9 時間序列經(jīng)濟學模型.ppt

1、第九章時間序列計量經(jīng)濟學模型,時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 隨機時間序列分析模型 協(xié)整分析與誤差修正模型,9.1 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗,一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型 二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性 三、平穩(wěn)性的圖示判斷 四、平穩(wěn)性的單位根檢驗 五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程,一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型,常見的數(shù)據(jù)類型,到目前為止，經(jīng)典計量經(jīng)濟模型常用到的數(shù)據(jù)有： 時間序列數(shù)據(jù)（time-series data) 截面數(shù)據(jù)(cross-sectional data) 平行/面板數(shù)據(jù)（panel data/time-series cross-section data) 時

2、間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù),經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性,經(jīng)典回歸分析暗含著一個重要假設：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎“一致性”要求被破懷。 經(jīng)典回歸分析的假設之一：解釋變量X是非隨機變量,依概率收斂：,(2),放寬該假設：X是隨機變量，則需進一步要求： (1)X與隨機擾動項 不相關Cov(X,)=0,第（2）條是為了滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的“一致性”特性：,第（1）條是OLS估計的需要,如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。,因此：,注意：在雙變量模型中：,表現(xiàn)在:兩個本來沒有任

3、何因果關系的變量，卻有很高的相關性（有較高的R2)。例如：如果有兩列時間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關系，但進行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。, 數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導致出現(xiàn)“虛假回歸”問題,在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，實際的時間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟變量如消費、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關系模型進行分析，一般不會得到有意義的結果。,時間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計量經(jīng)濟學方法論。 時間序列分析已組成現(xiàn)代計量經(jīng)濟學的重要內(nèi)容，并廣泛應用于經(jīng)濟分析與預測當

4、中。,二、時間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性,定義：,假定某個時間序列是由某一隨機過程（stochastic process）生成的，即假定時間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個數(shù)值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件： 1）均值E(Xt)=是與時間t 無關的常數(shù)； 2）方差Var(Xt)=2是與時間t 無關的常數(shù)；,3）協(xié)方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只與時期間隔k有關，與時間t 無關的常數(shù)； 則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程（stationary stochastic process）。,例9.1.1一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值

5、同方差的獨立分布序列： Xt=t ， tN(0,2),該序列常被稱為是一個白噪聲（white noise）。 由于Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零,由定義,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。,例9.1.2另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨機游走（random walk），該序列由如下隨機過程生成： X t=Xt-1+t 這里， t是一個白噪聲。,容易知道該序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1) 為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設Xt的初值為X0，則易知:,X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+t 由于X0為常數(shù)，t是一個白噪聲，因此: Var(Xt)=t2 即

6、Xt的方差與時間t有關而非常數(shù)，它是一非平穩(wěn)序列。,然而，對X取一階差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t 由于t是一個白噪聲，則序列Xt是平穩(wěn)的。,后面將會看到:如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列。,事實上，隨機游走過程是下面我們稱之為1階自回歸AR(1)過程的特例: Xt=Xt-1+t 不難驗證: 1)|1時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現(xiàn)為持續(xù)上升(1)或持續(xù)下降(-1)，因此是非平穩(wěn)的； 2)=1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩(wěn)的。,9.2中將證明:只有當-11時，該隨機過程才是平穩(wěn)的。,1階自回歸過程AR(1)又

7、是如下k階自回歸AR(K)過程的特例： Xt= 1Xt-1+2Xt-2+kXt-k 該隨機過程平穩(wěn)性條件將在第二節(jié)中介紹。,三、平穩(wěn)性檢驗的圖示判斷,給出一個隨機時間序列，首先可通過該序列的時間路徑圖來粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。 一個平穩(wěn)的時間序列在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動的過程。 而非平穩(wěn)序列則往往表現(xiàn)出在不同的時間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。,進一步的判斷:檢驗樣本自相關函數(shù)及其圖形,定義隨機時間序列的自相關函數(shù)（autocorrelation function, ACF）如下： k=k/0 自相關函數(shù)是關于滯后期k的遞減函數(shù)(Why?)。 實際上,對一個隨機過

8、程只有一個實現(xiàn)（樣本），因此，只能計算樣本自相關函數(shù)（Sample autocorrelation function）。,一個時間序列的樣本自相關函數(shù)定義為：,易知，隨著k的增加，樣本自相關函數(shù)下降且趨于零。但從下降速度來看，平穩(wěn)序列要比非平穩(wěn)序列快得多。,注意:,確定樣本自相關函數(shù)rk某一數(shù)值是否足夠接近于0是非常有用的，因為它可檢驗對應的自相關函數(shù)k的真值是否為0的假設。 Bartlett曾證明:如果時間序列由白噪聲過程生成，則對所有的k0，樣本自相關系數(shù)近似地服從以0為均值，1/n 為方差的正態(tài)分布，其中n為樣本數(shù)。,也可檢驗對所有k0，自相關系數(shù)都為0的聯(lián)合假設，這可通過如下QLB統(tǒng)計

