2 1.離散型隨機(jī)變量的概率分布ppt課件

1、2020/7/30,2-1-1,第二章 隨機(jī)變量及其分布,1 離散型隨機(jī)變量的概率分布 2 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 3 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 4 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,2020/7/30,2-1-2,2 .1 離散型隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量的概念,離散型隨機(jī)變量的概念及分布,一些常用的離散型隨機(jī)變量,2020/7/30,2-1-3,一. 隨機(jī)變量的概念：,例如：1.拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，反面兩種結(jié)果，于是 =正，反，規(guī)定：,2.某工廠產(chǎn)品分為一等，二等，三等，等外。于是 =一等，二等，三等，等外，若規(guī)定：,2020/7/30,2-1-4,3 .在上午 8:009:00 時(shí)間段內(nèi)某路口觀

2、察通過的汽 車數(shù)，可能是0，1，2，3，于是 =0，1，2， 3，規(guī)定：,4 .燈泡的壽命（單位：秒），可能的壽命t是大于等 于0,于是 =t:t0，規(guī)定：,以上四例的共同點(diǎn)是：對(duì)于樣本空間中的每一個(gè)樣 本點(diǎn)e均標(biāo)以一個(gè)實(shí)數(shù)，即確定了一個(gè)定義在樣本空 間上的變量隨機(jī)變量。,2020/7/30,2-1-5,定義：設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間 ，如果對(duì)于樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的實(shí)數(shù)X(e)，由此確定的一個(gè)定義在上的單值函數(shù)：X=X(e),稱此為隨機(jī)變量。一般用大寫字母X,Y,Z,說明 隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的概念不同。,1.隨機(jī)變量定義在樣本空間上，函數(shù)定義在實(shí)數(shù)上。,2.隨機(jī)變量

3、取值具有隨機(jī)性，因試驗(yàn)的結(jié)果不同而取值不同，其每個(gè)可能的取值均對(duì)應(yīng)一定的概率，但取值范圍是確定的。,3.隨機(jī)事件是由樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合，故可說隨機(jī)變量是隨機(jī)事件基礎(chǔ)上的一個(gè)概念。,2020/7/30,2-1-6,說明：定義隨機(jī)變量依問題的需要而定，如擲一 枚骰子， 我們定義了隨機(jī)變量X表示出現(xiàn)的點(diǎn) 數(shù)我們可以定義其隨機(jī)變量為：,2020/7/30,2-1-7,定義:設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，如果對(duì)于樣本 空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e都以一定的概率確定一個(gè) 實(shí)數(shù)X(e)，此時(shí)所確定的定義在上的單值函數(shù)： X=X(e),稱為隨機(jī)變量。,對(duì)于每個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的出現(xiàn)均有一定的概率,因 而隨機(jī)變量的取值有一定概率

4、.,隨機(jī)變量根據(jù)取值可分為離散型隨機(jī)變量與非離 散型隨機(jī)變量。,2020/7/30,2-1-8,二、離散型隨機(jī)變量的概念及分布,1. 離散型隨機(jī)變量的定義,定義 如果隨機(jī)變量X的取值是有限個(gè)或可列無(wú)窮 個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為,其相應(yīng)的概率為 ：,2020/7/30,2-1-9,2.離散型隨機(jī)變量的概率分布,設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的所有可能取值為,其相應(yīng)的概率為 ：,稱 為離散型隨機(jī)變量X的 概率函數(shù)或概率分布,公式可以用表格形式給出,離散型隨機(jī)變量 X 的分布律,2020/7/30,2-1-10,由定義得:,必然事件的概率等于1,2.一個(gè)離散型隨機(jī)變量的

5、統(tǒng)計(jì)規(guī)律須知道X的所有可能取值及每一個(gè)可能取值的概率。,說明： 1.判斷一個(gè)變量是否為隨機(jī)變量只需驗(yàn)證這兩條。,2020/7/30,2-1-11,例1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為,解：由分布律的性質(zhì)，得,所以, c = 3,級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù),2020/7/30,2-1-12,例2 將 1 枚硬幣擲 3 次，令X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反 面次數(shù)之差試求： （1）X 的分布律；,解：,X 的可能取值為,-3， - 1，1，3,其分布律為,2020/7/30,2-1-13,例3 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈，每盞信 號(hào)燈以概率p禁止汽車通過. 以 X 表示汽車首次停下時(shí)，它已通過 的信號(hào)燈

