信號與系統(tǒng) 第七章.ppt

1、7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性,一、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布圖,LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復變量s或z的有理分式，即,A(.)=0的根p1，p2，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的極點；B(.)=0的根1，2，m稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的零點。,將零極點畫在復平面上 得零、極點分布圖。,例,例：已知H(s)的零、極點分布圖如示，并且h(0+)=2。求H(s)的表達式。,解：由分布圖可得,根據(jù)初值定理，有,二、系統(tǒng)函數(shù)H()與時域響應h(),沖激響應或單位序列響應的函數(shù)形式由H(.)的極點確定。,下面討論H(.)極點的位置與其時域響應的函數(shù)形式。,所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。,1連續(xù)因果系統(tǒng),H(s)按其極點在s平面上的

2、位置可分為:在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。,（1）在左半平面,若系統(tǒng)函數(shù)有負實單極點p= (0)，則A(s)中有因子(s+)，其所對應的響應函數(shù)為Ke-t(t),(b) 若有一對共軛復極點p12=-j，則A(s)中有因子(s+)2+2-K e-tcos(t+)(t),(c) 若有r重極點， 則A(s)中有因子(s+)r或(s+)2+2r，其響應為 Kiti e-t(t)或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,1,2,r-1),以上三種情況：當t時，響應均趨于0。暫態(tài)分量。,（2）在虛軸上,(a)單極點p=0或p12=j， 則響應為K(t)或Kcos(t+)(t)-穩(wěn)態(tài)分量,(b

3、) r重極點，相應A(s)中有sr或(s2+2)r，其響應函數(shù)為Kiti(t)或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)遞增函數(shù),（3）在右半開平面 ：均為遞增函數(shù)。,綜合結論： LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點確定。,H(s)在左半平面的極點所對應的響應函數(shù)為衰減的。即當t時，響應均趨于0。,H(s)在虛軸上的一階極點所對應的響應函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。,H(s)在虛軸上的高階極點或右半平面上的極點，其所對應的響應函數(shù)都是遞增的。 即當t時，響應均趨于。,2離散因果系統(tǒng),H(z)按其極點在z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類。 根據(jù)z與s的

4、對應關系，有結論：,H(z)在單位圓內(nèi)的極點所對應的響應序列為衰減的。即當k時，響應均趨于0。,H(z)在單位圓上的一階極點所對應的響應函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應。,H(z)在單位圓上的高階極點或單位圓外的極點，其所對應的響應序列都是遞增的。即當k時，響應均趨于。,三、系統(tǒng)函數(shù)收斂域與其極點之間的關系,根據(jù)收斂域的定義，H()收斂域不能含H()的極點。,例：某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),(1) 若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位序列響應h(k);,(2) 若系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，求單位序列響應h(k);,(3) 若系統(tǒng)存在頻率響應，求單位序列響應h(k);,解 (1) |z|3，h(k) =(-0.5)k + (3)k(k),

5、(2) |z|0.5，h(k) =-(-0.5)k - (3)k(-k-1),(3) 0.5|z|3，h(k) = (-0.5)k (k) - (3)k(-k-1),7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一、因果系統(tǒng),因果系統(tǒng)是指，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(.)不會出現(xiàn)于f(.)之前的系統(tǒng)。,連續(xù)因果系統(tǒng)的充分必要條件是：沖激響應 h(t)=0,t0,或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域為：Res0,離散因果系統(tǒng)的充分必要條件是：單位響應 h(k)=0, k0,或者，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域為：|z|0,二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性,1、穩(wěn)定系統(tǒng)的定義,一個系統(tǒng)，若對任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界

6、輸出(BIBO)穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。,即，若系統(tǒng)對所有的激勵 |f(.)|Mf ，其零狀態(tài)響應 |yf(.)|My，則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。,（1）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,若H(s)的收斂域包含虛軸，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。,（2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,若H(z)的收斂域包含單位圓，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定的系統(tǒng)。,例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1)若為因果系統(tǒng)，求h(k)，并判斷是否穩(wěn)定。 (2) 若為穩(wěn)定系統(tǒng)，求h(k).,解,(1)為因果系統(tǒng)，故收斂域為|z|2，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不穩(wěn)定。,(2)若為穩(wěn)定系統(tǒng)，故收斂