9、量進行：,該統(tǒng)計量近似地服從自由度為m的2分布（m為滯后長度）。 因此:如果計算的Q值大于顯著性水平為的臨界值，則有1-的把握拒絕所有k(k0)同時為0的假設。 例9.1.3: 表9.1.1序列Random1是通過一隨機過程（隨機函數(shù)）生成的有19個樣本的隨機時間序列。,容易驗證：該樣本序列的均值為0，方差為0.0789。,從圖形看：它在其樣本均值0附近上下波動，且樣本自相關系數(shù)迅速下降到0，隨后在0附近波動且逐漸收斂于0。,由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關性，因此該序列為一白噪聲。,根據(jù)Bartlett的理論：kN(0,1/19)，因此任一rk(k0)的95%的置信區(qū)間都將

10、是:,可以看出:k0時，rk的值確實落在了該區(qū)間內(nèi)，因此可以接受 k(k0)為0的假設。 同樣地，從QLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后17期的計算值為26.38，未超過5%顯著性水平的臨界值27.58，因此,可以接受所有的自相關系數(shù)k(k0)都為0的假設。 因此，該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。,序列Random2是由一隨機游走過程 Xt=Xt-1+t 生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，第0項取值為0， t是由Random1表示的白噪聲。,圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣本自相關圖看，雖然自相關系數(shù)迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨勢。 樣本自相關系數(shù)顯示：r1=0.48，

11、落在了區(qū)間-0.4497, 0.4497之外，因此在5%的顯著性水平上拒絕1的真值為0的假設。 該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。,例9.1.4 檢驗中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性。,表9.1.2 19782000年中國支出法GDP（單位：億元）,圖形：表現(xiàn)出了一個持續(xù)上升的過程，可初步判斷是非平穩(wěn)的。 樣本自相關系數(shù)：緩慢下降，再次表明它的非平穩(wěn)性。,從滯后18期的QLB統(tǒng)計量看： QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒絕：該時間序列的自相關系數(shù)在滯后1期之后的值全部為0的假設。 結論: 19782000年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。,例9.1.5 檢驗2.10中關于人均居民消

12、費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。,原圖 樣本自相關圖,從圖形上看：人均居民消費（CPC）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。,從滯后14期的QLB統(tǒng)計量看：CPC與GDPPC序列的統(tǒng)計量計算值均為57.18，超過了顯著性水平為5%時的臨界值23.68。再次表明它們的非平穩(wěn)性。,就此來說，運用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。 不過，9.3中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是協(xié)整的。,四、平穩(wěn)性的單位根檢驗 （unit root test）,1、DF檢驗 隨機游走序列: Xt=Xt-1+t 是非平穩(wěn)的，其中t是

13、白噪聲。而該序列可看成是隨機模型: Xt=Xt-1+t 中參數(shù)=1時的情形。,（*）式可變形式成差分形式： Xt=(1-)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*) 檢驗（*）式是否存在單位根=1，也可通過（*）式判斷是否有 =0。,對式： Xt=Xt-1+t （*） 進行回歸，如果確實發(fā)現(xiàn)=1，就說隨機變量Xt有一個單位根。,一般地:,檢驗一個時間序列Xt的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型： Xt=+Xt-1+t （*） 中的參數(shù)是否小于1。,或者：檢驗其等價變形式： Xt=+Xt-1+t （*） 中的參數(shù)是否小于0 。,在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數(shù)1或=1時，時間序列是非平

14、穩(wěn)的;對應于（*）式，則是0或 =0。,因此，針對式： Xt=+Xt-1+t 我們關心的檢驗為：零假設 H0：=0。 備擇假設 H1：0,上述檢驗可通過OLS法下的t檢驗完成。 然而，在零假設（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的t 檢驗無法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了這一情形下t統(tǒng)計量服從的分布（這時的t統(tǒng)計量稱為統(tǒng)計量），即DF分布（見表9.1.3）。 由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現(xiàn)圍繞小于零值的偏態(tài)分布。,因此，可通過OLS法估計： Xt=+Xt-1+t 并計算t統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：,如果：t臨

15、界值，則拒絕零假設H0： =0， 認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。 注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結果是相同的。 例如：“如果計算得到的t統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕=0”的假設，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。,問題的提出： 在利用Xt=+Xt-1+t對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中，實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的。 但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用OLS法進行估計均會表現(xiàn)出隨機誤差項出現(xiàn)自相關（autocorrelation），導致DF檢驗無效。,2、ADF檢驗,另外

16、，如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容易導致上述檢驗中的自相關隨機誤差項問題。 為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，Dicky和Fuller對DF檢驗進行了擴充，形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗。,ADF檢驗是通過下面三個模型完成的：,模型3 中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數(shù)項和趨勢項。 檢驗的假設都是：針對H1: 0,檢驗 H0：=0，即存在一單位根。,實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。,何時檢驗拒絕零假設，即原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序

