排改為給出最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的概念，突出概念的本質(zhì)，然后探索其解決方法，最后認識其實際意義，加深對概念在解題中應用的理解。雖然這一部分與生活密切相關(guān)，但在實踐中，由于學生缺乏必要的生活經(jīng)驗和知識經(jīng)驗，用公因式(公倍數(shù))和最大公因式(最小公倍數(shù))解決實際問題仍然相當困難。因此，如何將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學問題，進而解決現(xiàn)實生活中的問題。一方面，要盡可能加強與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，激發(fā)學生的生活

9、認知；另一方面，要引導學生體驗知識探索的過程，注重培養(yǎng)解決實際問題的意識和能力，培養(yǎng)學生獨立解決問題的能力。例如，閱讀和理解問題的含義，通過交流收集相關(guān)信息，讓學生理解在儲藏室的長方形地板上鋪設(shè)一個正方形不僅需要覆蓋它，還需要使用整塊的方塊磚。進一步思考：邊長是多少？整個方形地磚都被蓋住了？然后，在“分析與解決”環(huán)節(jié)，通過操作實踐、合作與交流，學生了解到，為了滿足用方磚鋪地的要求，為了滿足覆蓋和使用整塊方磚的要求，只要方地磚的邊長同時滿足矩形地面的長和寬的要求，即方地磚的邊長可以將矩形地面的長和寬完全分開，即地磚的邊長必須是16的倍數(shù)。最后，通過讓學生畫另一幅畫，相互驗證和交流，學生可以理解地磚的邊長必須是16的因子和12的因子。形成解決這些問題的方法和策略。2.充分注意操作與想象的結(jié)合，培養(yǎng)學生的空間觀念。用公因數(shù)(公倍數(shù))和最大公因數(shù)(最小公倍數(shù))解決實際問題的關(guān)鍵是幫助把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。如何幫助學生理解和實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變不僅是教學的重點，也是教學的難點。在教學中實現(xiàn)這一突破，引導學生操作和想象是一種有效的方法。例如，在解