6、的盞數(shù)，求 X 的分布律. (信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的).,PX=3,=(1-p)3p,解： 以 p 表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的概率,于是 X 的概率分布為：,PX= k = (1- p)kp，k = 0,1,2,3,以 p = 1/2 代入得：,PX= 4 = (1-p)4,X 的可能取值是0,1,2,3,4,2020/7/30,2-1-14,三、常用的離散型隨機(jī)變量,1. Bernoulli分布,設(shè)隨機(jī)變量X的取值只是0，1，其概率函數(shù)為,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的Bernoulli分布,其分布律為：,Bernoulli分布也稱作 0-1 分布或二點(diǎn)分布,2020/7/30,2-1-1

7、5,Bernoulli分布的概率背景,進(jìn)行一次Bernoulli試驗(yàn)， A是隨機(jī)事件。設(shè)：,設(shè)X 表示這次Bernoulli試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù) 或者設(shè),2020/7/30,2-1-16,2. n重Bernoulli試驗(yàn)、二 項(xiàng) 分 布,(1)n重獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn),(2) n重Bernoulli試驗(yàn),設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E ，將試驗(yàn)E重復(fù)獨(dú)立進(jìn)行n次，即對(duì)試驗(yàn) E重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)的概率均不依賴于其他 各次試驗(yàn)結(jié)果。稱這一系列試驗(yàn)為n重獨(dú)立試驗(yàn)。,設(shè)有n重獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn),如果每次試驗(yàn)E的結(jié)果僅有可能的 結(jié)果：A與 ，則稱這一系列試驗(yàn)為n重Bernoulli試驗(yàn)。,2020/7/30,2-1-

8、17,n 次相互獨(dú)立試驗(yàn)的例子,擲 n 次硬幣，可看作是 n 次獨(dú)立試驗(yàn)； 在一批產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，可看作是 n 次獨(dú)立試驗(yàn)； 觀察 n 個(gè)元件的使用壽命，可看作是 n 次獨(dú)立試驗(yàn) 擲一顆骰子n次，有六種結(jié)果但如果我們只關(guān)心出現(xiàn)六點(diǎn)”與“不出現(xiàn)六點(diǎn)”這兩種情況，故“擲一顆骰子”可以作n重是Bernoulli試驗(yàn)。,2020/7/30,2-1-18,(3) n重Bernoulli 試驗(yàn)中成功恰好出現(xiàn)k次的概率,定理：設(shè)在 n 重Bernoulli 試驗(yàn)中，,事件A恰好出現(xiàn)k次的概率為：,證明：在 n 重Bernoulli 試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)k次，則 出現(xiàn),n-k次，而在 n 次

9、試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)k次，則 出現(xiàn)n-k次,共有 種排列次序，所對(duì)應(yīng)的概率為：,2020/7/30,2-1-19,令X表示事件A在n重Bernoulli試驗(yàn)中出現(xiàn)次數(shù), 事件A在n 重Bernoulli試驗(yàn)中至多出現(xiàn)m次的概率,事件A在n重Bernoulli試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)不少于m次的概率,2020/7/30,2-1-20,定義：如果隨機(jī)變量 X 的分布律為, 0p1及自然數(shù)n , 由二項(xiàng)式定理，,是某個(gè)隨機(jī)變量的概率分布,說 明：Bernoulli 分布是二項(xiàng)分布的特例,當(dāng) n=1 時(shí),2020/7/30,2-1-21,例4 某病的自然痊愈率為 0.25，某醫(yī)生為檢驗(yàn)?zāi)撤N新藥是否有效，他事先制