17、列，何時檢驗停止。否則，就要繼續(xù)檢驗，直到檢驗完模型1為止。 檢驗原理與DF檢驗相同，只是對模型1、2、3進行檢驗時，有各自相應的臨界值。 表9.1.4給出了三個模型所使用的ADF分布臨界值表。,2.20 2.18 2.17 2.16 2.16 2.16,2.61 2.56 2.54 2.53 2.52 2.52,2.97 2.89 2.86 2.84 2.83 2.83,3.41 3.28 3.22 3.19 3.18 3.18,25 50 100 250 500 500,-2.62 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -2.57,-3.00 -2.93 -2.89 -2.88

18、-2.87 -2.86,-3.33 -3.22 -3.17 -3.14 -3.13 -3.12,-3.75 -3.58 -3.51 -3.46 -3.44 -3.43,25 50 100 250 500 500,2,-1.60 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61 -1.61,-1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95 -1.95,-2.26 -2.25 -2.24 -2.23 -2.23 -2.23,-2.66 -2.62 -2.60 -2.58 -2.58 -2.58,25 50 100 250 500 500,1,0.10,0.05,0.025,0.01,樣本容

19、量,統(tǒng)計量,模型,表：9.1.4 不同模型使用的ADF分布臨界值表,s,t,s,t,a,t,2.39 2.38 2.38 2.38 2.38 2.38,2.85 2.81 2.79 2.79 2.78 2.78,3.25 3.18 3.14 3.12 3.11 3.11,3.74 3.60 3.53 3.49 3.48 3.46,25 50 100 250 500 500,2.77 2.75 2.73 2.73 2.72 2.72,3.20 3.14 3.11 3.09 3.08 3.08,3.59 3.42 3.42 3.39 3.38 3.38,4.05 3.87 3.78 3.74 3.

20、72 3.71,25 50 100 250 500 500,-3.24 -3.18 -3.15 -3.13 -3.13 -3.12,-3.60 3.50 -3.45 -3.43 -3.42 -3.41,-3.95 -3.80 -3.73 -3.69 -3.68 -3.66,-4.38 -4.15 -4.04 -3.99 -3.98 -3.96,25 50 100 250 500 500,3,0.10,0.05,0.025,0.01,樣本容量,統(tǒng)計量,模型,續(xù)表：9.1.4 不同模型使用的ADF分布臨界值表,s,t,a,t,b,t,同時估計出上述三個模型的適當形式，然后通過ADF臨界值表檢驗零假

21、設H0：=0。 1）只要其中有一個模型的檢驗結果拒絕了零假設，就可以認為時間序列是平穩(wěn)的；,一個簡單的檢驗過程：,2）當三個模型的檢驗結果都不能拒絕零假設時，則認為時間序列是非平穩(wěn)的。 這里所謂模型適當?shù)男问骄褪窃诿總€模型中選取適當?shù)臏蟛罘猪?，以使模型的殘差項是一個白噪聲（主要保證不存在自相關）。,例9.1.6 檢驗19782000年間中國支出法GDP序列的平穩(wěn)性。,1）經(jīng)過償試，模型3取了2階滯后：,通過拉格朗日乘數(shù)檢驗（Lagrange multiplier test）對隨機誤差項的自相關性進行檢驗： LM（1）=0.92， LM（2）=4.16，,小于5%顯著性水平下自由度分別為1與2

22、的2分布的臨界值，可見不存在自相關性，因此該模型的設定是正確的。 從的系數(shù)看，t臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。 時間T的t統(tǒng)計量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假設。需進一步檢驗模型2 。,2）經(jīng)試驗，模型2中滯后項取2階：,LM檢驗表明模型殘差不存在自相關性，因此該模型的設定是正確的。,從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。 常數(shù)項的t統(tǒng)計量小于AFD分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數(shù)項的零假設。需進一步檢驗模型1。,3)經(jīng)試驗，模型1中滯后項取2階：,LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關性，因此模型的設定是正確的。

23、從GDPt-1的參數(shù)值看，其t統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。 可斷定中國支出法GDP時間序列是非平穩(wěn)的。,例9.1.7 檢驗2.10中關于人均居民消費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。,1) 對中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC來說，經(jīng)過償試，三個模型的適當形式分別為：,三個模型中參數(shù)的估計值的t統(tǒng)計量均大于各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的零假設。 結論：人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPPC）是非平穩(wěn)的。,2）對于人均居民消費CPC時間序列來說，三個模型的適當形式為 ：,三個模型中參數(shù)CPCt-1的t統(tǒng)計量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕該時間序列存在單