7、域為0.5|z|2，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1),因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件可簡化為,（3）連續(xù)因果系統(tǒng),因為因果系統(tǒng)左半開平面的極點對應的響應為衰減函數(shù)。故，若H(s)的極點均在左半開平面，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。,（4）離散因果系統(tǒng),因為因果系統(tǒng)單位圓內(nèi)的極點對應的響應為衰減函數(shù)。故，若H(z)的極點均在單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。,例1：如圖反饋因果系統(tǒng)，問當K滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？其中子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)G(s)=1/(s+1)(s+2),解：設加法器的輸出信號X(s),X(s),X(s)=KY(s)+F(s),Y(s)= G

8、(s)X(s)=K G(s)Y(s)+ G(s)F(s),H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/1-KG(s)=1/(s2+3s+2-k),H(s)的極點為,為使極點在左半平面，必須(3/2)2-2+k(3/2)2, k2，即當k2，系統(tǒng)穩(wěn)定。,例2：如圖離散因果系統(tǒng)框圖 ，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，求常量a的取值范圍,解：設加法器輸出信號X(z),X(z),z-1X(z),X(z)=F(z)+z-1aX(z),Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z),H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a),為使系統(tǒng)穩(wěn)定，H(z)的極點必須在單位圓內(nèi)，

9、 故|a|1,三、連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準則羅斯-霍爾維茲準則,對因果系統(tǒng)，只要判斷H(s)的極點，即A(s)=0的根（稱為系統(tǒng)特征根）是否都在左半平面上，即可判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不必知道極點的確切值。,所有的根均在左半平面的多項式稱為霍爾維茲多項式。,1、必要條件簡單方法,一實系數(shù)多項式A(s)=ansn+a0=0的所有根位于左半開平面的必要條件是：（1）所有系數(shù)都必須非0，即不缺項；（2）系數(shù)的符號相同。,例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符號相異，不穩(wěn)定 例2 A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不穩(wěn)定 例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需進一步判斷，非充分條件。,2、羅

10、斯列表,將多項式A(s)的系數(shù)排列為如下陣列羅斯陣列 第1行 an an-2 an-4 第2行 an-1 an-3 an-5 第3行 cn-1 cn-3 cn-5 它由第1，2行，按下列規(guī)則計算得到：,第4行由2，3行同樣方法得到。一直排到第n+1行。,羅斯準則指出：若第一列元素具有相同的符號，則A(s)=0所有的根均在左半開平面。若第一列元素出現(xiàn)符號改變，則符號改變的總次數(shù)就是右半平面根的個數(shù)。,特例：對于二階系統(tǒng) A(s)=a2s2+a1s+a0，若a20，不難得出，A(s)為霍爾維茲多項式的條件為：a10，a00,例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2,羅斯陣列： 2 12 2

11、 1 8 0,2,8.5 0,2,第1列元素符號改變2次，因此，有2個根位于右半平面。,注意：在排羅斯陣列時，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個元素為0或某一行元素全為0，這時可斷言：該多項式不是霍爾維茲多項式。,例2 已知某因果系統(tǒng)函數(shù),為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應滿足什么條件？,解 列羅斯陣列,3 3 1+k,(8-k)/3,1+k,所以， 1k8，系統(tǒng)穩(wěn)定。,7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性,四、離散因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準則朱里準則,為判斷離散因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要判斷A(z)=0的所有根的絕對值是否都小于1。朱里提出一種列表的檢驗方法，稱為朱里準則。,朱里列表： 第1行 an an-1 an-2 a2 a1

12、a0 第2行 a0 a1 a 2 an-2 an-1 an 第3行 cn-1 cn-2 cn-3 c1 c0 第4行 c0 c1 c2 cn-2 cn-1 第5行 dn-2 dn-3 dn-4 d0 第6行 d0 d1 d2 dn-2 第2n-3行 r2 r1 r0,7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性,第3行按下列規(guī)則計算：,一直到第2n-3行，該行有3個元素。,朱里準則指出，A(z)=0的所有根都在單位圓內(nèi)的充分必要的條件是: (1) A(1)0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0| 奇數(shù)行，其第1個元素必大于最后一個元素的絕對值。,特例：