10、定了一個(gè)決策規(guī)則：把這藥給10個(gè)病人服用，如果這10病人中至少有4個(gè)人痊愈，則認(rèn)為新藥有效；反之，則認(rèn)為新藥無(wú)效求： 新藥有效，并且把痊愈率提高到0.35，但通過試驗(yàn)卻被否定的概率 新藥完全無(wú)效，但通過試驗(yàn)卻被判為有效的概率,解： 給10個(gè)病人服藥可看作是一個(gè)10重Bernoulli試驗(yàn),令:A=某病人痊愈,P(A)=0.35,2020/7/30,2-1-22, 由于新藥無(wú)效，則,此時(shí)若肯定新藥，只有在試驗(yàn)中至少有4人痊愈因此, 若新藥有效，則此時(shí)若否定新藥，只有在試驗(yàn)中不到4人痊 愈因此,2020/7/30,2-1-23,例5 一大批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取出15件試求下列 事件的概率

11、： B= 取出的15件產(chǎn)品中恰有2件次品 C= 取出的15件產(chǎn)品中至少有2件次品 ,可近似看作是15重Bernoulli試驗(yàn),解：,所以，,從一大批產(chǎn)品中取15件產(chǎn)品,每件或是次品,或是合格品.,A=取出一件為次品,P(A)=0.1,一批產(chǎn)品可認(rèn)為數(shù)目比較大.,2020/7/30,2-1-24,例 6 一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其 中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)4道題以上的 概率是多少？,答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗(yàn),解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，,所以，,2020/7/30,2-1-25,例 7 某人在相同的條件下，相互獨(dú)立地

12、向目標(biāo)射擊5次，每次 擊中目標(biāo)的概率為0.6,求擊中目標(biāo)次數(shù)X的分布率，并求至少三 次擊中目標(biāo)的概率。,解：若用X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，X可能取值為0，1，2，3， 4，5，則XB(5,0.6),每次射擊目標(biāo)一次相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，5次射擊相互獨(dú)立,2020/7/30,2-1-26,二項(xiàng)分布的分布形態(tài),則二項(xiàng)分布的分布率 先是隨,著 k 的增加而增大，達(dá)到其最大值后再隨著k 的增大而減少 此時(shí)稱使PX=k 最大的 為二項(xiàng)分布的最可能值。,可以證明：,2020/7/30,2-1-27,3. Poisson 分布,如果隨機(jī)變量X 的分布律為,則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的Poisso

13、n 分布, 由于0,可知對(duì)任意的自然數(shù) k，有, 又由于,是某個(gè)隨機(jī)變量的概率分布,2020/7/30,2-1-28,如果隨機(jī)變量X 的分布律為,試確定未知常數(shù)c .,例8,由分布率的性質(zhì)有,解：,2020/7/30,2-1-29,例 9 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為的Poisson分布，且已知,解：隨機(jī)變量 X 的分布律為,由已知,解方程,于是,2020/7/30,2-1-30,Poisson 定理： n重Bernoulli試驗(yàn)中，用表示pn事件A在試驗(yàn)中發(fā)生的概率，它與試驗(yàn)的總次數(shù)n有關(guān)，如果,2020/7/30,2-1-31,例10 設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求

14、至 少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計(jì)算）,解：,2020/7/30,2-1-32,例 11 保險(xiǎn)公司售出某種壽險(xiǎn)（一年）保單2500份.每單交保費(fèi)100元，當(dāng)被保人一年內(nèi)死亡時(shí)，家屬可從保險(xiǎn)公司獲得2萬(wàn)的賠償.若此類被保人一年內(nèi)死亡的概率為0.001，求 （1）保險(xiǎn)公司虧本的概率； （2）保險(xiǎn)公司獲利不少于10萬(wàn)元的概率.,解：設(shè)此類被保人一年內(nèi)死亡的人數(shù)為 X ，則,（1）P(保險(xiǎn)公司虧本),（2）P(保險(xiǎn)公司獲利不少于10萬(wàn)元),2020/7/30,2-1-33,4）幾 何 分 布,若隨機(jī)變量 X 的分布律為,顯然，, 由條件, 由條件可知,于是知 是一分布律,2020/7/30,2-1-34,幾何分布的概率背景,在Bernoulli試驗(yàn)中，,試驗(yàn)進(jìn)行到 A 首次出現(xiàn)為止,即,2020/7/30,2-1-35,例 12,對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊時(shí)的命中率為 0.64，射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)時(shí)為止，令 X：所需射擊 次數(shù) 試求隨機(jī) 變量 X 的分布律，并求至少進(jìn)行2次 射擊才能擊中目標(biāo)的概率 解：,2020/7/30,2-1-36,5