24、位根的假設， 因此,可判斷人均居民消費序列CPC是非平穩(wěn)的。,五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程,隨機游走序列Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等價地變形為 Xt=t， 由于t是一個白噪聲，因此差分后的序列Xt是平穩(wěn)的。 如果一個時間序列經(jīng)過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是一階單整（integrated of 1）序列，記為I(1)。,單整,一般地，如果一個時間序列經(jīng)過d次差分后變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d 階單整（integrated of d）序列，記為I(d)。 顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列。 現(xiàn)實經(jīng)濟生活中: 1)只有少數(shù)經(jīng)濟指標的時間序列表現(xiàn)為平穩(wěn)的，如利率等;,2)大多數(shù)指標的時間序

25、列是非平穩(wěn)的，如一些價格指數(shù)常常是2階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現(xiàn)為1階單整。 大多數(shù)非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。 但也有一些時間序列，無論經(jīng)過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的（non-integrated）。,例9.1.8 中國支出法GDP的單整性。,經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國支出法GDP是1階單整的，適當?shù)臋z驗模型為：,例9.1.9 中國人均居民消費與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值的單整性。,經(jīng)過試算，發(fā)現(xiàn)中國人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC是2階單整的，適當?shù)臋z驗模型為：,同樣地，CPC也是2階單整的，適當?shù)臋z驗模型為：, 趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程

26、,前文已指出，一些非平穩(wěn)的經(jīng)濟時間序列往往表現(xiàn)出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關聯(lián)關系，這時對這些數(shù)據(jù)進行回歸，盡管有較高的R2，但其結果是沒有任何實際意義的。這種現(xiàn)象我們稱之為虛假回歸或偽回歸（spurious regression）。,如：用中國的勞動力時間序列數(shù)據(jù)與美國GDP時間序列作回歸，會得到較高的R2 ，但不能認為兩者有直接的關聯(lián)關系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結果我們認為是虛假的。,為了避免這種虛假回歸的產(chǎn)生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。,然而這種做法，只有當趨勢性變量是確定性的（dete

27、rministic）而非隨機性的（stochastic），才會是有效的。 換言之，如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。,1)如果=1，=0，則（*）式成為一帶位移的隨機游走過程： Xt=+Xt-1+t （*） 根據(jù)的正負，Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為隨機性趨勢（stochastic trend）。,考慮如下的含有一階自回歸的隨機過程： Xt=+t+Xt-1+t （*） 其中:t是一白噪聲，t為一時間趨勢。,2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時間趨勢的隨機變化過程： Xt=+t+t （*） 根據(jù)的正負，

28、Xt表現(xiàn)出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為確定性趨勢（deterministic trend）。,3) 如果=1，0，則Xt包含有確定性與隨機性兩種趨勢。,判斷一個非平穩(wěn)的時間序列，它的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所用的第3個模型進行。 該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量t，即分離出了確定性趨勢的影響。,因此： (1)如果檢驗結果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數(shù)顯著為零，則該序列顯示出隨機性趨勢; (2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數(shù)顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。,隨機性趨勢可通過差分的方法消除 例如：對式： Xt=+Xt-1+t 可通過差分

29、變換為： Xt= +t 該時間序列稱為差分平穩(wěn)過程（difference stationary process）；,確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢項消除,例如：對式： Xt=+t+t 可通過除去t變換為： Xt t =+t 該時間序列是平穩(wěn)的，因此稱為趨勢平穩(wěn)過程（trend stationary process）。,最后需要說明的是，趨勢平穩(wěn)過程代表了一個時間序列長期穩(wěn)定的變化過程，因而用于進行長期預測則是更為可靠的。,9.2 隨機時間序列分析模型,一、時間序列模型的基本概念及其適用性 二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件 三、隨機時間序列模型的識別 四、隨機時間序列模型的

30、估計 五、隨機時間序列模型的檢驗,說明,經(jīng)典計量經(jīng)濟學模型與時間序列模型 確定性時間序列模型與隨機性時間序列模型,一、時間序列模型的基本概念及其適用性,1、時間序列模型的基本概念,隨機時間序列模型（time series modeling）是指僅用它的過去值及隨機擾動項所建立起來的模型，其一般形式為: Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題： (1)模型的具體形式,(2)時序變量的滯后期 (3)隨機擾動項的結構 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機擾動項（ t =t），模型將是一個1階自回歸過程AR(1)： Xt=Xt-1+ t，這里， t特

31、指一白噪聲。,一般的p階自回歸過程AR(p)是 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t (*),(1)如果隨機擾動項是一個白噪聲(t=t)，則稱(*)式為一純AR(p)過程（pure AR(p) process），記為: Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t,(2)如果t不是一個白噪聲，通常認為它是一個q階的移動平均（moving average）過程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式給出了一個純MA(q)過程（pure MA(p) process）。,將純AR(p)與純MA(q)結合，得到一個一般的自回歸移動平均（