13、對二階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)0 A(-1)0 a2|a0|,7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性,例 A(z)=4z4-4z3+2z-1,解,4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209-210 56,41 ， 154 ， 20956 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。,(-1)4A(-1)=50,排朱里列表,A(1)=10,7.3 信號流圖,7.3 信號流圖,用方框圖描述系統(tǒng)的功能比較直觀。信號流圖是用有向的線圖描述方程變量之間因果關系的一種圖，用它描述系統(tǒng)比方框圖更加簡便。信號流圖首先由Mason于1953年提出的，應用非常廣泛。,信號流圖

14、就是用一些點和有向線段來描述系統(tǒng)，與框圖本質是一樣的，但簡便多了。,一、信號流圖,1、定義：信號流圖是由結點和有向線段組成的幾何圖形。它可以簡化系統(tǒng)的表示，并便于計算系統(tǒng)函數(shù)。,2、信號流圖中常用術語,7.3 信號流圖,(1)結點： 信號流圖中的每個結點表示一個變量或信號。,(2)支路和支路增益： 連接兩個結點之間的有向線段稱為支路。 每條支路上的權值（支路增益）就是該兩結點間的系統(tǒng)函數(shù)（轉移函數(shù)）,即用一條有向線段表示一個子系統(tǒng)。,(3)源點與匯點，混合結點： 僅有出支路的結點稱為源點（或輸入結點）。 僅有入支路的結點稱為匯點（或輸出結點）。 有入有出的結點為混合結點,7.3 信號流圖,沿箭

15、頭指向從一個結點到其他結點的路徑稱為通路。 如果通路與任一結點相遇不多于一次，則稱為開通路。 若通路的終點就是通路的起點（與其余結點相遇不多于一次），則稱為閉通路。 相互沒有公共結點的回路，稱為不接觸回路。 只有一個結點和一條支路的回路稱為自回路。,(5)前向通路：從源點到匯點的開通路稱為前向通路。,(6)前向通路增益，回路增益： 前向通路中各支路增益的乘積稱為前向通路增益。 回路中各支路增益的乘積稱為回路增益。,(4)通路、開通路、閉通路（回路、環(huán)）、不接觸回路、自回路：,7.3 信號流圖,3、信號流圖的基本性質,（1）信號只能沿支路箭頭方向傳輸。 支路的輸出=該支路的輸入與支路增益的乘積。

16、,（2）當結點有多個輸入時，該接點將所有輸入支路的信號相加，并將和信號傳輸給所有與該結點相連的輸出支路。,如：x4= ax1+bx2+dx5 x3= cx4 x6= ex4,（3）混合結點可通過增加一個增益為1的出支路而變?yōu)閰R點。,7.3 信號流圖,4、方框圖流圖,注意：加法器前引入增益為1的支路,5、流圖簡化的基本規(guī)則：,（1）支路串聯(lián)：支路增益相乘。,X2=H2X3=H2H1X1,（2）支路并聯(lián)：支路增益相加。,X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X1,7.3 信號流圖,（3）混聯(lián)：,X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2,7.3 信號流圖,

17、（4）自環(huán)的消除：,X3=H1X1+H2X2+ H3X3,所有來向支路除1 H3,7.3 信號流圖,例：化簡下列流圖。,注意化簡具體過程可能不同，但最終結果一定相同。,解：消x3,消x2,消x4,消自環(huán),7.3 信號流圖,二、梅森公式,上述化簡求H復雜。利用Mason公式方便。,系統(tǒng)函數(shù)H(.)記為H。梅森公式為：,稱為信號流圖的特征行列式,為所有不同回路的增益之和；,為所有兩兩不接觸回路的增益乘積之和；,為所有三三不接觸回路的增益乘積之和；,i 表示由源點到匯點的第i條前向通路的標號,Pi 是由源點到匯點的第i條前向通路增益；,i 稱為第i條前向通路特征行列式的余因子 。消去接觸回路,7.3 信號流圖,例 求下列信號流圖的系統(tǒng)函數(shù),解 (1)首先找出所有回路：,L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5,(2)求特征行列式,=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5,(4)求各前向通路的余因子：1 =1 ， 2 =1-GH3,(3)然后找出所有的前向通路：,p1=2H1H2H3 p2=H1H4,7.4 系統(tǒng)模擬,7.4 系統(tǒng)模擬,對框圖也可利用梅森公式