32、autoregressive moving average）過程ARMA（p,q）：,Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q,該式表明： （1）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機擾動項來解釋。,（2）如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會隨著時間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預測未來。 這也正是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢所在。,經(jīng)典回歸模型的問題： 迄今為止，對一個時間序列Xt的變動進行解釋或預測，是通過某個單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進行的，由于

33、它們以因果關系為基礎，且具有一定的模型結構，因此也常稱為結構式模型（structural model）。,2、時間序列分析模型的適用性,然而，如果Xt波動的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費者偏好的變化等，則利用結構式模型來解釋Xt的變動就比較困難或不可能，因為要取得相應的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。,有時，即使能估計出一個較為滿意的因果關系回歸方程，但由于對某些解釋變量未來值的預測本身就非常困難，甚至比預測被解釋變量的未來值更困難，這時因果關系的回歸模型及其預測技術就不適用了。,例如，時間序列過去是否有明顯的增長趨勢，如果增長趨勢在過去的行為中占主導地位，能否認

34、為它也會在未來的行為里占主導地位呢？ 或者時間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？,另一條預測途徑：通過時間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關于其過去行為的有關結論，進而對時間序列未來行為進行推斷。,隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預測未來的變化趨勢。 使用時間序列分析模型的另一個原因在于：如果經(jīng)濟理論正確地闡釋了現(xiàn)實經(jīng)濟結構，則這一結構可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時間序列分析模型的形式。,例如，對于如下最簡單的宏觀經(jīng)濟模型：,這里，Ct、It、Yt分別表示消費、投資與國民收入。 Ct與Yt作為內(nèi)生變量，它們的運動是由作為外生變量的投資It的

35、運動及隨機擾動項t的變化決定的。,上述模型可作變形如下：,兩個方程等式右邊除去第一項外的剩余部分可看成一個綜合性的隨機擾動項，其特征依賴于投資項It的行為。,如果It是一個白噪聲，則消費序列Ct就成為一個1階自回歸過程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(1,1)階的自回歸移動平均過程ARMA(1,1)。,二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件,自回歸移動平均模型（ARMA）是隨機時間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動平均模型（MA）是它的特殊情況。 關于這幾類模型的研究，是時間序列分析的重點內(nèi)容：主要包括模型的平穩(wěn)性分析、模型的識別和模型的估計。,1、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件,隨機

36、時間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所生成的隨機時間序列的平穩(wěn)性來判斷。如果一個p階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩(wěn)的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的。 否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。,考慮p階自回歸模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (*),引入滯后算子（lag operator ）L： LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p (*)式變換為： (1-1L- 2L2-pLp)Xt=t,記(L)= (1-1L- 2L2-pLp),則稱多項式方程： (z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0 為AR(p)的特征方程(cha

37、racteristic equation)。 可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR(p)模型是平穩(wěn)的。,例9.2.1 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。,對1階自回歸模型AR(1),方程兩邊平方再求數(shù)學期望，得到Xt的方差：,由于Xt僅與t相關，因此，E(Xt-1t)=0。如果該模型穩(wěn)定，則有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可變換為：,在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負的常數(shù)，從而有 |1。,而AR(1)的特征方程：,的根為： z=1/ AR(1)穩(wěn)定，即 | 1，意味著特征根大于1。,例9.2.2 AR(2)模型的平穩(wěn)性。 對AR(2)模型：,方程兩邊同乘以Xt，再

38、取期望得：,又由于：,于是：,同樣地，由原式還可得到：,于是方差為 ：,由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有 1+21, 2-11, |2|1,這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。,對應的特征方程1-1z-2z2=0 的兩個根z1、z2滿足： z1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2,AR(2)模型：,解出1，2：,由AR(2)的平穩(wěn)性，|2|=1/|z1|z2|1，有：,于是| z2 |1。由 2 - 1 1可推出同樣的結果。,對高階自回模型AR(p)來說，多數(shù)情況下沒有必要直接計算其特征方程的特征根

39、，但有一些有用的規(guī)則可用來檢驗高階自回歸模型的穩(wěn)定性：,(1)AR(p)模型穩(wěn)定的必要條件是： 1+2+p1 (2)由于i(i=1,2,p)可正可負，AR(p)模型穩(wěn)定的充分條件是： |1|+|2|+|p|1,對于移動平均模型MR(q)： Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 其中t是一個白噪聲，于是：,2、MA(q)模型的平穩(wěn)性,當滯后期大于q時，Xt的自協(xié)方差系數(shù)為0。 因此:有限階移動平均模型總是平穩(wěn)的。,由于ARMA (p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - -

40、qt-q,3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性,而MA(q)模型總是平穩(wěn)的，因此ARMA (p,q)模型的平穩(wěn)性取決于AR(p)部分的平穩(wěn)性。 當AR(p)部分平穩(wěn)時，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)的，否則，不是平穩(wěn)的。,4、總結,（1）一個平穩(wěn)的時間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機過程或模型； （2）一個非平穩(wěn)的隨機時間序列通?？梢酝ㄟ^差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時間序列也可找出對應的平穩(wěn)隨機過程或模型。,因此，如果我們將一個非平穩(wěn)時間序列通過d次差分，將它變?yōu)槠椒€(wěn)的，然后用一個平穩(wěn)的ARMA(p,q)模型作為它的生成模型，則我們就說該原始時間序列是一個自回歸單整移動平均（au

41、toregressive integrated moving average）時間序列，記為ARIMA(p,d,q)。,例如，一個ARIMA(2,1,2)時間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。 當然，一個ARIMA(p,0,0)過程表示了一個純AR(p)平穩(wěn)過程；一個ARIMA(0,0,q)表示一個純MA(q)平穩(wěn)過程。,三、隨機時間序列模型的識別,所謂隨機時間序列模型的識別，就是對于一個平穩(wěn)的隨機時間序列，找出生成它的合適的隨機過程或模型，即判斷該時間序列是遵循一純AR過程、還是遵循一純MA過程或ARMA過程。 所使用的工具主要是時間序

42、列的自相關函數(shù)（autocorrelation function，ACF）及偏自相關函數(shù)（partial autocorrelation function， PACF ）。,1、AR(p)過程,(1)自相關函數(shù)ACF 1階自回歸模型AR(1)： Xt=Xt-1+ t 的k階滯后自協(xié)方差為：,=1,2,因此，AR(1)模型的自相關函數(shù)為：,=1,2,由AR(1)的穩(wěn)定性知|1，因此，k時，呈指數(shù)形衰減，直到零。這種現(xiàn)象稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶（infinite memory）。 注意， 0時，呈振蕩衰減狀。,Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + t 該模型的方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方

43、差1, 2分別為：,階自回歸模型AR(2),類似地,可寫出一般的k期滯后自協(xié)方差：,(K=2,3,),于是,AR(2)的k 階自相關函數(shù)為：,(K=2,3,),其中 :1=1/(1-2), 0=1,如果AR(2)穩(wěn)定，則由1+21知|k|衰減趨于零，呈拖尾狀。 至于衰減的形式，要看AR(2)特征根的實虛性，若為實根，則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。,一般地，p階自回歸模型AR(p)： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + t,k期滯后協(xié)方差為:,從而有自相關函數(shù) :,可見，無論k有多大， k的計算均與其到p階滯后的自相關函數(shù)有關，因此呈拖尾狀。 如果AR(p)是

44、穩(wěn)定的，則|k|遞減且趨于零。,事實上，自相關函數(shù)：,是一p階差分方程，其通解為：,其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知，|zi|1; 因此， 當1/zi均為實數(shù)根時，k呈幾何型衰減（單調(diào)或振蕩）； 當存在虛數(shù)根時，則一對共扼復根構成通解中的一個阻尼正弦波項， k呈正弦波衰減。,（2）偏自相關函數(shù),自相關函數(shù)ACF(k)給出了Xt與Xt-1的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量間完全不同的隱含關系。 例如，在AR(1)隨機過程中，Xt與Xt-2間有相關性可能主要是由于它們各自與Xt-1間的相關性帶來的:,即自相關函數(shù)中包含了這種所有的“間接”相關。

45、與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關函數(shù)(partial autocorrelation，簡記為PACF)則是消除了中間變量Xt-1，Xt-k+1 帶來的間接相關后的直接相關性，它是在已知序列值Xt-1，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關系的度量。,從Xt中去掉Xt-1的影響，則只剩下隨機擾動項t，顯然它與Xt-2無關，因此我們說Xt與Xt-2的偏自相關系數(shù)為零，記為：,在AR(1)中，,同樣地，在AR(p)過程中，對所有的kp，Xt與Xt-k間的偏自相關系數(shù)為零。 AR(p)的一個主要特征是:kp時，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。,一隨機時間序列的識別原

46、則： 若Xt的偏自相關函數(shù)在p以后截尾，即kp時，k*=0，而它的自相關函數(shù)k是拖尾的，則此序列是自回歸AR(p)序列。,在實際識別時，由于樣本偏自相關函數(shù)rk*是總體偏自相關函數(shù)k*的一個估計，由于樣本的隨機性，當kp時，rk*不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當kp時，rk*服從如下漸近正態(tài)分布: rk*N(0,1/n) 式中n表示樣本容量。,需指出的是，,我們就有95.5%的把握判斷原時間序列在p之后截尾。,因此，如果計算的rk*滿足：,對MA(1)過程：,2、MA(q)過程,可容易地寫出它的自協(xié)方差系數(shù)：,于是，MA(1)過程的自相關函數(shù)為：,可見，當k1時，k0，即Xt與X

47、t-k不相關，MA(1)自相關函數(shù)是截尾的。,MA(1)過程可以等價地寫成t關于無窮序列Xt，Xt-1，的線性組合的形式：,或：,（*）,(*)是一個AR()過程，它的偏自相關函數(shù)非截尾但卻趨于零，因此MA(1)的偏自相關函數(shù)是非截尾但卻趨于零的。,注意: (*)式只有當|1時才有意義，否則意味著距Xt越遠的X值，對Xt的影響越大，顯然不符合常理。 因此，我們把|1稱為MA(1)的可逆性條件（invertibility condition）或可逆域。,其自協(xié)方差系數(shù)為：,一般地，q階移動平均過程MA(q),相應的自相關函數(shù)為：,可見，當kq時， Xt與Xt-k不相關，即存在截尾現(xiàn)象，因此，當k

48、q時， k=0是MA(q)的一個特征。 于是：可以根據(jù)自相關系數(shù)是否從某一點開始一直為0來判斷MA(q)模型的階。,與MA(1)相仿，可以驗證MA(q)過程的偏自相關函數(shù)是非截尾但趨于零的。,MA(q)模型的識別規(guī)則：若隨機序列的自相關函數(shù)截尾，即自q以后，k=0（ kq）；而它的偏自相關函數(shù)是拖尾的，則此序列是滑動平均MA(q)序列。,同樣需要注意的是：在實際識別時，由于樣本自相關函數(shù)rk是總體自相關函數(shù)k的一個估計，由于樣本的隨機性，當kq時，rk不會全為0，而是在0的上下波動。但可以證明，當kq時，rk服從如下漸近正態(tài)分布:,rkN(0,1/n) 式中n表示樣本容量。 因此，如果計算的r

49、k滿足：,我們就有95.5%的把握判斷原時間序列在q之后截尾。,ARMA(p,q)的自相關函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關函數(shù)和AR(p)的自相關函數(shù)的混合物。 當p=0時，它具有截尾性質(zhì)； 當q=0時，它具有拖尾性質(zhì)； 當p、q都不為0時，它具有拖尾性質(zhì),3、ARMA(p, q)過程,從識別上看，通常： ARMA(p，q)過程的偏自相關函數(shù)（PACF）可能在p階滯后前有幾項明顯的尖柱（spikes），但從p階滯后項開始逐漸趨向于零； 而它的自相關函數(shù)（ACF）則是在q階滯后前有幾項明顯的尖柱，從q階滯后項開始逐漸趨向于零。,四、隨機時間序列模型的估計,AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q

50、)模型的估計方法較多，大體上分為3類： （1）最小二乘估計； （2）矩估計； （3）利用自相關函數(shù)的直接估計。 下面有選擇地加以介紹。, AR(p)模型的Yule Walker方程估計,在AR(p)模型的識別中，曾得到：,利用k=-k，得到如下方程組：,此方程組被稱為Yule Walker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)1,2,p與自相關函數(shù)1,2,p的關系，,利用實際時間序列提供的信息，首先求得自相關函數(shù)的估計值：,然后利用Yule Walker方程組，求解模型參數(shù)的估計值：,由于：,于是,從而可得2的估計值,在具體計算時，,可用樣本自相關函數(shù)rk替代。, MA(q)模型的矩估

51、計,將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計量代替，得到：,(*),首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，(*)是一個包含(q+1)個待估參數(shù),的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。,常用的迭代方法有線性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。,（1）MA(1)模型的直接算法,對于MA(1)模型，（*）式相應地寫成：,于是：,或：,有：,于是有解：,由于參數(shù)估計有兩組解，可根據(jù)可逆性條件|1|1來判斷選取一組。,（2）MA(q)模型的迭代算法,對于q1的MA(q)模型，一般用迭代算法估計參數(shù)： 由（*）式得,（*）,第一步，給出,的一組初值，比如,代入（*）式，計算出第一次迭代值 ，,第

52、二步，將第一次迭代值代入（*）式，計算出第二次迭代值,按此反復迭代下去，直到第m步的迭代值與第m-1步的迭代值相差不大時（滿足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代結果作為（*）的近似解。, ARMA(p,q)模型的矩估計,在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個待估參數(shù)1,2,p與1,2,q以及2，其估計量計算步驟及公式如下： 第一步，估計1,2,p,是總體自相關函數(shù)的估計值，可用樣本自相關函數(shù)rk代替。,第二步，改寫模型，求1,2,q以及2的估計值,將模型：,改寫為：,令，,于是(*)可以寫成：,(*),構成一個MA模型。按照估計MA模型參數(shù)的方法，可以得到1,2,q以及2的估計值。

53、, AR(p)的最小二乘估計,假設模型AR(p)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，即有，,殘差的平方和為：,(*),根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計值是下列方程組的解：,即 ，,j=1,2,p (*),解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計值。,為了與AR(p)模型的Yule Walker方程估計進行比較，將(*)改寫成：,j=1,2,p,由自協(xié)方差函數(shù)的定義，并用自協(xié)方差函數(shù)的估計值 。,代入，上式表示的方程組即為：,或 ，,j=1,2,p,j=1,2,p,解該方程組，得到：,即為參數(shù)的最小二乘估計。 Yule Walker方程組的解：,比較發(fā)現(xiàn)，當n足夠大時，二者是相似的。 2的估計值為：,需要說明的是

54、，在上述模型的平穩(wěn)性、識別與估計的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項。 如果包含常數(shù)項，該常數(shù)項并不影響模型的原有性質(zhì)，因為通過適當?shù)淖冃?，可將包含常?shù)項的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)項的模型。,下面以一般的ARMA(p,q)模型為例說明。 對含有常數(shù)項的模型 ：,方程兩邊同減/(1-1-p)，則可得到：,其中，,五、模型的檢驗,由于ARMA(p,q)模型的識別與估計是在假設隨機擾動項是一白噪聲的基礎上進行的，因此，如果估計的模型確認正確的話，殘差應代表一白噪聲序列。 如果通過所估計的模型計算的樣本殘差不代表一白噪聲，則說明模型的識別與估計有誤，需重新識別與估計。 在實際檢驗時，主要檢驗殘差

55、序列是否存在自相關。,1、殘差項的白噪聲檢驗,可用QLB的統(tǒng)計量進行2檢驗：在給定顯著性水平下，可計算不同滯后期的QLB值，通過與2分布表中的相應臨界值比較，來檢驗是否拒絕殘差序列為白噪聲的假設。 若大于相應臨界值，則應拒絕所估計的模型，需重新識別與估計。,2、AIC與SBC模型選擇標準 另外一個遇到的問題是，在實際識別ARMA(p,q)模型時，需多次反復償試，有可能存在不止一組（p,q）值都能通過識別檢驗。 顯然，增加p與q的階數(shù)，可增加擬合優(yōu)度，但卻同時降低了自由度。 因此，對可能的適當?shù)哪Ｐ停嬖谥Ｐ偷摹昂啙嵭浴迸c模型的擬合優(yōu)度的權衡選擇問題。,其中，n為待估參數(shù)個數(shù)（p+q+可能存在

56、的常數(shù)項），T為可使用的觀測值，RSS為殘差平方和（Residual sum of squares）。,常用的模型選擇的判別標準有：赤池信息法（Akaike information criterion，簡記為AIC）與施瓦茲貝葉斯法（Schwartz Bayesian criterion，簡記為SBC）：,在選擇可能的模型時，AIC與SBC越小越好 顯然，如果添加的滯后項沒有解釋能力，則對RSS值的減小沒有多大幫助，卻增加待估參數(shù)的個數(shù)，因此使得AIC或SBC的值增加。 需注意的是：在不同模型間進行比較時，必須選取相同的時間段。,由第一節(jié)知：中國支出法GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，

57、即支出法GDP是I(1)時間序列。 可以對經(jīng)過一階差分后的GDP建立適當?shù)腁RMA(p,q)模型。 記GDP經(jīng)一階差分后的新序列為GDPD1，該新序列的樣本自相關函數(shù)圖與偏自相關函數(shù)圖如下：,例9.2.3 中國支出法GDP的ARMA(p,q)模型估計,圖形：樣本自相關函數(shù)圖形呈正弦線型衰減波，而偏自相關函數(shù)圖形則在滯后兩期后迅速趨于0。因此可初步判斷該序列滿足2階自回歸過程AR(2)。,自相關函數(shù)與偏自相關函數(shù)的函數(shù)值： 相關函數(shù)具有明顯的拖尾性； 偏自相關函數(shù)值在k2以后，,可認為：偏自相關函數(shù)是截尾的。再次驗證了一階差分后的GDP滿足AR(2)隨機過程。,設序列GDPD1的模型形式為：,有

58、如下Yule Walker 方程：,解為：,用OLS法回歸的結果為：,（7.91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15,有時，在用回歸法時，也可加入常數(shù)項。 本例中加入常數(shù)項的回歸為：,（1.99） （7.74） （-3.58） r2 =0.8758 R2 =0.8612 DW.=1.22,模型檢驗,下表列出三模型的殘差項的自相關系數(shù)及QLB檢驗值。,模型1與模型3的殘差項接近于一白噪聲，但模型2存在4階滯后相關問題，Q統(tǒng)計量的檢驗也得出模型2拒絕所有自相關系數(shù)為零的假設。因此: 模型1與3可作為描述中國支出法GDP一階差分序列的隨機生成過程。,用建立的AR(2)模型對中國支出法GDP進行外推預測。,模型1可作如下展開：,于是，當已知t-1、t-2、t-3期的GDP時，就可對第t期的GDP作出外推預測。,對2001年中國支出法GDP的預測結果（億元） 預測值 實際值 誤差 模型1 95469 95933 -0.48% 模型3 97160 95933 1.28%,模型3的預測式與此相類似，只不過多出一項常數(shù)項。,由于中國